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Rätsel der Woche: Das magische Quadrat
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Sie wählen immer wieder sechs Zahlen aus - und die Summe der sechs Zahlen bleibt immer dieselbe. Durchschauen Sie den Trick?

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swandue 26.08.2018, 19:00
1.

Da werden zwar Zahlen gestrichen, aber hinter "Summe" steht immer die Zahl, die ich angeklickt habe.

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m a x l i 26.08.2018, 19:24
2.

Zitat von swandue
Da werden zwar Zahlen gestrichen, aber hinter "Summe" steht immer die Zahl, die ich angeklickt habe.
Einfach fünf weitere, noch erlaubte Zahlen anklicken, ohne den roten Button zwischendurch zu drücken!

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swandue 26.08.2018, 20:09
3.

Zitat von m a x l i
Einfach fünf weitere, noch erlaubte Zahlen anklicken, ohne den roten Button zwischendurch zu drücken!
Ach so geht das Spiel. Danke.

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h.weidmann 26.08.2018, 20:48
4.

Das ist eine Eigenschaft einer jeden Additionstafel.
Um die hier gezeigte Additionstafel zu erzeugen, schreibt man über die Spalten von links nach rechts die Zahlen
4, 7, 2, 13, 6, 1
und vor die Zeilen von oben nach unten die Zahlen
0, 14, 11, 17, 20, 23.
Die Zahl, die sich am Ende ergibt, ist die Summe der 12 Zahlen, die man über die Spalten und vor die Zeilen schreibt, hier also 118,

Das geht mit jedem n x n Quadrat und es spielt keine Rolle, welche Zahlen man wählt.

Wählt man z.B. für die Spalten die Zahlen
2, 5, 1, 6, 3, 4
und für die Zeilen die Zahlen
12, 24, 0, 30, 18, 6
erhält man eine Additionstafel, die genau alle Zahlen 1 - 36 enthält und immer zur Zahl 111 führt.

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theunknowndad 27.08.2018, 02:57
5. Etwas allgemeiner

Man kann das auch etwas allgemeiner aufschreiben:

Sei die erste Zeile eines n mal n Quadrats belegt mit Zahlen des Formats x1+y1, x2+y1, ..., xn+y1.
Die nachfolgenden Zeilen haben die gleiche Form, nur zählt der Index von y nach oben.
Dann entspricht das Quadrat einer Tabelle mit der Formel x(Spalte) + y(Zeile).

Wenn wir nun über jede Zeile einen beliebigen Wert auswählen dürfen, aber keine Spalte doppelt auswählen, dann enthält das Ergebnis in der Summe aus jeder Spalte jeweils einen der Summanden x1..xn und aus jeder Zeile einen Summanden y1...yn.
Das Ergebnis ist also (umsortiert) immer x1+...xn+y1+...yn.

Wichtig ist also die Bildungsregel, dass die erste Zeile beliebige unterschiedliche Werte vorgibt (und wir y1 als 0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen) und sich die Folgezeile an jeder Spalte durch einen festen Wert von der Zeile darüber unterscheidet.

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permissiveactionlink 27.08.2018, 08:08
6. Da sind sie wieder !

Lateinische Quadrate ! Die magischen Quadrate dieser besonderen Form aus der Aufgabe sind auf einfache Weise zugänglich : Man geht von einem gewöhnlichen magischen Quadrat der Größe n * n aus, das bereits vorliegt (verfügbar z.B. mit Hilfe der Android-App "Magic Squares"). Zunächst verschiebt man dann die Zeilen, oben beginnend, sukzessive um 0, 1, ...., (n - 1) Felder zyklisch nach links (Felder, die links rausfallen, setzt man sofort rechts wieder an). Hat man das erledigt verschiebt man die Spalten sukzessive um 0, 1,....., (n - 1) Felder zyklisch nach oben (Felder, die oben rausfallen, setzt man sofort unten wieder an). Anschließend kann man noch die Zeilen und/oder die Spalten auf je n! Arten permutieren. Die zweimalige Bildung eines lateinischen Quadrates der Zeilenindizes der obersten Zeile sowie der Spaltenindizes der linken Spalte (n i c h t der Zahlen in den entsprechenden Feldern) kann auch anders als durch sukzessives Verschieben geschehen. Das Verschieben nach Art einer Tabula recta (im Fall der Zeilen) ist nur die einfachste Möglichkeit.

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permissiveactionlink 27.08.2018, 08:48
7. #6, Dumm gelaufen

Die Vermutung trifft leider nicht zu, da nur ganz bestimmte Abfolgen von Auswahlen und Zeilen-Spalten-Streichungen zur korrekten Zeilen bzw. Spalten-Summe führen. Schade, war zu schön, um wahr zu sein.

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querulant_99 27.08.2018, 09:47
8.

Wenn man erst mal erkannt hat, dass in jeder Zeile die Differenz der Zahl in Spalte n zur kleinsten Zahll der Zeile konstant ist, dann ist der Rest ein Kinderspiel. Man muss nur die n-1 Differenzen aufaddieren und die kleinste Zahl jeder Zeile hinzu addieren, dann hat man des Ergebnis. Nur springt die Systematik bei der Anordnung der Zahlen nicht sofort ins Auge

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rotella 27.08.2018, 10:55
9. Magisches Quadrat. #4 h.weidmann

Zitat von h.weidmann
Wählt man z.B. für die Spalten die Zahlen 2, 5, 1, 6, 3, 4 und für die Zeilen die Zahlen 12, 24, 0, 30, 18, 6 erhält man eine Additionstafel, die genau alle Zahlen 1 - 36 enthält und immer zur Zahl 111 führt.
Volle Zustimmung, eine der Eigenschaften eines Magischen Quadrats ist es doch eben, dass alle Zahlen von 1 bis n² genau einmal vorkommen, also genau wie Sie es hier mit denen von Ihnen gewählten Summanden vorschlagen!

Das, was Herr Dambeck in diesem Rätsel vorgestellt hat, ist anders als im Titel geschrieben kein Magisches Quadrat, sondern nur eine mit willkürlich ausgesuchten Zahlen gebildete Additionstabelle.

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