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Rätsel der Woche: Zwei umschlossene Kreise
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Um zwei kreisrunde Scheiben soll ein Band gelegt werden, das diese ohne Lücken umschließt. Wie lang muss das Band sein?

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hm2013_3 12.08.2017, 17:22
1. naja,

es war auf jeden Fall mehr als 2x9xpi = 57 cm. Ich war nie gut in der Geometrie.

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Affenhirn 12.08.2017, 17:33
2. "Wie man leicht sieht"

War schon an der Uni die Formulierung, wenn Vortragende einen mathematischen Zusammenhang nicht erklären konnten.
Ich persönlich finde es einfacher, das rechtwinklige Dreieck mit der Hypothenuse mit 12 LE und der bereits bekannten Kathete mit 6 LE zu betrachten und daraus die Winkel beta-halbe und alfa zu bestimmen. Hier sieht man zumindest, dass alfa + beta-halbe = 90 Grad ist, also die eingangs zitierte "leichte Einsicht" durch Verdoppelung auf beiden Seiten stützt.

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permissiveactionlink 12.08.2017, 17:42
3. Allgemeine Lösung ?

Ist der Radius des größeren Kreises R und der des kleineren Kreises r, so erhält man die Formel : L = 2*((pi * R) + (arcsin ((2 * sqrt (R * r))/(r + R))) * (r - R)) + 2 * sqrt (R * r)). Der Arkussinus ist im Bogenmaß zu berechnen.

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furanku 12.08.2017, 17:43
4. Geometrische Gymnastikübung

Angeguckt, Ansatz geahnt, weitergeklickt. Känguru macht schöne Aufgaben für den Matheunterricht, diese war mir aber etwas zu sehr langweilige geometrische Gymnastik ohne Aha-Effekt.

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DieHappy1 12.08.2017, 17:45
5.

Also ich komme auf 75,36 cm, wenn ich pi mit 3,14 benutze.
wie eine 8 drumrum geschlungen. Oder ist meine Sekunden Schnellschuss Antwort falsch?!
Ich guck mal nach der Lösung....

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DieHappy1 12.08.2017, 17:49
6.

So kompliziert?
Ich habe die Frage so verstanden, dass ich ein Band wie eine 8 um die beiden Kreise lege, dann habe ich doch keinen Zwischenraum, das Band liegt komplett auf den Kreisen an,
und nehme dann d*pi für den Kreisumfang und fertig.
Aber da habe ich wohl die Frage falsch verstanden und/oder zu schlicht gedacht. War ein Schnellschuss.

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hubie 12.08.2017, 17:56
7. Schönes Rätsel

Ich hab es mit eingesetzten Zahlen ausgerechnet und komme aufs selbe Ergebnis.
Die Lösung habe ich mir nicht durchgelesen. Mein Ansatz war, dass das Band an beiden Punkten tangential am Kreis anliegt und beide Radien an den Enden der nicht am Kreis verlaufenden Linie parallel zueinander sind. So bekommt man den Winkel heraus, in dem die Verbindungslinie beider Kreismittelpunkte zum gespannten Band liegt. Der Rest war Winkelgeometrie und die Tatsache, dass das Band insgeamt nur 2pi, also 360° im Kreis laufen kann, weshalb die am kleinen Kreis zurückgelegten 120° sich mit 240° am großen Kreis ergänzen müssen.

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rotella 12.08.2017, 18:15
8. Lösbar, aber irgendwie ohne Witz

Die Aufgabe war zwar mit etwas Rechnerei mit normaler Schulmathematik gut lösbar, aber es war tatsächlich eine Aufgabe ohne Aha-Effekt. Ich habe stumpf gerechnet und dachte schon ich hätte etwas übersehen und in der Lösung wäre die Rechnung mit einem genialen Kniff bloß noch ein Zweizeiler, aber es war letztendlich derselbe Weg.

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kopp 12.08.2017, 18:33
9. Interessante Aufgabe

Auch der allgemeinere Fall, bei dem keine Winkel von 60 bzw. 30 Grad auftreten lässt sich so lösen.
Dann gilt α = arc sin (R-r)/(R+r) und β = 2 arc cos (R-r)/(R+r).

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