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Rätsel der Woche: Wie viele neue Bahnhöfe gibt es?
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Auf jedem Bahnhof werden Fahrkarten zu jedem anderen Bahnhof verkauft. Dann wird das Streckennetz erweitert, und 34 neue Fahrkarten kommen hinzu. Wie viele Bahnhöfe gibt es nun?

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emil_erpel8 11.09.2018, 18:57
70.

@#69: Nee, sorry, so funktioniert das nicht. Nachdem Sie sich weiter oben beschwert hatten, daß ich beim letzten mal die Diskussion (wegen Sinnlosigkeit) aufgegeben hatte, lasse ich Sie diesmal mit diesem Unsinn nicht durchkommen.

(1) Sie meinen offensichtlich mit "zufällig verteilt", daß jeder Zündpunkt gleich wahrscheinlich sein soll (zufällig mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit). Das ist eine *massive* Einschränkung der Auswahl der Zündpunkte und in keiner Weise ein plausible Annahme.

(2) Der Begriff "beliebig" bedeutet so in etwa das Gegenteil von "zufällig". "Beliebig" kann man mit "willkürlich" (= willentlich und nach Gutdünken) umschreiben, "zufällig" mit "unwillkürlich" (ungeplant, ohne irgendein Muster oder Ziel). Den Begriff "zufällig" anzugeben ohne die gewünschte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist darüber hinaus sinnlos.

(3) Eine "zufällige, gleichverteilte" Auswahl *endlich* vieler Punkte aus einer überabzählbaren Menge ist im übrigen nicht möglich, weil eben bei endlich vielen Stichproben sich deren Werte manifestieren und alle anderen nicht. Das heißt, jede beliebige Stichprobe ist gleich Wahrscheinlich (Wahrscheinlichkeit null).

(4) Es existieren außerdem überabzählbar viele endliche Stichproben aus einem reellen Intervall, die zu der gewünschten Präzision führten, aber auch überabzählbar viele Stichproben, die das nicht tun. Was soll denn das Kriterium sein, warum bei zwei gleichmächtigen Mengen die eine "irrelevant" sein soll (Wahrscheinlichkeit 0), die andere aber nicht (Wahrscheinlichkeit 1)?

Es mag sein, daß nach der Intuition, "optisch gleichmäßiger verteilte" Stichproben "wahrscheinlicher" sind als "an einem Ende gehäufte" Stichproben. Mathematisch gesehen ist das durchaus nicht so. Leider versagt die menschliche Intuition komplett, wenn es um Vergleiche der Größe unendlicher Mengen geht.

(5) Eine Zufallsauswahl mit gleichverteilten Wahrscheinlichkeiten aus einer überabzählbaren Menge ist im übrigen nach unserem heutigen Wissensstand undurchführbar. Eine unendliche Menge Entropie (~Information) läßt sich nicht in endlicher Zeit sammeln. Ein Algorithmus, der so etwas benötigt, ist vielleicht für die Galerie gut, aber nicht für eine praktische Durchführung.

Sie fordern da mit einem Nebensatz die Fertigkeit, perfekte Zufallszahlen mit unendlicher Auflösung zu erzeugen - ein Problem, das sich bisher jeder praktischen Lösung entzieht.

(6) Ein Verfahren, das nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis liefert, ist kein Algorithmus.

--

Bitte treten Sie einen Schritt zurück von Ihrem Konstrukt und versuchen, die obigen Argumente nachzuvollziehen. Ich habe den Eindruck, Sie haben Sich da in etwas verrannt und zimmern immer skurrilere Dinge zusammen, um die Grundidee zu retten. Manchmal muß man einfach einsehen, daß das Fundament seiner Gebäude nicht trägt.

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emil_erpel8 11.09.2018, 18:58
71.

(Fortsetzung)

Es mag sein, daß Sie die Diskussionslinien als divergent, aber gleichwertig empfinden. Da diese Linien sich widersprechen, kann höchstens eine davon wahr sein. Jedesmal, wenn ich Ihnen die Schwachpunkte Ihrer Argumentationskette aufzeige, lassen Sie ein paar Punkte unter den Tisch fallen. In der mathematischen Diskussion kann mit einer Argumentationskette aber nur dann überzeugen, wenn man ausnahmslos *alle* Kritik entkräftet. Mit "ich kann's zwar nicht beweisen, deswegen breche ich die Diskussion ab, bevor ich meine Meinung ändern muß" bewegt man sich dann im Bereich "alternativer Fakten".

