25.03.1974

Mengenlehre: „3 + 5 = 5 + 3“

Mathematiker und Mediziner unterstützen empörte Eltern Im Kampf gegen die Mengenlehre. Der erste Kultusminister hat sich für eine Kurskorrektur entschieden. Trotzdem wird es weiterhin moderne Mathematik an Deutschlands Grundschulen geben, allerdings anders und besser als bisher.
Der Heidelberger Mathematik-Professor Gert-Heinz Müller erlebt "zwischen 10 und 12 Uhr nachts", daß "etwas falsch sein muß". Dann rufen ihn "Bekannte von Bekannten von Bekannten" an und bitten ihn, bei den Hausaufgaben ihrer Kinder zu helfen. Immer geht es um Mengenlehre.
Schon kapituliert hat Bernt Arras, der im Elternbeirat des Landes Baden-Württemberg sitzt. Er wollte das Buch "Wir lernen Mathematik", von den Autoren Neunzig und Sorger verfaßt für das erste bis vierte Schuljahr, durcharbeiten. Aber: "Es ist für mich aussichtslos, geistig zu folgen."
"Schluß mit dem Reformwahnsinn", telegraphierte Handwerksmeister Lunz aus dem fränkischen Weißenburg nach Stuttgart, als der Südfunk Mitte März eine Fernsehsendung "Pro und contra Mengenlehre" ankündigte. "Wir sind für Abschaffung der Mengenlehre", meldete die "gesamte Elternschaft Frauenchiemsee" per Fernschreiben. Noch nie gab es vor einer Sendung "Pro und contra ..." so viel Post. Alle Eingänge waren contra.
Bundesbürger aller Klassen und aller Grade von Bildung, in allen Parteien und in allen Provinzen empören sich über ein Schulfach, das "Neue Mathematik" heißt und als "Mengenlehre" verdammt wird, am liebsten in alle Ewigkeit.
Für "Blödsinn" erklärt sie Bauer Josef Sabisch aus dem niedersächsischen Lühnde, der Zwiebeln und Kohl anbaut. Als "intellektuelle Notzucht" bezeichnet sie der Münchner Philosoph Anton Neuhäusler, unter anderem Autor je eines Buches über Hellsehen und über "Zeit und Sein".
Eine "ungeheure Indoktrination des kindlichen Denkens und Tuns" sieht das klassenkämpferische Lehrerblatt "päd. extra" in der Mengenlehre. In Baden-Württemberg führt der multimillionenschwere Alois Graf Waldburg-Zeil ien Kampf an der Spitze aller Gegner.
Daß die Mengenlehre weder christlich noch sozialistisch ist, zeigen die Debatten in den Landtagen. Fast überall ist die Opposition, gleich ob CDU oder SPD, lautstark dagegen, und die jeweilige Regierung ist nur so vorsichtig dafür, daß sie notfalls noch auf Gegenkurs gehen kann.
Ausnahmen gibt es lediglich im Norden. Hamburgs Schulsenator Günter Apel ist eindeutig dafür und wird von Genossen verdächtigt, das habe die SPD bei der Hamburg-Wahl mindestens zwei Prozent der Stimmen gekostet. Und Schleswig-Holsteins CDU-Kultusminister Walter Braun ist eindeutig dagegen. Er setzte die Mengen-
* Aus Neunzig/Sorger, "Wir lernen Mathematik", Herder-Verlag, Freiburg (l.), Fricke-Besuden, "Mathematik in der Grundschule", Klett-Verlag, Stuttgart.
lehre an den Grundschulen seines Landes auf 15 Prozent des Mathematikunterrichts herab, erwägt weitere Schritte und drängt auch seine Ministerkollegen, "umgehend eine "Kurskorrektur" herbeizuführen".
In dieser Woche hofft das Augsburger Ehepaar Peter und Christine Kragler dies zumindest für ein Bundesland durch Gerichtsurteil zu erzwingen. Der Bayrische Verfassungsgerichtshof hat für Donnerstag die Entscheidung darüber angekündigt, ob der Mengenlehre-Unterricht an den Schulen des Freistaates Menschenwürde und Elternrecht verletzt.
Die Mengenlehre beschäftigt und empört mehr Eltern als irgendein anderes Schulthema. Sie wird an fast jeder Schule in der Bundesrepublik betrieben, wie es die deutschen Kultusminister 1968 einstimmig beschlossen haben. Um Mengenlehre an Gymnasien gibt es keinen Streit, nur um die Mengenlehre an den Grundschulen geht es. In den meisten Bundesländern müssen die Schulanfänger seit dem Schuljahr 1972/73, in einigen seit 1973/74 die moderne Mathematik lernen.
