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Rätsel der Woche: Wie viele neue Bahnhöfe gibt es?
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Auf jedem Bahnhof werden Fahrkarten zu jedem anderen Bahnhof verkauft. Dann wird das Streckennetz erweitert, und 34 neue Fahrkarten kommen hinzu. Wie viele Bahnhöfe gibt es nun?

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Bhaal 09.09.2018, 10:16
10. Aufgabenstellung wieder uneindeutig

Was ist nur mit den Aufgabenstellungen los?
Nirgendwo wird fest gesetzt, dass es darauf ankommt, wo das Ticket gekauft wird. Die gewählten Beispiele sprechen sogar dagegen.
Damit die gezeigte Lösung stimmen kann, muss es bei zwei Bahnhöfen 4 Tickets geben, nämlich 1->2 gekauft in 1, 1->2 gekauft in 2, 2->1 gekauft in 1 und 2->1 gekauft in 2.
Das ergibt für mich keinen Sinn, aber so muss es sein, damit die Lösung von 8 auf 10 Bahnhöfe passt.
Die Aufgabenstellung ließt sich aber anders:"Es gab sie fast für jede denkbare Strecke: Berlin-Hamburg zum Beispiel und natürlich auch ein zweites Ticket für die Gegenrichtung Hamburg-Berlin. "
Das klingt für mich nach zwei Tickets und nicht nach 4.
"Hin- und Rückfahrt gelten als verschiedene Tickets, weil Start- und Zielbahnhof ja auf beiden Tickets verschieden sind. "
Gäbe es den zweiten Teil des Satzes nicht, hätte ich es als 4 Tickets akzeptieren können, aber da extra noch die Begründung dabei steht, dass der Grund für zwei Ticket ist, das Start- und Zielbahnhof vertauscht sind und nicht das bei dem einen Hinfahrt und bei dem anderen Rückfahrt drauf steht, sehe ich auch hier nur zwei verschiedene Tickets für (Beispiel Text:) Berlin und Hamburg.

Und gibt es nur 2 Tickets anstatt 4, dann ist die gezeigte Lösung falsch:
Die 8 ursprünglichen Bahhöfe brauchten dann ja je 4 neue Tickets....eins um von sich zu bahnhof 9, von Bahnhof 9 zu sich, von sich zu Bahnhof 10 und von 10 zu sich, zu reisen.
Die Tickets von den neuen Bahnhöfen zu den alten Bahnhöfen sind dann bereits gezählt worden und es fehlen nur noch von 9 zu 10 und von 10 zu 9.....mach 8x4+2=26 neue Tickets und nicht die von der Aufgabenstellung geforderten 34.

Rechnerisch hat also der erste Post recht, indem er von 17 auf 18 Bahnhöfe annimmt.
Wer meint, das in der Aufgabenstellung explizit eine Mehrzahl an hinzukommendne Bahnhöfen gefordert wurde, der müsste dann schlussfolgern, dass es gar keine Lösung für die Aufgabenstellung gibt.

Warum wird also so widersprüchlich in der Aufgabenstellung argumentiert, und die "richtige" Lösung ist dann die abwegigste Interpretation der Aufgabenstellung?
Rätsel schön und gut, aber diese absichtlichen Fallen sind doch auf Dauer nervig.

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Vorzeichen 09.09.2018, 10:21
11. Naja ...

Das Rätsel ist wirklich nett, wenn vielleicht auch etwas zu einfach. Aber das mit dem Plural ist blöd. Wenn die Anzahl neuer Fahrkarten nicht vorgegeben, sondern eine variable natürliche Zahl p wäre, käme man schnell dahinter, dass es, abhängig von diesem p, keine, eine oder mehrere Lösungen gibt. In diesem Fall würde man doch allgemein davon sprechen, dass die Anzahl der Lösungen (Plural) gesucht ist.
Wie heikel es ist, mit Semantik zu argumentieren, zeigt gerade der Fall, dass es keine Lösung (Singular) gibt. Dann sagt man doch auch, es gäbe 0 Lösungen (Plural).
Anstelle des Autors hätte ich einfach darauf hingewiesen, dass es mehrere Lösungen geben kann und hätte mir das Gemecker vom user Vorzeichen gespart ;-)