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ps71 11.09.2018, 21:54
72. @emil_erpel8

Ich habe mich nicht beschwert, dass Sie sich aus der Diskussion verabschiedet hatten, ich hatte nur das Ausbleiben einer weiteren Erwiderung (offenbar zu Unrecht) als Zustimmung interpretiert.

Aber gut, ich will noch einmal versuchen, meine Argumentation genauer zu erläutern. Ich verstehe den Ausdruck 'beliebig' so, dass ich entweder einen Punkt auswählen kann und diesen auch treffe. Das ist aber eine unrealistische Annahme, die andere Interpretation wäre für mich, dass ich den Punkt entweder nicht genau treffe oder gleich völlig zufällig Punkte im gegebenen Intervall erwische. Wenn Sie der Meinung sind, dass man 'beliebig' nicht so interpretieren kann, dann sind wir auch schon fertig (allerdings hatten Sie in der letzten Diskussion selbst die zufällige Verteilung ins Spiel gebracht, weil Sie meinten, der Algorithmus würde nur funktionieren, wenn man die Punkte exakt trifft, es würde 'eine Fehlertoleranz fehlen'). Ich gehe also von einer zufälligen Verteilung aus. D.h. in jedem Schritt ist die Position des Anzündpunktes eine Zufallszahl mit einer zunächst beliebigen Verteilung. Da das Verfahren konvergiert, wenn die Anzündpositionen nicht unendlich oft unter jede gegebene Schranke fallen (oder haben Sie da auch Einwände?), kann es nur dann nicht konvergieren, wenn die WK-Verteilungsdichte an den Rändern gegen unendlich geht (weil der Anteil der Anzündpunkte, deren Position größer als die gegebene Schranke ist, gegen null gehen müsste). Damit ist (ohne Vergleiche unendlicher Mengen zu bemühen) für mich klar, dass für jede sinnvolle WK-Verteilung das Verfahren konvergiert.

Eigentlich sind wir damit fertig, das Verfahren liefert nach einer endlichen Zahl von Schritten ein beliebig genaues Ergebnis. Das ist die Konvergenz, die Sie ja zuerst bestritten hatten. Für die praktische Anwendung braucht man natürlich ein Abbruchkriterium, da haben Sie recht. Und an dieser Stelle brauche ich auch Informationen über die WK-Verteilung. Hier war meine Argumentation, dass man in der Praxis ja zumindest versuchen würde, die Mitte des Intervalls zu treffen, tatsächlich wird sich aber eine WK-Verteilung um die Mitte einstellen. Wenn ich von einer Gauss-artigen Verteilung ausgehe und dann im Worst Case annehme, dass die Abweichung beliebig groß wird, lande ich bei einer gleichmäßigen Verteilung über das Intervall. Das ist für mich also keine willkürliche Einschränkung sondern einfach der Worst Case für die Verteilung, wenn man eigentlich die Mitte treffen möchte.

Damit kann ich dann ein Abbruchkriterium berechnen. Sie haben recht, dass das Verfahren nur mit einer gewissen WK die gesuchte Genauigkeit liefert, aber genauso wie die Genauigkeit beliebig groß sein kann, kann auch die WS, diese Genauigkeit zu erreichen, beliebig nahe an 1 gebracht werden.

Soweit meine Überlegungen. Ich denke, dass unter einigen (meiner Meinung nach allesamt sinnvollen) Annahmen das Verfahren funktioniert. Es steht Ihnen natürlich frei, diese Annahmen für nicht gerechtfertigt (bzw. für Unsinn) zu halten, genauso wie es mir frei steht, Ihre ständigen Einwände für den verzweifelten Versuch zu halten, Ihre Behauptung, die Lösung der Aufgabe sei unsinnig, aufrecht zu erhalten.

