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Rätsel der Woche: Verflixter Zahlendreher
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Eine einzige Ziffer einer sechsstelligen Zahl verändert ihre Position - und plötzlich ist die Zahl drei Mal so groß. Wissen Sie, um welche Zahl es sich handelt?

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AlaskaSaedelaere 17.04.2017, 11:12
1.

Hübsches Rätsel - aber das ist kein Zahlendreher.

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uponrth 17.04.2017, 11:45
2. Geht auch mit ausprobieren...

Erster Gedanke, das kann man auch schnell ausprobieren, mit Python ist's schnell geschrieben.

for x in range(0,10):
for y in range(0,100000):
if (x * 100000 + y) * 3 == (x + y * 10):
print (x,y)

Mathematische Gleichung umformen führt natürlich genauso zum Ziel...

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rotella 17.04.2017, 12:05
3. Zwei Lösungen

Ich poste heute mal, bevor ich Seite 2 gelesen habe:

mit 10000 kleinergleich c kleinergleich 99999:

zahl = 100000*a +c
3*(100000*a + c) = 10*c + a
299999*a = 7*c
c = 42857*a

wg. der obigen Restriktion kann a nur 1 oder 2 sein.
Daraus folgt, dass zahl = 142857 oder 285714 sein muss.

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retikulator 17.04.2017, 12:25
4.

Leicht zu lösen, aber der Aufmacher
"Eine einzige Ziffer einer sechsstelligen Zahl verändert ihre Position - und plötzlich ist die Zahl dreimal so groß."
ist zunächst irreführend, denn alle Ziffern ändern ihre Position.

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permissiveactionlink 17.04.2017, 12:40
5.

Im Gegensatz zu anderen Rätseln an dieser Stelle, die mein kleiner Geist nur mit großer Mühe oder eher gar nicht knacken kann, war es diesmal gut machbar. Man kommt ja auf die Gleichung 7x = 299999a, wobei x die Zahl bcdef und a die vorderste Ziffer ist. Ich vermutete zunächst noch eine dritte Lösung, aber 899997/7 ist sechsstellig, das klappt also nicht. Schönes Rätsel, und auch mit Schulmathematik lösbar, auch wenn diese Feststellung für manchen Rätselteilnehmer subjektiv sein sollte.

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permissiveactionlink 17.04.2017, 12:58
6. Zahlendreher

Es gibt genau 900000 sechsstellige Zahlen. Und zu jeder davon sind 15 Ziffernvertauschungen möglich. Interessant wäre nun die Frage, ob es möglich ist, mit einem, zwei oder drei Zifferntauschen (Die Ziffer einer Stelle darf nur einmal getauscht werden) eine Zahl zu erhalten, die genau dreimal größer ist, als die sechsstellige Ausgangszahl.

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emil_erpel8 17.04.2017, 14:03
7.

Zitat von permissiveactionlink
Es gibt genau 900000 sechsstellige Zahlen. Und zu jeder davon sind 15 Ziffernvertauschungen möglich. Interessant wäre nun die Frage, ob es möglich ist, mit einem, zwei oder drei Zifferntauschen (Die Ziffer einer Stelle darf nur einmal getauscht werden) eine Zahl zu erhalten, die genau dreimal größer ist, als die sechsstellige Ausgangszahl.
Nö.

A := höchste Ziffer (A ist nicht 0, da die Zahl sechsstellig ist)
F:= niedrigste Ziffer

1. Mal angenommen die niedrigste Ziffer ist nicht 0. Dann müssen offensichlich die höchste und die niedrigste Ziffer sich bei der Multiplikation mit 3 ändern, also sind es diese beiden, die vertauscht werden müssen.

1.1 Die mittleren vier Ziffern ändern sich konstruktionsbedingt nicht. Wie kurzes Nachdenken zeigt, müssen diese alle null sein.

1.2 Schließlich ergibt sich, daß A = 3F sowie F = 3A sein muß, was nur möglich ist, wenn A = F = 0 ist. Dies widerspricht der Annahme, daß die Zahl sechsstellig ist.

2. Angenommen die niedrigste Ziffer ist 0. Dann streiche man diese und wiederhole 1 für eine Zahl mit weniger Ziffern. Die Argumente in 1. funktionieren mit mindestens vierstelligen Zahlen.

3. Für dreistellige Zahlen wäre denkbar, daß die höchste und die mittlere Ziffer mit dem gewünschten Ergebnis vertauscht werden können.

3.1 Dann ändert sich die letzte Ziffer aber nicht und ist somit 0. Das reduziert die Fragestellung auf Zahlen mit nur zwei Ziffern.

4. Für zweistellige Zahlen gilt analog zum Beweis der ursprünglichen Aufgabe:

30A + 3F = 10F + A

29A = 7F

Was in den natürlichen Zahlen keine Lösung hat (29 und 7 sind prim). Somit ist die Behauptunt ("nö") bewiesen.

Der analoge Beweis für zwei- bis fünfstellige Zahlen ist hier schon enthalten. Dieselbe Argumentation gilt aber auch für beliebig längere natürliche Zahlen.

--

Das hätten Sie mit ein bischen Mühe doch auch selbst rausgekriegt; warum sich immer alles vorkauen lassen?

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Crom 17.04.2017, 14:22
9.

Ich bin anders vorgegangen. Zu nächst muss die erste Ziffer kleiner als 4 sein, da sonst die Zahl zu groß wird. Da diese Ziffer ans Ende rutscht, kann man nun die letzte Ziffer ausrechnen. Für 1 ist dies 7 (3 * 7 = 21), für 2 ist dies 4 (4 * 3 = 12), und bei 3 ist es 1. Diese Ziffern rücken jetzt eins nach vorn. Daher muss man nun herausfinden wann, man hat also 1xxxx7 * 3 = xxxx71, 2xxxx4 * 3 = xxxx42, 3xxxx1 * 3 = xxxx13. Jetzt muss man die bei der 7 die 2 von 21 abziehen und das Spiel geht weiter, ebenso bei den anderen beiden. Bei 3xxxxx wird man irgendwann an einen Punkt kommen, der sich nicht auflösen lässt, bei den anderen beiden kommt man aber recht schnell zum Ziel.

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