Schon von den ersten Schultagen an sind Jungen und Mädchen damit beschäftigt, Kreise, Quadrate und Dreiecke zu malen und zu ordnen, Figuren nach roten Pullovern, gelben Haaren oder blauen Hosen auseinanderzuhalten und mit Klötzen, Blöcken oder Plättchen zu spielen. Zu Mengen wird vieles, was die Kinder umgibt: Mitschüler und Bleistifte, Autos auf dem Parkplatz und die Tassen daheim im Küchenschrank.
Es gibt Kinder, die das ganze erste Schuljahr lang diese moderne Mathematik lernen, aber noch keine einzige Zahl kennen, geschweige denn rechnen können. Doch auch dort, wo nicht" nur gezeichnet und sortiert, sondern auch gezählt und gerechnet wird, verlangt das fremde Fach nach Ansicht vieler Eltern teils zuwenig (weil gespielt und nicht gelernt wird), teils zuviel: Die Kinder gebrauchen Zeichen und Wörter, ohne die man früher bequem durchs Abitur kam.
Geschweifte Klammern und Ellipsen, in die immer neue und immer andere Mengen geschrieben oder gezeichnet werden, füllen viele Hefte. Väter und Mütter, die pflichtbewußt den Bestseller "Eltern lernen die neue Mathematik" oder ein anderes der fünf Dutzend Elternbücher gelesen oder einen Kurs an der Volkshochschule besucht haben, sind ihren Kindern wenigstens in der Erkenntnis voraus, daß es Mengen in Unmengen gibt: unter anderem Grund-, Teil-, Vereinigungs-, Ergänzungs-, Schnitt-, "Unterschieds-, Null-, Verbindungs-, Rest-, Produkt-Lösungsmengen.
Aber selbst allabendlich strebend bemühten Eltern fällt es oft schwer, mit ihren Sprößlingen mitzuhalten oder ihnen zu helfen, wenn sich die Begriffe verwirren.
Von Mächtigkeit reden Achtjährige und meinen nicht Könige oder Kanzler, sondern Mengen von Haselnüssen und Rosinen. Und wenn sie sagen, irgend etwas sei irgend etwas anderem "eineindeutig" zuzuordnen, dann stottern sie nicht, sondern sind stolz darauf, daß sie dem Vater auch dann überlegen sind, wenn er Abitur und Doktortitel besitzt. Laut Mengenlehre-Gegner Hans Stahl (Stuttgart) "sehen die Kinder früh, zu früh, ihre Eltern hilflos und unwissend. Damit schwindet die Achtung, die Kinder können nicht mehr ihre Eltern fragen, deren Vorbild verblaßt".
Empört notieren sich Väter und Mütter die schlimmsten Sätze. auch wenn sie nur aus einem Elternbuch und nicht aus dem Schulunterricht stammen. Da eilt dann nicht mehr einfach, daß 6 + 1 = 7 ist, sondern es heißt: "Die Menge der Zahlen, die die Eigenschaft besitzt, genau um 1 größer zu sein als 6, enthält genau ein Element, nämlich 7."
Aus den USA kam zwar bislang nicht der Bestseller herüber, den dort der New Yorker Professor Morris Kline gegen die Mengenlehre schrieb ("Warum Johnny nicht addieren kann"), aber seine besten Pointen machen unter Kennern zwischen Kiel und Konstanz schon die Runde. Etwa dieser Dialog: Vater: Wieviel ist 5 + 3?
Kind: 5 + 3 ist 3 + 5 nach dem Kommutativgesetz.
Vater: Ja, aber wie viele Äpfel sind denn fünf und drei Äpfel?
Kind: Meinst du fünf plus drei Äpfel? Vater: Ja.
Kind: Ach, das ist ganz egal, ob von Äpfeln, Pfirsichen oder Büchern die Rede ist. In jedem Fall ist 5 + 3 = 3 + 5.
Angesichts der Mengen, die durch Deutschlands Schulklassen und Wohnzimmer geistern, befürchtet Gertrud Fischer aus dem bayrischen Kolbermoor gar: "Angenommen, ich schicke meine Tochter zum Metzger, um eineinhalb Pfund Schweinefleisch zu holen, aber durch das Element der Menge des Fleisches vom Schwein bringt sie mir vielleicht ein halbes Schwein nach Hause."
"Wie lange noch, Herr Minister?"