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Vorzeichen 14.09.2018, 21:10
73. Es gibt genau eine Antwort darauf

Zitat von ps71
Und ich würde auch der Behauptung widersprechen, dass ein Mathematiker mit 'es gibt ein' ein oder mehrere meint. Er würde entweder 'es gibt genau ein' oder 'es gibt mindestens ein' schreiben.
Bevor Sie spekulieren, können Sie ja einen Mathematiker fragen. Also übernehme ich und sage Ihnen, dass die Aussagen "Es existiert eine" und "es existiert mindestens eine" äquivalent sind. Also spart man sich das Wort "mindestens".
Ob eine Lösung existiert oder nicht, ist eine qualitative Frage, wieviele Lösungen es dann sind, ist eine quantitative Frage. Aus diesem Grund sollte man die beiden Fragen nicht durcheinanderbringen, und das Wort "mindestens" ist allerhöchstens semantische Prosa.

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ps71 14.09.2018, 22:19
74. @Vorzeichen

Zitat von Vorzeichen
Bevor Sie spekulieren, können Sie ja einen Mathematiker fragen. Also übernehme ich und sage Ihnen, dass die Aussagen "Es existiert eine" und "es existiert mindestens eine" äquivalent sind. Also spart man sich das Wort "mindestens". Ob eine Lösung existiert oder nicht, ist eine qualitative Frage, wieviele Lösungen es dann sind, ist eine quantitative Frage. Aus diesem Grund sollte man die beiden Fragen nicht durcheinanderbringen, und das Wort "mindestens" ist allerhöchstens semantische Prosa.
'Wieviele neue Bahnhöfe gibt es?' ist doch eine quantitative Frage, oder nicht? Wenn es darum geht, ob ein Bahnhof (oder eine Lösung) existiert und zunächst einmal die genaue Zahl nicht interessiert, dann kann man sich 'mindestens' sparen. Aber wenn (wie in diesem Rätsel) die genaue Zahl gefragt ist, dann macht es schon einen Unterschied ob genau ein, mindestens ein oder mehr als ein Bahnhof dazu kommt. Oder würden Sie als Mathematiker die Aussage 'es kommt ein Bahnhof hinzu' so verstehen, dass es auch mehrere sein können?

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querulant_99 15.09.2018, 08:46
75.

Zitat von ps71
'Wieviele neue Bahnhöfe gibt es?' ist doch eine quantitative Frage, oder nicht? Wenn es darum geht, ob ein Bahnhof (oder eine Lösung) existiert und zunächst einmal die genaue Zahl nicht interessiert, dann kann man sich 'mindestens' sparen. Aber wenn (wie in diesem Rätsel) die genaue Zahl gefragt ist, dann macht es schon einen Unterschied ob genau ein, mindestens ein oder mehr als ein Bahnhof dazu kommt. Oder würden Sie als Mathematiker die Aussage 'es kommt ein Bahnhof hinzu' so verstehen, dass es auch mehrere sein können?
Wenn Sie einem Mathematiker eindeutig eine quantitative Frage stellen, dann wird er Ihnen auch eine quantitative und keine qualitativ Antwort geben.
Er würde im vorliegenden Fall antworten: "Es gibt ein oder zwei Bahnhöfe" oder "Es gibt maximal 2 Bahnhöfe". Letzteres kann er allerdings nur dann antworten, wenn im Kontext mit der Frage klar ist, dass die Anzahl 0 auszuschließen ist, was aber im vorliegenden Rätseltext explizit ausgeschlossen wurde.
Gäbe es die Lösung mit 2 Bahnhöfen nicht, dann würde er antworten:
"Es gibt genau einen Bahnhof"

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emil_erpel8 17.09.2018, 01:20
76.

Ich habe Ihre Argumentation schon lange verstanden, und auch, daß sie löchrig ist wie ein Schweizer Käse.

(1) Das ist reines Wunschdenken. Eine absichtlich zufällige Auswahl ist unmöglich. Siehe Punkte 2 und 5 in Beitrag 70.

Und selbst wenn das möglich wäre ...

(2) Nehmen wir ein reelles Intervall, sagen wir [0, 10000]. Angenommen die Auswahl einer zufälligen Zahl aus dem Intervall wäre möglich. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß die gewählte Zahl zwischen 0 und 1 liegt genauso groß wie die, daß sie zwischen 1 und 10000 liegt, da beide Teilintervalle überabzählbar unendlich viele Zahlen enthalten.

