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Rätsel der Woche: Zaubern mit Zahlen
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Wenn Rechnen immer so einfach wäre: 45 mal 9? Einfach eine 0 zwischen die 4 und die 5 schieben - und wir haben das richtige Ergebnis. Gibt es noch mehr Zahlen, mit denen dieser Trick klappt?

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fehleinschätzung 09.06.2018, 20:16
1. knapp vorbei:

Dies führt zur schon bekannten Lösung*45*9=409.*Also gibt es mit*15*7=105*nur eine weitere Lösung.


Ich habe keine Lösung gefunden, aber Ihre 409 ist definitiv nicht richtig. ;-)

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andreasblau 09.06.2018, 20:20
2.

Was ist mit 18 * 6 = 108 ?

Hier eine Lösung mit etwas weniger ausprobieren:

(10 a + b)*c = 100a + b lässt sich umformen zu 10*(10-c)*a = (c - 1)*b. Also ist (c-1)*b ein Vielfaches von 10 und hat damit die Primteiler 2 und 5. Und weil c und b Ziffern sind, muss 2 eine dieser Zahlen und 5 die andere teilen (bis auf die trivialen Fälle wie c = 1 oder b = 0, die man einfach abarbeitet). Es gibt also zwei Möglichkeiten:
A) 2 teilt c - 1, also c ist ungerade, und 5 teilt b, also b = 5.
B) 2 teilt b, also b ist gerade, und 5 teilt c - 1, also c = 6.

Das jeweils in die Gleichung oben eingesetzt und nach a umgeformt ergibt
A) a = (c - 1) / (2 * (10 - c))
B) a = b/8

In A) ist a nur ganzzahlig für c = 1, c = 7, und c = 9. c = 1 ist offensichtlich keine Lösung.
in B) ist a nur ganzzahlig für b = 0 und b = 8. b = 0 ist offensichtlich keine Lösung.

Es bleiben die drei Lösungen 15 * 7 = 105, 45 * 9 = 405, und 18 * 6 = 108

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Trexel 09.06.2018, 20:26
3. Fehlt da nicht eine Lösung?

18*6=108 ist doch eine weitere Lösung?

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einEi 09.06.2018, 20:49
4. Drei Lösungen

"ab*x = a0b" führt zu (10a+b)*c = 100a + b, woraus 10a (c-10) + b (c-1) resultiert. Also muss b(c-1) durch 10 teilbar sein. Primfaktorzerlegung von 10 ist 2*5. Teilt 5 den Faktor c-1, ergibt sich, c = 6 und damit die Lösung "18*6 = 108". Ist Teilt 5 den Faktor b, ergibt sich b = 5 und nur c=7 und c=9 führen hier zu ganzen Ergebnissen, namentlich 15*7 = 105 und die in der Aufgabenstellung gegbene.

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AufJedenFall 09.06.2018, 21:03
5.

Relativ komplizierter Lösungsweg. Auch ich hatte mit (10a + b)*c = 100a + b angefangen, dass kann man umformen zu a/b = 1/10 * (c-1)/(10-c), dann schaut man sich die rechte Seite für alle c von 2 bis 9 an und merkt schnell, dass nur bei der Wahl von c von 6 (1/8), 7 (1/5) und 9 (4/5) Brüche entstehen die man mit 2 ganzen einstelligen Zahlen darstellen kann.
Die 9 ja schon vorgegeben war ja schon gegeben, also haben wir noch 18 und 6 und 15 und 7

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Stäffelesrutscher 09.06.2018, 22:20
6.

Hallo Herr Dambeck,
versuchen Sie es doch mal mit c=6 und b=8!

Anderer Lösungsansatz: c muss mindestens 6 sein, denn mit c=5 oder kleiner bekommt man die passende Hunderterstelle nie hin (19*5

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msmirror 09.06.2018, 22:36
7.

Was ist mit 450*9=4050,
Was mit 4500*9=40500
...

Oder gab es eine Einschränkung an die Größe der Zahl oder Position der 0?

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gunpot 10.06.2018, 08:45
8. Warum denn so kompliziert bzw.

warum so weit hergeholt. Bei 45x9 sehe ich sofort, dass 45x10=450 sind von denen ich nur 45 abziehen muss, um auf 405 zu kommen. Das ist in einer Sekunde geschafft.

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sepia688 10.06.2018, 09:03
9. zu #7

ja, es gibt die Einschränkung, dass eine zweistellige mit einer einstelligen Zahl multipliziert werden muss

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