Viele Eltern scheinen zum Schaden den Spott nicht mehr ertragen zu können. Die Empörung über die Mengenlehre hat Humor und Widerspruch erstickt. Vergessen sind die Vor-Zeiten, als Kultusminister den Eltern und Kindern noch "viel Vergnügen" bei der Mengenlehre wünschten (wie Bernhard Vogel, Rheinland-Pfalz) und als "Bild" ankündigte: "Sie werden staunen: Ihr Kind schafft das spielend!"
Kaum noch Gehör finden Lehrer und Eltern, die den Volkszorn dämpfen und die Mengenlehre verteidigen wollen. Bislang vergebens baten die Lehrer der friesischen Grundschule Leck ihren Kultusminister, den Mengenlehre-Gegner Braun, "sich an Ort und Stelle zu überzeugen, daß unsere Schüler weder überfordert noch gequält" verquält, gestört sind, daß ·sie aber vom zweiten Schuljahr ab das Rechnen spielend lernen".
Daß Mengenlehre Kindern Spaß macht, steht nur dann und wann in einem Leserbrief. In den Schlagzeilen hingegen steht, wörtlich oder in immer neuen Variationen: Mengenlehre macht krank. Und unabhängig davon, ob dieser Slogan stimmt oder nicht, kann es sein, daß die Mengenlehre an Deutschlands Grundschulen daran stirbt.
Nicht mehr nur Mütter klagen über Fieber, Bauch- und Kopfschmerzen, Brechreiz und Pickel ihrer Kinder, ausgelöst durch das überfordernde Fach. Auch Ärzte warnen vor den Folgen. Binnen weniger Wochen berühmt wurde der Stuttgarter Kinderpsychiater Fritz Held. Er ist Autor von Arbeiten über die Legasthenie (Lese- und Rechtschreibschwäche).
Held gerät "in eine Katastrophenstimmung bei der Vorstellung, daß durch die neue Mathematik womöglich auch noch Legionen rechenschwacher Kinder auf diese Weise gezüchtet werden". Er gründete eine "wissenschaftliche Aktionsgemeinschaft" mit dem Ziel, daß Ganzwort-Methode -- angeblich schuld an der Legasthenie -- und Mengenlehre "an unseren Grundschulen wieder abgeschafft werden".
Während Ärzte, Ärztekammern und -verbände vorerst nur vereinzelt gegen die Mengenlehre kämpfen, hat sich eine andere akademische Sparte fast vollzählig mit den empörten Eltern verbündet. Es sind die Universitätsprofessoren für Mathematik, die von der Art, wie Mengenlehre derzeit an deutschen Grundschulen betrieben wird, nicht viel mehr als nichts halten.
Mengenlehre sei zwar, argumentiert die "Deutsche Vereinigung für mathematische Logik", eine "wichtige mathematische Disziplin", aber für die Schule kaum geeignet. Dort könne es allenfalls eine "Gebrauchsmengenlehre" geben, die "eher eine Sprache als ein eigener mathematischer Stoff" sei und deshalb im Zusammenhang mit anderen Stoffen "allmählich und zwanglos eingeführt werden" solle.
Die Gegenpartei bilden, nahezu ebenso geschlossen, die Professoren für Didaktik der Mathematik, die an den Pädagogischen Hochschulen tätig sind. Sie sind auch als Schulbuch-Autoren bemüht, der Grundschule das neue Gebiet zu eröffnen, um Anschluß an die weiterführenden Schulen zu halten.
Der Tübinger Universitäts-Mathematiker Walter Felscher, praxisnah durch Tochter Julia, 10, versucht sich als Volkstribun. Felscher im Fernsehen an die Adresse der Kultusminister: "Wenn man oben einen Stein wirft, dann muß man wissen, ob unten eine Lawine entsteht oder nicht, und diese Lawine droht uns im Moment zu erschlagen."
Mit Mathematikern und Medizinern im Bunde glauben sich die Mengenlehre-Gegner unter Deutschlands Eltern dem Siege schon nahe. Und auch die veröffentlichte Meinung haben sie größtenteils auf ihrer Seite.
Hektik und Hysterie kennzeichnen die Atmosphäre. "Bild", "Bunte", "Schule" und andere Massen- und Elternblätter übertrumpfen einander mit immer neuen Losungen wie "Grober Unfug mit der Mengenlehre" oder "Wie lange noch Mengenlehre, Herr Minister?"
Wie verbreitet der Elternzorn über die Mengenlehre auch sein mag, die Entscheidung wird nur für und nicht gegen die neue Mathematik in der Grundschule fallen können. Es gibt keine Alternative, die vernünftig wäre.