(3) Das Verfahren ist erstens undurchführbar (gezielte Wahl von Zufallszahlen), und selbst wenn es das nicht wäre, würde da gar nichts unter irgendetwas fallen. Sie erliegen dem Irrtum, daß ein größeres Intervall mehr Zahlen enthielte als ein kleineres und darum irgendeine magische Wahrscheinlichkeit für das größere Intervall arbeitete.

Ihr Satz "hier war meine Argumentation, dass man in der Praxis ja zumindest versuchen würde, die Mitte des Intervalls zu treffen" zeigt, daß es da am grundliegenden Verständnis mangelt, was ein Verfahren, also einen Algorithmus, auszeichnet: Egal wer das Verfahren ausführt, es leifert das gesuchte Ergebnis. Da kann man nicht flapsig formulieren, daß (auf magische Weise) schon irgendwas in der Intervallmitte getroffen würde. Die Aufgabenstellung erlaubt keine Hilfsmittel, um das zu bewerkstelligen, also muß man annehmen daß es nicht geht. Oder wie stellen sie sich vor, daß man bei einer Intervallänge von einem Mikrometer "versuchen würde, die Mitte des Intervalls zu treffen".

Sie verquicken hier auf inakzeptable Weise die Begrifflichkeiten des Zufallsexperiments und des Algorithmus. Man kann beim *Experiment* problemlos von einer gleichverteilten Wahrscheinlichkeit ausgehen (oder einer anderen Verteilung). In einem Algorithmus kann man *gar nichts* annehmen, sondern muß Schritt für Schritt unmißverständlich ausdrücken, was zu tun ist. Ein Schritt "wählen Sie einen zufälligen Punkt aus dem Intervall I, wobei die Wahrscheinlichkeitsdichten folgende Eigenschaften besitzen ...." ist undurchführbar, weil er keine praktisch ausführbaren Handlungen enthält.

(4) Die Gleichverteilung, die Sie als "Worst Case" bezeichnen ist in Wirklichkeit Best-Case für Ihr "Verfahren". Besser als das kann es ohne verbotene Hilfsmittel gar nicht werden, höchstens schlechter, z.B. daß Sie immer versehentlich einen Punkt im ersten Promille des Intervalls treffen.

(5) Ich habe jetzt zig Schwachstellen in Ihrem Konstrukt aufgezählt, und tun das einfach mit ,,meine Annahmen finde ich plausibe'' ab oder mit "ohne Vergleiche unendlicher Mengen zu bemühen". Man "bemüht" auch keine Gegenargumente, um seine Behauptungen zu stützen, sondern man entkräftet sie statt sie zu .ignorieren.

Ohne die Bereitschaft, über mathematische Argumente nachzudenken, kann eine mathematischen Diskussion nicht stattfinden. Schon die Einstellung, ein Konstrukt verteidigen zu wollen führt zu nichts. Eine Schwachstelle muß man entweder ausräumen oder einräumen. Sie zu ignorieren führt Entwertung des Konstrukts

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emil_erpel8 17.09.2018, 01:29
77.

Ich habe Ihre Argumentation schon lange verstanden.

(1) Eine absichtlich zufällige Auswahl ist unmöglich. Siehe Punkte 2 und 5 in Beitrag 70.

(2) Nehmen wir ein reelles Intervall, sagen wir [0, 100]. Angenommen die Auswahl einer zufälligen Zahl aus dem Intervall wäre möglich. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß die gewählte Zahl zwischen 0 und 1 liegt genauso groß wie die, daß sie zwischen 1 und 100: Beide Teilintervalle enthalten überabzählbar unendlich viele Zahlen.

(3) Das Verfahren ist erstens undurchführbar (gezielte Wahl von Zufallszahlen), und selbst wenn es das nicht wäre, würde da gar nichts unter irgendetwas fallen. Sie erliegen dem Irrtum, daß ein größeres Intervall mehr Zahlen enthielte als ein kleineres und darum irgendeine magische Wahrscheinlichkeit für das größere Intervall arbeitete.