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Bhaal 09.09.2018, 10:29
12. Ergänzung/korrektur

Ich habe mir die prämisse der präsentierten Lösung mit n*(n-1) ursprünglichen Karten noch einmal angesehen.
Es geht nicht darum, dass 1 nach 2 ein anderes Ticket ist, wenn es bei 1 oder bei 2 gekauft wird, sondern dass ich die Fahrt 1 nach 2 nicht nur in Bahnhof 1 oder 2 sondern auch in Bahnhof 3 kaufen kann.
Also von jedem bahnhof zu jedem anderen Bahnhof.
Aus der Aufgabenstellung:"An jedem Bahnhof gibt es vorgedruckte Tickets zu kaufen für eine Fahrt zu jedem anderen Bahnhof des Netzes." hatte ich interpretiert, dass es nur Tickets zu kaufen gäbe, die Hin- oder Rückfahrten von/zu dem Bahnhof zu kaufen gibt, bei dem ich mich befinde.
Da muss ich nochmal drüber nachdenken. ;)

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caliper 09.09.2018, 10:33
13. Zwei NEUE zu acht ALTEN Bahnhöfen

Ab 3 neuen Bahnhöfen benötigt man bereits für die Verbindungen zwischen den neuen Bahnhöfen 6 Verbindungen. Dann müssten diese drei Bahnöfe noch in Verbindung mit den alten Bahnhöfen 28 Verbindungen ergeben. Das geht nicht, weil 28 nicht durch 3 dividierbar ist.
Also sind es zwei neue Bahnhöfe mit zwei Verbindungen. Verbleiben 32 für die Verbindungen zu den Alten Bahnhöfen. Also müssen es 8 alte Bahnöfe sein.
Diese Lösung habe ich bereits vor mehr als 2h hier eingestellt.

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dasfred 09.09.2018, 10:39
14. Ach, dieses tückischen Textaufgaben

Jedes Wort muss man auf die Goldwaage legen. Damit hat man schon Generationen von SchülerInnen gequält. Ich hatte aus meiner Kindheit sofort diese riesige Maschine vor Augen, die hinter dem Fahrkartenschalter stand und mit der dann diese blanko Kärtchen bedruckt wurden. Ich habe mich daher für das kindlich naive Ausprobieren entschieden. Damit kam ich auch schon sehr schnell auf die Lösung.

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Fantastic 09.09.2018, 10:49
15.

Zitat von Fantastic
Man könnte auch so argumentieren: Alle 34 neue Fahrkarten starten von 34 neuen Bahnhöfen aus. (Was interessieren hier die alten Bahnhöfe?) Von jedem neuen Bahnhof gibt es eine jeweils unterschiedliche Fahrkarte (Einwegstrecke) zum anderen Bahnhof. Und zwar unterschiedlich nach Fahrtrichtung! Also 34 x 34 = 1156 Fahrkarten. Wenn man abzieht, das man zum Startbahnhof keine eigene Fahrkarte benötigt (höchstens eine Bahnsteigkarte für die Verabschiedung /Abholung von Reisenden), dann 1156-34 = 1122. Wenn dann Hin/Rückfahrt eine identische Fahrkarte benötigen, reduziert sich die Anzahl auf die Hälfte. Eine echt verwirrende Frageformulierung, die sich nur sadomistisch veranlagte Mathelehrer ausgedacht haben können.
Nachtrag: Für den Ankunftsbahnhof benötigt man ja auch keine Fahrkarte! Also lautet das Ergebnis:
34 x 34 = 1156 - 34 - 34 = 1088 Fahrkarten.