Es kann nur darum gehen, daß anders und besser unterrichtet wird, als es derzeit ah vielen Schulen geschieht. "Ein Rückfall in den alten Rechenunterricht" aber, so warnt Heinrich Bauersfeld, Professor für Didaktik der Mathematik in Bielefeld, "wäre das Schlimmste, was uns passieren kamt."
Nach Bauersfelds Meinung wäre es der Anfang vom Ende der modernen Mathematik, wenn Schleswig-Holsteins Braun bei seiner Reduzierung der Mengenlehre auf 15 Prozent bliebe und wenn andere Kultusminister seinem Beispiel folgten. Bauersfeld: "Eine Reduzierung der heuen Inhalte auf weniger als ein Fünftel des Unterrichts bedeutet den Abbruch der Reform, ehe sie eine Chance gehabt hat."
Es geht um jenes Gebiet der neuen Mathematik, dessen Inhalt -- der Umgang mit Mengen -- mittlerweile jedermann zumindest vom Hörensagen kennt. Mengen werden gebildet, indem verschiedene Dinge einfach aufgezählt oder aufgrund einer oder mehrerer gemeinsamer Eigenschaften zusammengefaßt werden. Eine Menge der ersten Art kann nach Bertrand Russell aus einem Esel, einem Ministerpräsidenten und einem Kohlkopf bestehen. Von der zweiten Art wäre zum Beispiel die Menge aller Abgeordneten der CDU/CSU-Fraktion.
In der Schulmathematik spielen nur Mengen der letztgenannten Art eine Rolle. Der Umgang mit solchen Mengen hat den großen Vorzug, daß er schwierige, aber gerade auch elementare Rechenvorgänge anschaulich und in einer zuvor unbekannten Weise einsichtig macht.
Das Auffüllen eines Einkaufskorbs, das Abdecken eines Tisches und das Parken eines Autos sind, mathematisch gesehen, Akte der Mengenlehre. Das Kind, das beobachtet, wie erst vier und dann nur noch zwei Gläser auf dem Tisch stehen, begreift vom Wegnehmen (Subtrahieren) vermutlich mehr, als wenn man es zwingt, zur Kenntnis zu nehmen, daß 4 -- 2 = 2 sind, als sei dies ein Naturgesetz.
Im übrigen gilt die Mengenlehre als die erste Theorie der Mathematik, die eine halbwegs verständliche Definition der Zahl liefert: die Zahl als gemeinsame Eigenschaft aller Mengen mit gleich vielen Elementen. Legasthenie durch Ganzwort-Methode?
Illusionisten unter den Verfechtern des neuen Faches glauben, der ganze Streit sei auf ein Mißverständnis zurückzuführen. Denn ein neues Schulfach Mengenlehre gebe es nicht, allein schon der Begriff führe in die Irre.
Wahr ist, daß weder das Rechnen abgeschafft noch daß vier Jahre lang an der Grundschule Mengenlehre gelernt werden soll. Wahr ist auch, daß die Mengenlehre, wie sie an den Grundschulen betrieben wird, sich erheblich von der Mengenlehre unterscheidet, die an Universitäten gelehrt wird.
Und richtig ist, daß Mengenlehre nur einen Teil der modernen Mathematik ausmacht, die an den Grundschulen Einzug gehalten hat. Andere Teile sind Relationen, Geometrie und Vorübungen zur Logik. Grundschüler lernen heute vieles kennen, was bis vor kurzem den Älteren an weiterführenden Schulen vorbehalten blieb: Sie wiegen und messen, legen Ringe und Ketten, bauen Türme und wechseln Geld.
Der Anteil müßte ohne Zweifel auf Null gebracht werden, wenn der härteste Vorwurf der Gegner -- Mengenlehre macht krank -- zuträfe. Doch daß er am wenigsten begründet ist, kann heute schon als sicher gelten.
Mengenlehre-Unterricht macht so viel oder so wenig krank wie andere
* Aus "Alef. Wege zur Mathematik (o.), Oehl-Palzkill, "Die Welt der Zahl -- neu", beide Schroedel-Verlag, Hannover.
Schulfächer auch. Zweifellos werden Kinder heute in der Schule, auf der Straße, im Elternhaus ebenso wie in ihrer übrigen Umwelt stärker strapaziert als früher. Aber die Schwierigkeiten und Schäden lassen sich nicht punktuell auf eine Ursache zurückführen.
