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Rätsel der Woche: Quadrate gesucht
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Können Sie die Zahlen von 1 bis 16 so hintereinander schreiben, dass benachbarte Zahlen sich immer zu einer Quadratzahl zusammenfügen?

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betonklotz 05.01.2019, 10:46
1. ZweiLösungen

Einmal 16,9,7,2,14,11,5,4,12,13,3,6,10,15,1,8 und dasselbe nochmal in umgedrehter Reihenfolge. Die Lösung ergibt sich ausgehend von der Erkenntnis, daß die 16 nur ganz am Anfang oder am Ende des Tupels stehen kann, da 16 + 9 =25 die einzige Möglichkeit ist, mit der 16 unter Verwendung der übrigen gegebenen Zahlen eine Quadratzahl zu bilden.

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phm_271828 05.01.2019, 10:56
2. Lösung richtig - Begründung falsch

In der Lösung wird behauptet, dass - ausser 16 und 8 - jede Zahl genau zwei potenzielle Nachbarn hat.
Das ist nicht richtig: 1 hat die potenziellen Nachbarn 3 und 8 und 15, 3 hat die potenziellen Nachbarn 1 und 6 und 13. Diese führen allerdings nicht zu weiteren Lösungen.

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norbert_le_sax 05.01.2019, 10:57
3. gibt mehr

So denn nur die Bedingung erfuellt sein muss, dass zwei aufeinanderfolgende ein Quadrat ergeben muessen, dann geht auch 1+15; 2+14; 3+13; 4+12; 5+11; 6+10; 7+9; 8+8; 9+16. Es sei denn, neueste Forschungen haben ergeben, dass die 16 keine Quadratzahl mehr ist

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Paukalor 05.01.2019, 11:04
4. Ein kleiner Fehler in der Lösung...

... die aber das Ergebnis nicht beeinflusst: 1 und 3 haben narürlich noch jeweils eine dritte Zahl, die zur Quadratzahl 4 führt, die in der Lösung einfach unterschlagen wird.

Nettes Zahlenrätsel :-)

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Jan Frauholz 05.01.2019, 12:19
5.

Alle Quadratzahlen bis zur maximalen Summe von 31 (=16+15) lauten: 1,4,9,16,25. Durch Kombination und ein wenig Ausprobieren gelangt man schließlich recht einfach zur Lösung.

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querulant_99 05.01.2019, 12:42
6.

Zitat von norbert_le_sax
So denn nur die Bedingung erfuellt sein muss, dass zwei aufeinanderfolgende ein Quadrat ergeben muessen, dann geht auch 1+15; 2+14; 3+13; 4+12; 5+11; 6+10; 7+9; 8+8; 9+16. Es sei denn, neueste Forschungen haben ergeben, dass die 16 keine Quadratzahl mehr ist
Woher haben Sie die zweite 8 und 9 geklaut?

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rotella 05.01.2019, 13:09
7. Lösungen für andere N?

Für N=16 gibt es also genau eine Lösung (Die Spiegellösungen lasse ich der Einfachheit halber weg).
Für welche anderen N gibt es ebenfalls Lösungen, bzw. anders herum gefragt, für welche N gibt es KEINE Lösungen?

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permissiveactionlink 05.01.2019, 13:10
8. Von den sechzehn Zahlen

ist bei vier Zahlen die relative Position bekannt, 16 liegt ganz vorne, 8 ganz hinten oder umgekehrt. Direkt danach oder davor stehen 9 (hinter oder vor der 16) bzw. 1 (vor oder hinter der 8). Für die restlichen zwölf Zahlen gibt es dann jeweils nur noch eine Verteilmöglichkeit, um die Bedingung der Aufgabe zu realisieren, die man schnell auffinden kann. Es stellt sich die Frage, ob das nur funktioniert, wenn n (die Anzahl verschiedener Zahlen) selbst eine Quadratzahl ist, z.B. für n = 25 oder n = 36, oder ob für jedes n Lösungen existieren.

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lipp 05.01.2019, 13:11
9.

Die Begründung ist falsch. Neben der Zahl 1 könnte z.B. auch die 3 stehen.
Hier ist mein Lösungsweg:
Es ist offensichtlich, dass es für 16 nur einen möglichen Partner gibt (die 9, addiert zu 25), weil die nächste Quadratzahl (36) schon zu hoch ist. Also muss 16 an einem Ende stehen. Und von da weg ergibt sich alles weitere zwingend: 16-9-. Jetzt ist nur eine Fortsetzung möglich nämlich 9-7-. Jetzt ist wieder nur eine Fortsetzung möglich -7-2- usw.
Kurz vor Ende gibt es in der Kette dann einmal 2 Möglichkeiten: Bei 3- wäre als Fortsetzung -1 oder -6 möglich. Aber wenn man beide Varianten weiterverfolgt, merkt man schnell, das -1 in einer Sackgasse endet und nur ein Weg übrig bleibt.

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