Ihr Satz "... dass man in der Praxis ja zumindest versuchen würde..." zeigt, daß es da am grundliegenden Verständnis mangelt, was ein Verfahren, also einen Algorithmus, auszeichnet: Egal wer das Verfahren ausführt, es liefert das gesuchte Ergebnis. Die Aufgabenstellung erlaubt keine Hilfsmittel, um das zu bewerkstelligen, also muß man annehmen daß es nicht geht. Oder wie stellen sie sich vor, daß man bei einer Intervallänge von einem 0,0001 mm "versuchen würde, die Mitte des Intervalls zu treffen".

Sie verquicken hier auf inakzeptable Weise die Begrifflichkeiten des Zufallsexperiments und des Algorithmus. Man kann beim *Experiment* problemlos von einer gleichverteilten Wahrscheinlichkeit ausgehen (oder einer anderen Verteilung). In einem Algorithmus kann man *gar nichts* annehmen, sondern muß Schritt für Schritt unmißverständlich ausdrücken, was zu tun ist. Ein Schritt "wählen Sie einen zufälligen Punkt aus dem Intervall I, wobei die Wahrscheinlichkeitsdichten folgende Eigenschaften besitzen ...." ist undurchführbar, weil er keine praktisch ausführbaren Handlungen enthält.

(4) Die Gleichverteilung, ist in Wirklichkeit der Best-Case für das "Verfahren": Besser als das kann es ohne verbotene Hilfsmittel gar nicht werden, höchstens schlechter, z.B. daß Sie immer versehentlich einen Punkt im ersten Promille des Intervalls treffen.

(5) Ich habe jetzt zig Schwachstellen in Ihrem Konstrukt aufgezählt, und tun das einfach mit ,,meine Annahmen finde ich plausibe'' ab oder mit "ohne Vergleiche unendlicher Mengen zu bemühen". Man "bemüht" auch keine Gegenargumente, sondern man entkräftet sie.

Ohne die Bereitschaft, über mathematische Argumente nachzudenken, kann eine mathematischen Diskussion nicht stattfinden. Die Einstellung, ein Konstrukt "verteidigen" zu wollen führt zu nichts. Eine Schwachstelle muß man entweder ausräumen oder einräumen, nicht ignorieren.

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emil_erpel8 17.09.2018, 01:32
78.

@#72:

Ich habe Ihre Argumentation schon lange verstanden.

(1) Eine absichtlich zufällige Auswahl ist unmöglich. Siehe Punkte 2 und 5 in Beitrag 70.

(2) Nehmen wir ein reelles Intervall, sagen wir [0, 100]. Angenommen die Auswahl einer zufälligen Zahl aus dem Intervall wäre möglich. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß die gewählte Zahl zwischen 0 und 1 liegt genauso groß wie die, daß sie zwischen 1 und 100: Beide Teilintervalle enthalten überabzählbar unendlich viele Zahlen.

(3) Das Verfahren ist erstens undurchführbar (gezielte Wahl von Zufallszahlen), und selbst wenn es das nicht wäre, würde da gar nichts unter irgendetwas fallen. Sie erliegen dem Irrtum, daß ein größeres Intervall mehr Zahlen enthielte als ein kleineres und darum irgendeine magische Wahrscheinlichkeit für das größere Intervall arbeitete.

Ihr Satz "... dass man in der Praxis ja zumindest versuchen würde..." zeigt, daß es da am grundliegenden Verständnis mangelt, was ein Verfahren, also einen Algorithmus, auszeichnet: Egal wer das Verfahren ausführt, es liefert das gesuchte Ergebnis. Die Aufgabenstellung erlaubt keine Hilfsmittel, um das zu bewerkstelligen, also muß man annehmen daß es nicht geht. Oder wie stellen sie sich vor, daß man bei einer Intervallänge von einem 0,0001 mm "versuchen würde, die Mitte des Intervalls zu treffen".

Sie verquicken hier auf inakzeptable Weise die Begrifflichkeiten des Zufallsexperiments und des Algorithmus. Man kann beim *Experiment* problemlos von einer gleichverteilten Wahrscheinlichkeit ausgehen (oder einer anderen Verteilung). In einem Algorithmus kann man *gar nichts* annehmen, sondern muß Schritt für Schritt unmißverständlich ausdrücken, was zu tun ist. Ein Schritt "wählen Sie einen zufälligen Punkt aus dem Intervall I, wobei die Wahrscheinlichkeitsdichten folgende Eigenschaften besitzen ...." ist undurchführbar, weil er keine praktisch ausführbaren Handlungen enthält.