Wie wenig ein einzelnes Fach oder gar eine einzelne Methode zur Ursache für psychische und physische Störungen erklärt werden können, zeigt ausgerechnet die Ganzwort-Methode, die seit vielen Jahren umstritten ist und die jetzt zusammen mit der Mengenlehre erneut unter Beschuß steht.
Bei der Ganzwort- Methode lernen Schüler der ersten Schulklassen das Lesen und Schreiben nicht primär mit Hilfe des Alphabets, wie bei der früher überall üblichen sogenannten "synthetischen Methode", sondern es werden ihnen ganze Wörter optisch vorgeführt, die sie sich einprägen müssen. Erst später wird ihnen beigebracht, einzelne Buchstaben zu erkennen.
In den bundesdeutschen Lehrerzimmern geraten sich Ganzwort-Anhänger und Abc-Verfechter kaum mehr in die Haare. Einige Pädagogen sind stillschweigend von der neuen analytischen wieder auf die synthetische Methode umgestiegen, die Mehrheit praktiziert eine Mischform aus beiden Möglichkeiten. Und die Frage, wer es nun eigentlich richtig mache, wurde inzwischen wissenschaftlich geklärt. Die Antwort lautet: beide.
Dennoch hört die Polemik gegen die Ganzwort-Methode nicht auf. So erhob jüngst der Münchner Professor für Kinderheilkunde, Theodor Hellbrügge, den Vorwurf, "Ganzheitsideologie und Mengenlehre" würden die Schüler "überfordern". "Medizinische Untersuchungen" hätten beispielsweise ergeben, daß "zehn bis 17 Prozent der Schüler ausschließlich durch die Ganzheits-Methode zu Legasthenikern" geworden seien. Da Hellbrügge annimmt, daß etwa 20 Prozent der Schüler Legastheniker sind, wäre mithin bei weitaus den meisten die Ganzheits-Methode die Ursache.
Rechenzentrum im Gehirn?
"Unbegreiflich" findet Renate Valtin, Erziehungswissenschaftlerin in Hamburg und Herausgeberin der bislang gründlichsten Sammelarbeit über Legasthenie, solch ärztliche Meinung. "Und warum", so fragt Frau Valtin, "gibt es dann in Österreich 22 Prozent Legastheniker -- aber kaum eine Schule, die nach der Ganzwort-Methode unterrichtet?"
In der Bundesrepublik leidet etwa jedes zehnte Kind unter einer mehr oder minder schweren Legasthenie. Es sind Schüler, die "Dederbed" statt "Federbett" schreiben und "Ferksambl" statt "Verkehrsampel" oder "Hoite ist witer schenes Weter. Der mameladen aimer War serfol."
Seit etwa 15 Jahren wird die Legasthenie auch in der Bundesrepublik gründlicher erforscht. Die Theorie, Lese- und Rechtschreibschwäche nehme ständig zu -- von Gegnern der Ganzheits-Methode besonders gern vorgetragen -, ist unhaltbar. Legasthenie wird nur häufiger erkannt und nicht mehr wie früher mit Dummheit oder Faulheit verwechselt ein Irrtum, der oft genug Kinder frühzeitig ins soziale Abseits der Sonderschule verbannt hatte.
Fast stets, so erläutert Legasthenie-Expertin Valtin, ist die Lese- und Rechtschreibschwäche auf ein Zusammenwirken vieler Faktoren zurückzuführen. Sie liegen teils im seelischen, teils im körperlichen Bereich. Wichtigste Ursachen unter anderem:
* die Unfähigkeit, exakt zu hören und zu artikulieren (ein Viertel aller Legastheniker stammeln, stottern, verschlucken Silben oder betonen falsch);
* eine "anlagemäßig schwächere Nutzungsfähigkeit des Gedächtnisses", genannt "Speicherschwäche";
* frühkindliche Hirnschädigungen" hervorgerufen etwa durch Komplikationen während der Schwangerschaft oder der Geburt.
Wie entscheidend auch Umwelteinflüsse, vor allem das Elternhaus, sein können, beweisen die Zahlen aus der bislang größten Repräsentativuntersuchung in der Bundesrepublik: 72 Prozent der Legastheniker stammen aus unteren Sozialschichten, nur 28 Prozent aus der Mittelschicht.
Die Gegner der Ganzwort-Methode und auch der Mengenlehre nehmen von solchen Forschungsergebnissen freilich kaum Notiz. Sie berufen sich mit Vorliebe auf die von dem Stuttgarter Kinderpsychiater Held vorgebrachte Theorie, diese Lehrmethoden seien mit Funktion und Organismus des kindlichen Gehirns nicht vereinbar. Nach Held müßten die auf ihre jeweiligen "Spezialaufgaben vorprogrammierten" Hirnzentren in ganz bestimmter Weise "gefüttert werden" -- so das "Sprachzentrum mit Worten, das Lese- und Schreibzentrum mit Buchstaben und das Rechenzentrum mit Zahlen".