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quark2@mailinator.com 09.09.2018, 10:51
16. Nerv

Das Rätsel selbst hat mir Spaß gemacht, auch wenn ich schnell auf 8 und 17 gekommen bin. Nervig finde ich den Unsinn mit der Mehrzahl. In der Mathematik stellt man solche Fragen immer in der Mehrzahl "Gesucht werden DIE TEILER von ..." und damit wird keine Lösung ausgeschlossen, die nur einen Teiler hat. Insofern ist das mMn. eher Käse, wenn es sich im ein klar Mathe-basiertes Rätsel (Kombinatorik) handelt. Aber ansonsten ganz witzig für ne Minute :-).

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permissiveactionlink 09.09.2018, 10:53
17. Vorher 7, danach 9

Mit der Gaussformel findet man die Anzahl der Bahnhofspaarungen zu n * (n+1) / 2. Ist noch die Reihenfolge der Bahnhöfe von Bedeutung (wie im vorliegenden Fall), dann existieren sogar n * (n+1) Paarungen (Fahrkarten). Da 34 Fahrkarten im Netz neu hinzukommen, entspricht das einer Differenz :(n2 * (n2+1) / 2) - (n1 * (n1+1) / 2) = 17. Das funktioniert nur für n1=7 und n2=9, denn (9 * 10)/2 - (7 * 8)/2 = 45 - 28 = 17. Die einzige Möglichkeit, in einer Summe von 1 bis n mit aufeinanderfolgenden Elementen größer n die Teilsumme 17 hinzuzufügen, besteht in der Teilsumme der Elemente 8 + 9. Gäbe es vorher 8, und danach 10 Bahnhöfe, dann läge die Differenz bei (10 * 11)/2 - (8 * 9)/2 = 55 - 36 = 19. In diesem Fall gäbe es dann nicht 34, sondern 2 * 19 = 38 neue Fahrkarten.

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permissiveactionlink 09.09.2018, 11:13
18. Ahhhhaaaa !

wie dumm von mir ! Die Gaussformel kann man zwar nutzen, sie muss aber angepasst werden : Bei n Bahnhöfen existieren für den ersten Bahnhof nicht n, sondern lediglich (n-1) Paarungen. Folglich sucht man in der Gleichung ((n2-1) * n2 / 2) - ((n1- 1) * n1 / 2) = 17 ein Lösungspaar für n2 und n1. Und das ist dann tatsächlich 10 und 8, denn (9 * 10)/2 - (7 * 8)/2 = 45 - 28 = 17. Also 2 * 17 = 34 Fahrkarten mehr. Ich ziehe meinen ersten Kommentar zurück.

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Stäffelesrutscher 09.09.2018, 11:29
19.

Mal abgesehen davon, dass man das auch mit der Anzahl der Spiele einer Liga machen könnte (eine Liga wird um x Teams erweitert, wie viele neue Plakate für die neuen Partien muss man drucken?), ist es krass, dass der Rätselautor plötzlich zum spitzfindigen Wortklauber wird (»Bahnhöfe im Plural«), während bei bisherigen Rätseln immer dann, wenn Foristen darauf aufmerksam machen, dass der Wortlaut andere Lösungen zulässt bzw. bestimmte Voraussetzungen für eine eindeutige Lösung nicht definiert sind, einfach nach dem Motto »Man sieht doch, was gemeint ist, und stellen Sie sich nicht so an« abgebügelt oder ignoriert wurden.

Und jetzt plötzlich heißt es: von 17 auf 18 ist keine Lösung, weil es ja »Bahnhöfe im Plural« heißt!

Wie andere schon anmerkten: Matheaufgaben, bei denen die Lösung im Bereich der positiven natürlichen Zahlen liegt, werden stets mit dem Substantiv im Plural gestellt, auch bei der Addition: »Herr Dambeck reißt an jedem Tag ein Kalenderblatt ab. Wie viele Kalenderblätter hat er im Juli mehr abgerissen als im Juni?«

Und in Zukunft kann dann jede Familie, die genau ein Kind hat, auf die Frage »Wie viele Kinder haben Sie?« nur noch »nicht definiert« oder »bitte formulieren Sie die Frage um« beantworten, denn »eines« wäre ja nach der Lösung dieses Rätsels keine zulässige Antwort.

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