(4) Die Gleichverteilung, ist in Wirklichkeit der Best-Case für das "Verfahren": Besser als das kann es ohne verbotene Hilfsmittel gar nicht werden, höchstens schlechter, z.B. daß Sie immer versehentlich einen Punkt im ersten Promille des Intervalls treffen.

(5) Ich habe jetzt zig Schwachstellen in Ihrem Konstrukt aufgezählt, und tun das einfach mit ,,meine Annahmen finde ich plausibe'' ab oder mit "ohne Vergleiche unendlicher Mengen zu bemühen". Man "bemüht" auch keine Gegenargumente, sondern man entkräftet sie.

Ohne die Bereitschaft, über mathematische Argumente nachzudenken, kann eine mathematischen Diskussion nicht stattfinden. Die Einstellung, ein Konstrukt "verteidigen" zu wollen führt zu nichts. Eine Schwachstelle muß man entweder ausräumen oder einräumen, nicht ignorieren.

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ps71 17.09.2018, 09:16
79. @emil_erpel8

Ich dachte schon, Sie hätten aufgegeben (was ich nicht noch einmal als Zustimmung werten werde, versprochen).

Sie haben aber offenbar meine Argumentation doch nicht verstanden.

(1) Wer spricht denn von einer 'absichtlich zufälligen Auswahl'. Sie argumentieren ja mit der praktischen Durchführbarkeit. Wenn ich in der Praxis ohne irgendwelche Hilfsmittel einen Punkt auf der Schnur anzünde, dann werde ich doch immer einen zufälligen Punkt erwischen. D.h. wenn ich das Verfahren durchführe, dann sind die Anzündpunkte zufällig verteilt (weil ich gar keine Möglichkeit habe, einen Punkt gezielt auszuwählen, dazu müsste ich ja die Position messen können).

(2)+(3) Natürlich sind im Intervall zwischen 0 und 1 nicht 'weniger' Zahlen als im Intervall zwischen 1 und 100. Aber wenn ich Zufallszahlen aus dem Intervall [0,100] betrachte, dann fällt (natürlich abhängig von der Verteilung) ein gewisser Anteil der Zahlen in das Intervall [0,1]. Und damit das Verfahren nicht konvergiert (bzw. genauer: gegen den falschen Wert konvergiert), müsste für jede noch so kleine Zahl e der Anteil der Zufallszahlen, der in das Intervall [0,e] fällt, gegen 1 gehen. Und das ist nur möglich, wenn die Verteilungdichte der Zufallszahlen bei 0 gegen unendlich geht. Für jede sinnvolle WS-Verteilung konvergiert das Verfahren also gegen den korrekten Wert.

(4) Um ein Abbruchkriterium zu berechnen, brauche in dann wie gesagt mehr Informationen zur WS-Verteilung. Zu 'versuchen, die Mitte des Intervalls zu treffen' war sicher etwas unglücklich formuliert. Das gleiche Argument gilt aber, unabhängig davon, welchen Punkt ich treffen möchte. Ich kann mir auch vorstellen, erst einen Punkt auszuwählen, den ich treffen 'möchte' und dann davon ausgehen, dass ich - mit einer 'gauss-artigen' Verteilung um den Punkt herum - daneben liege. Es wird sich, wenn die Abweichung gegen unendlich geht, eine Gleichverteilung einstellen, solange nicht irgendetwas dafür sorgt, dass ich immer eher die Ränder des Intervalls treffe. Und die Gleichverteilung ist nicht der Best-Case für das Verfahren, jede Verteilung, die in der Mitte des Intervalls eine höhere Dichte hat, wäre besser. Nur Verteilungen, bei denen die Dichte an den Rändern größer ist, sind schlechter, und solche Verteilungen werden meiner Meinung nach bei der praktischen Durchführung nicht auftreten. Und selbst wenn, könnte ich immer noch ein Abbruchkriterium berechnen.

--- Fortsetzung folgt ---

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