Die Vorstellung von so eng begrenzten Spezialzentren ist von den Hirnforschern freilich längst widerlegt worden. Sie wissen, daß es im menschlichen Gehirn nur ein Wahrnehmungszentrum gibt, das alle visuellen, akustischen und sensorischen Informationen aufnimmt und sie dann (in einer im einzelnen noch völlig ungeklärten Weise) wieder an andere Gehirnbereiche weitergibt.
Sowenig moderne Mathematik, vernünftig betrieben, krank macht, so unbegründet ist auch die Sorge vieler Eltern, ihre Kinder lernten nicht mehr genug rechnen. Hier ist der Gegenbeweis schon durch einen Großversuch geliefert worden, der unter Leitung des Mathematik-Didaktikers Bauersfeld vier Jahre lang in Frankfurt gelaufen ist und mit einer Million Mark aus zwei Stiftungen finanziert wurde. Mengenlehre
schon hundert Jahre alt.
Je 40 Schulklassen wurden in herkömmlicher und auf moderne Weise unterrichtet. Am Ende hatten "beide Gruppen im ganzen gesehen denselben Grad an Rechenfertigkeit erreicht" (Bauersfeld).
Bei weitem nicht in allen deutschen Schulen wird allerdings derzeit neue Mathematik unter so guten Bedingungen unterrichtet, wie es in den Frankfurter Versuchs-Klassen möglich war. Sie arbeiteten nach einem Konzept Bauersfelds, das als besonders geglückter Versuch gilt, eine der kühnsten Aufgaben in der jüngeren deutschen Schulgeschichte zu lösen:
Es geht darum, die Grundschule mit einzubeziehen, wenn die tiefe Kluft zwischen der Mathematik an den Universitäten und der Mathematik an den Schulen geschlossen wird.
Bis vor kurzem war es deutsche Tradition, daß sogar die Gymnasien mindestens zwei Generationen hinter den Hochschulen zurückblieben. So nannte denn auch bis in die sechziger Jahre hinein nur selten ein Studienrat im Unterricht den Namen jenes Hallenser Professors Georg Cantor (1845 bis 1918), der die. Mengenlehre vor hundert Jahren begründet hat.
Bis dahin galt auch unter Mathematikern als selbstverständlich, daß im Unendlichen nichts zu differenzieren sei. Cantors Ausgangspunkt war die Frage, ob die Menge der reellen Zahlen (die er durch unendliche Dezimalbrüche darstellte) größer sei als die Menge der ganzen Zahlen. In komplizierten Gedankengängen, die er in Briefen mit einem Kollegen, dem Braunschweiger Mathematiker Richard Dedekind, erörterte, gelangte er zu dem Ergebnis, daß auch unendliche Mengen miteinander verglichen werden können.
Cantor stieß auf Unverständnis und Widerstand anderer Mathematiker. Am tiefsten schmerzte ihn die Abneigung seines Lehrers Leopold Kronecker, dem er gern auf dessen Berliner Lehrstuhl nachgefolgt wäre. Aber Kronecker nannte Cantor einen "Verderber der Jugend" und spielte auf ihn an, als er ein seither unter Mathematikern geflügeltes Wort prägte: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles andere ist Menschenwerk."
Die Bedeutung der Mengenlehre Cantors wurde erst im Laufe etlicher Jahrzehnte erkannt. "Die Mengenlehre", so schwärmen heute die Professor ren Walter Neunzig (Pädagogische Hochschule Freiburg) und Peter Sorger (Pädagogische Hochschule Kiel), "ist mehr als eine einzelne mathematische Disziplin. Sie erlaubt es, den Aufbau der gesamten Mathematik aus wenigen Grundprinzipien zu versuchen." "Rechenfälle des täglichen Lebens lösen."
Dank Mengenlehre und dank der Bemühungen eines Wissenschaftlerteams mit dem Pseudonym "Bourbaki", die Strukturen der Mathematik aufzuhellen, hat sich diese Wissenschaft in den letzten Jahrzehnten so stürmisch entwickelt wie selten in ihrer Geschichte. Sie ist dadurch zwar lebendiger, aber auch schwieriger geworden. Eine der Folgen: Die Quote der Studenten. die ihr Mathematik-Studium schon in den ersten Semestern abbrachen, erreichte stellenweise 30 bis 50 Prozent.
