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Rätsel der Woche: Umkreist von Kreisen
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Ein kleiner Zylinder passt exakt in die Lücke zwischen drei gleich großen Scheiben. Können Sie den Radius des Zylinders berechnen, wenn Sie den der Scheiben kennen?

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permissiveactionlink 06.01.2018, 17:42
1. Ästhetisch schön !

Aber vermutlich für die meisten Schüler mit Trigonometrie-Kenntnissen nach kurzer Zeit lösbar. Ebenso einfache Erweiterungsfrage : Wie lang ist ein geschlossenes Band, das sich eng um die drei äußeren Zylinder windet wie ein Keilriemen o.ä. ?

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rotella 06.01.2018, 17:46
2. So löst es ein E-Techniker

Natürlich kann man das Rätsel durch geometrische oder arithmetische Betrachtungen lösen, aber ich möchte mal einen etwas ungewöhnlicheren Lösungsweg zeigen, der auch auf der Straße ohne Hilfsmittel wie Papier oder TR funktioniert.
Der E-Techniker sieht in der Graphik sofort ein Phasendiagramm vom Drei-Phasen-Wechselstrom, auch als Drehstrom bekannt. Er weiß, dass zwischen jeweils zwei Ecken des Dreieckes, welches durch die Mittelpunkte der drei farbigen Kreise gebildet wird, eine Wechselspannung von 400V liegt, die Spannung zwischen zwei Phasen eben. Er weiß auch, dass die Wechselspannung zwischen einer Phase und Nullleiter, im Diagramm ist das die Strecke von einer Ecke zum Mittelpunkt des Dreiecks, 230V beträgt.
Jede Seite des Dreiecks ist 2R lang, also ist R=400V/2=200V. Die Strecke von einer Ecke zum Mittelpunkt ist R+r lang, also R+r=230V. Ich ziehe im Kopf R ab (200V) und erhalte r=230V-200V=30V.
r geteilt durch R ergibt 30/200=0,15
Zwar ist dies nicht genau das Ergebnis, weil die Spannungen eben nicht exakt 230 und 400 Volt betragen, aber doch genau genug für die meisten praktischen Zwecke. ;-)

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bushmills 06.01.2018, 17:50
3. oder auch ...

r * sqrt(tan(30)² + 1) - 1

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fht 06.01.2018, 18:10
4. es geht auch ohne cosinus

nur mit Pythagoras:

Ich benenne die senkrecht gezeichnete Seite des kleinen roten Dreiecks mit h.

Dann wir verlängere ich die Seite am eingezeichneten 30°-Winkel bis zu gegenüberliegenden Dreiecksseite.

Sie ist eine Höhe im großen gleichseitigen Dreieck und hat damit die Länge 1/2*Wurzel(3)* Seitenlänge, also Wurzel(3)*R.
Gleichzeitig gilt für ihre Länge: R+r+h.

Also: h = R*[wurzel(3) - 1 ] - r

Im roten Dreieck gilt der Pythagoras:

R² + h² = (R+r)²
R² + h² = R² +2Rr + r²
h² = 2Rr + r²
ich setze h ein:
r²*[3-2*Wurzel(3)+1] - 2*r*R*[Wurzel(3)-1] + r² = 2Rr+r²
R²[4-2*Wurzel(3)] = 2*R*r*{[wurzel(3)-1]+1}
r = {2R²*[2-wurzel(3)]}/{2*R*wurzel(3)}
= R{2/[wurzel(3)] -1}
= 0,1547 R

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alex300 06.01.2018, 18:12
5. Man kann es ohne Trigonometrie lösen

Der Pythagorassatz reicht vollkommen

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permissiveactionlink 06.01.2018, 18:26
6. Da geht noch mehr !

Das Problem lässt sich insofern verallgemeinern, als sich natürlich außen nicht nur drei, sondern n Kreise bzw. Zylinder mit Radius r platzieren lassen. Der Radius des Innenzylinders steigt dabei immer weiter an auf ri = ((1/cos((n - 2) * 180°)/2n) - 1). Man kann leicht berechnen, dass schon bei sechs Außenzylindern der Innenzylinder denselben Radius wie jener bei den Außenzylindern erreicht. Bei 20 Außenzylindern hat der Innenzylinder immerhin schon den Radius 5,39...r !

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quark2@mailinator.com 06.01.2018, 18:28
7.

Können wir bitte wieder Rätsel haben (so mit Münzen, Zwergen, Wölfen, Wagen und Eulen ?) und nicht Matheunterricht ? Sowas ist langweilige Arbeit ohne jede Erfordernis kreativ zu denken, billigste Trigonometrie. Rotella hat da schon ungewöhnlich viel rausgeholt. Danke für die "spannende" Lösung :-). Ich hätte noch mit ~220V und ~380V rechnen müssen. War mir gar nicht klar, wie nützlich die Erhöhung der Netzspannung sich zeigen könnte ;-) ...

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yournamehere 06.01.2018, 18:30
8. Ohne Trigonometrie

Das Ganze lässt sich auch ohne Cosinus lösen, rein mit Pythagoras:
Ausgehend vom 4. Bild seien R und x die Katheten und (R+r) die Hypothenuse des dort eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks. Dann gilt ((R+r)+x)^2 + R^2 = (2*R)^2 sowie R^2 + x^2 = (R+r)^2. Aus der ersten Gleichung folgt (R+r) + x = Wurzel(3)*R.
Dieses nach x umgestellt und quadriert: x^2 = 3*R^2 - 2*Wurzel(3)*R*(R+r) + (R+r)^2
Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich nach Umformung 4*R^2 = 2*Wurzel(3)*R*(R+r)
und damit 2*R = Wurzel(3)*(R+r).
Nach r aufgelöst ergibtt sich dann das ERgebnis zu r = (2/Wurzel(3) - 1)*R

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permissiveactionlink 06.01.2018, 18:46
9. #5, alex 300

Das stimmt, Sie haben Recht ! Der Pythagoras ist möglich, da in einem gleichseitigen Dreieck die Winkelhalbierenden identisch sind mit den Seitenhalbierenden. Der gemeinsame Schnittpunkt teilt diese Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Es reicht also auch der Pythagoras, dafür sind aber dann mehrere Rechenschritte notwendig. Zuerst muss mit einem Pythagoras die Länge einer Seitenhalbierenden berechnet werden : sqrt(3) * r. Von dieser Länge benötigt man ein Drittel als Kathete für einen zweiten Pythagoras, dessen andere Kathete die Länge r besitzt. Man erhält dann x = sqrt( (sqrt(3)/3)*r)^2 + r^2) = sqrt (4/3) * r = (2/sqrt (3)) - 1

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