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Rätsel der Woche: Wie teilt man das Quadrat?
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Ein Quadrat in 4 oder 16 kleinere Quadrate zerlegen - das ist einfach. Aber schaffen Sie eine Aufteilung in 12, 20 oder 100 Quadrate?

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aquin13 14.04.2018, 16:49
1. Die Lösung ist unvollständig

Es ist für jede 1, 4 und jede natürliche Zahl größer 6 möglich. Die Lösung für ungrade Zahlen vesteckt sich im Bild auf der 1. Seite, die eine zerlegung für 7 Quadrate zeigt.

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emil_erpel8 14.04.2018, 17:08
2.

Zitat von aquin13
Es ist für jede 1, 4 und jede natürliche Zahl größer 6 möglich. Die Lösung für ungrade Zahlen vesteckt sich im Bild auf der 1. Seite, die eine zerlegung für 7 Quadrate zeigt.
Da bin ich gespannt, wie Sie ein Quadrat in 1 kleinere Quadrate zerlegen wollen.

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h.weidmann 14.04.2018, 17:34
3.

Das geht nicht nur für gerade n. Die geforderte Zerlegung ist für alle n größer gleich 6 möglich.
Für gerade n siehe Herrn Dambecks Lösung.

Für ungerade n = 2k + 1 lege man jeweils k - 1 gleich große Quadrate zu dem oberen bzw. linken Streifen aneinander (siehe Zeichnung in n Herrn Dambecks Beweis).
Das ergibt 2(k - 1) - 1 = 2k - 3 = n - 4 Quadrate.
Dann zerteilt man das große Teilquadrat in 4 Quadrate und erhält somit n - 4 + 4 = n Teilquadrate.

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HMH 14.04.2018, 17:43
4. ... und wie sieht es aus mit ungeraden Zahlen?

Die allgemeinere Frage ohne die Einschränkung auf gerade Zahlen wäre spannender gewesen ...

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whitewisent 14.04.2018, 18:22
5.

Manchmal fühle ich mich hier klein und unbedeutend, oder im falschen Film.

Ganz simples Beispiel, Teilung in 28 Quadrate, indem man es in 25 Teile teilt, und eines nochmal in 4.

"Die allgemeine Lösung geht folgendermaßen: Wenn n=2k ist, dividieren wir die Seitenlänge l des Quadrats durch k. Damit haben wir die Seitenlänge der 2k-1 kleinen Quadrate, die gemeinsam zwei Streifen der Breite l/k am Rand des großen Quadrats bilden. Dann bleibt noch ein großes Quadrat übrig - macht zusammen 2k=n Quadrate."

Wo ist da der Beweis, außer der Feststellung das 2k = n eine bloße Spiegelung von n = 2k ist. Weder ist ein Bezug auf 1/5l noch auf 1/10l zu n dargestellt.


"

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Johan_Fremerey 14.04.2018, 18:33
6. Da gibt es offenbar viele Lösungen

Meine spontanen Lösungen zu den abgefragten Zahlen war die Unterteilung von Teilquadraten aus dem viergeteiten Ausgangsquadrat. Die Unterteilung eines Teilquadrats in 3x3 Unterquadrate ergibt eine Gesamtzahl von 12, zwei Teilquadrate mit jeweils 3x3 ergibt 20, und zwei Teilquadrate mit jeweils 7x7 ergibt 100.

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Johan_Fremerey 14.04.2018, 18:45
7. Da gibt es offenbar viele Lösungen

Meine spontanen Lösungen zu den abgefragten Zahlen war die Unterteilung von Teilquadraten aus dem viergeteiten Ausgangsquadrat. Die Unterteilung eines Teilquadrats in 3x3 Unterquadrate ergibt eine Gesamtzahl von 12, zwei Teilquadrate mit jeweils 3x3 ergibt 20, und zwei Teilquadrate mit jeweils 7x7 ergibt 100.

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permissiveactionlink 14.04.2018, 19:38
8. Schöne Aufgabe !

Und mit einem eleganten Beweis für alle geraden Zahlen an Quadraten größer gleich vier, der von h. weidmann in #3 noch für alle ungeraden Zahlen (größer gleich sieben ?) erweitert wurde. Die Beweise zeigen, dass es in jedem Fall immer funktioniert. Was meinem kleinen Nebenfach-Geist wieder ein gewisses Kopfzerbrechen bereitet, ist eine weitergehende Frage, die in der Aufgabe zwar nicht zu lösen war, aber vielleicht auch interessant sein kann : Die Zerlegung in eine gerade oder ungerade Zahl von Quadraten muss ja selbst wieder die Summe von gleichgroßen oder verschiedengroßen Quadraten sein, die als Ergebnis eine Quadratzahl ist. Auf wieviele verschiedene Arten lässt sich eine Quadratzahl als Partition von Quadratzahlen schreiben, sofern es auf die Reihenfolge der Summanden nicht ankommt ? In Dambecks Lösung war diese Partition : 1+1+1+....+1(elf mal)+25 = 36.

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Johan_Fremerey 14.04.2018, 19:42
9. Allgemeine Lösung

6, 7 und 8 sind leicht darzustellen. Alle weiteren Zahlen lassen sich auf der Basis dieser drei Aufteilungen durch 2x2 Teilung beliebiger Unterquadrate um einen Zuwachs von jeweils 3 erreichen.

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