Solche Erfahrungen gaben in vielen Ländern den Schulreformern Auftrieb. In Deutschland blieb die Erneuerung des Mathematikunterrichts zunächst auf die Gymnasien beschränkt. Hier wurden uralte Stoffgebiete liquidiert, etwa die sphärische Trigonometrie, oder auf ein Minimum reduziert, wie die Zinseszins- und Rentenrechnung. Andere Gebiete wurden neu aufgenommen oder erheblich erweitert, wie beispielsweise die Infinitesimalrechnung.
Das alles geschah, ohne daß es außerhalb der Schul- und Fachwelt überhaupt wahrgenommen wurde. Zur öffentlichen Aufregung kam es erst, als die Erneuerung der Mathematik auf die Grundschulen ausgedehnt wurde.
Dabei lag nirgends so viel im argen wie gerade an diesen Schulen für die Sechs- bis Zehnjährigen. Niemand war je auf die Idee gekommen, ihren Rechenunterricht als Mathematik zu bezeichnen. Als Lernziel genügte es (so noch 1967 der Bildungsplan für die baden-württembergischen Grundschulen), "die Rechenfälle des täglichen Lebens zu erkennen und unter Anwendung des richtigen Rechenverfahrens sicher und selbständig zu lösen". Wenn irgendwo, dann wurden hier die Zahlen buchstäblich als gottgegeben hingenommen, wie es Cantor-Gegner Kronecker vor hundert Jahren gefordert hatte. Wo aber Einsicht in Zusammenhänge gar nicht erwünscht war, blieb nur der Drill übrig.
Nicht einmal die selbstgestellte bescheidene Aufgabe, die Kinder das Rechnen zu lehren, vermochte die Grundschule halbwegs zu erfüllen. Wann und wo immer Rechenkünste getestet wurden, verbreitete sich Entsetzen über die Ergebnisse. 1966 etwa ließen die Industrie- und Handelskammern über 2000 Lehrlinge prüfen und stellten fest, daß die Hälfte unfähig war, gewöhnliche Brüche zu addieren. Ein Drittel zeigte sich sogar außerstande, schriftlich malzunehmen.
Als die deutschen Kultusminister 1968 die moderne Mathematik auch für die Grundschule beschlossen, nannten sie vor allem wirtschaftliche Gründe: Es gehe um die Kenntnisse, die "jungen Menschen vermittelt werden müssen, die sie zu dem Zeitpunkt brauchen, an dem sie in die moderne Arbeitswelt eintreten".
Aber auch Psychologen und Pädagogen hatten mittlerweile neue Erkenntnisse gewonnen, die für eine Umstellung sprachen. Versuche vor allem des in Kanada lebenden Ungarn Zoltan Dienes und denkpsychologische Überlegungen des Schweizers Jean Piaget hatten ergeben, daß Kinder im Grundschulalter durchaus fähig sind, sich mit konkreten, einfachen mathematischen und logischen Fragen zu beschäftigen.
Als wichtigste Voraussetzung erwies sich, daß die Kinder mit dieser Materie spielend umgehen. Dazu Dienes: "Es könnte dem konservativen Lehrer scheinen, daß Mathematik in ein Spiel oder in eine Anzahl von Spielen verwandelt wird, und es ist tatsächlich so."
Dienes bemühte sich außerdem, Hilfsmittel zu entwickeln, die den Kindern die spielerische Beschäftigung mit den Anfangsgründen der Mathematik erleichtern sollten. Das Kind, so fand Piaget, "muß gehandelt, experimentiert haben, aber nicht nur mit Zeichnungen, sondern mit wirklichem Material, mit körperlichen Gegenständen". Die Logischen Blöcke, die Dienes entwarf, wurden ein Welterfolg.
Die moderne Mathematik bietet nicht nur die Chance, die Kinder anhand eigener Erfahrungen die ersten Erkenntnisse im Umgang mit Mengen und Zahlen erwerben zu lassen, sie zwingt auch beinahe dazu, auf den Frontalunterricht des Lehrers vor der Klasse zu verzichten und die Kinder einzeln oder in kleinen Gruppen arbeiten zu lassen. Daß es dabei lauter zugeht als sonst im Unterricht, ist eine durchaus erwünschte Nebenfolge.
Aber noch bevor die erste Klasse sich der neuen Mathematik zuwandte, war Kennern der deutschen Schulen klar, daß hier auf lange Zeit Wunsch und Wirklichkeit nicht miteinander zu vereinbaren sein würden. In Klassen, die mit 35 bis 40 Kindern überfüllt sind, läßt sich die Arbeit in kleinen Gruppen nur schwer verwirklichen.
Gleichwohl schien es vielen Lehrern verlockend zu sein, den Unterricht zu reformieren und dem Ziel zuzustreben, das der Regensburger Mathematik-Didaktiker Hermann Maier so beschrieb: Entwickelt werden sollten bei den Kindern im Mathematikunterricht "Flüssigkeit und Flexibilität im Denken, geistige Initiative und Selbständigkeit, kritisches Entscheiden über den Wahrheitswert von Aussagen und Schlußfolgern nach den Gesetzen der Logik".
Andere Lehrer blieben skeptisch. Die Art, wie die Umstellung zwischen 1968 und 1972 vorbereitet wurde, konnte sie in ihrer Haltung nur bestärken.
In mehreren Bundesländern begannen die Kurse und Lehrgänge, mit denen Lehrer sich auf die neue Aufgabe umstellen sollten, mit einem Fehlstart. Es wurde über die neue Mathematik so akademisch doziert, als sollten künftige Professoren herangebildet werden. Solche Veranstaltungen wurden bald abgebrochen und durch andere ersetzt, in denen didaktische Fragen größeres Gewicht erhielten.
Fortbildung nach dem Schneeballsystem.
Überaus unterschiedlich waren die Möglichkeiten, die den Lehrern zur Vorbereitung auf das neue Fach geboten wurden. Manche mußten sich an etlichen Nachmittagen in einem Seminar einfinden, andere verbrachten ihre Wochenenden bei Mengenlehre-Tagungen, wieder andere nahmen an Funkkollegs teil. Häufig wurde nach dem Schneeballsystem verfahren: Einige Dutzend Lehrer ließen sich in Seminaren schulen und gaben dann als Multiplikatoren ihre gerade erst erworbenen Kenntnisse jeweils einigen Dutzend Kollegen weiter.
Oft fanden Kurse schon statt, wenn die Lehrpläne noch gar nicht vorlagen. Während viele Schulbehörden nur schleppend arbeiteten, begannen Schulbuchverlage geradezu hektisch tätig zu werden. Sie witterten das große Geschäft. Schulbücher und Lehrpläne aufeinander abzustimmen, war oft einfach, allerdings mischten sich dann Kommerz und Kulturpolitik: Etliche Professoren für Didaktik der Mathematik sind sowohl Autoren von Büchern wie Mitglieder von Lehrplan-Kommissionen.
Nur die Verlage, die schnell handelten, konnten hoffen, sich einen großen Marktanteil zu erobern. Denn die Kosten für die Bücher und für Material, das jeweils dazugehört, sind so hoch. daß viele Schulen schon aus finanziellen Gründen das Buch kaum wechseln können.
Binnen kurzer Zeit war der Markt überschwemmt mit viel zu vielen Büchern, zum großen Teil in Eile geschrieben, und viel zu vielen Materialien. Am schnellsten und wohl auch am erfolgreichsten waren der Freiburger Professor Walter Neunzig und sein Kieler Kollege Sorger. Ihr Schulbuch "Wir lernen Mathematik" war schon startklar, als sich die Kultusminister noch gar nicht für moderne Mathematik in der Grundschule entschieden hatten.
Die Ausgaben für die vier Grundschuljahre erreichten zusammen mit den dazugehörigen Arbeitskarten, Lehrer- und Elternbüchern eine Auflage von über eine Million Exemplaren. Neunzig und Sorger verfaßten außerdem einen "Einstieg in die Mathematik", und Sorger kam zusammen mit einem anderen Kollegen auch noch durch "Denken mit Lego" ins große Geschäft.
Als verkaufsträchtig erwies es sich, daß nur Neunzig/Sorger die populären Logischen Blöcke als Arbeitsmaterial empfehlen dürfen. Ihr Verlag, Herder in Freiburg, besitzt die Exklusivrechte für die Blöcke, die er zu Preisen zwischen 4,20 Mark (Plastik im Beutel) und 60 Mark (Großausgabe in Hohlplastik) vertreibt.
Neunzig und Sorger halten, wie die meisten anderen Autoren auch, ihre Bücher für frei von gravierenden Mängeln. Schwierigkeiten führt Sorger nicht auf seine Bücher, sondern auf die Lehrer zurück: "Der unangenehmste Mangel, der sich besonders negativ auswirkt, scheint mir mehr in der Lehrerpersönlichkeit als in der Sache zu liegen; es ist der Versuch, neue Begriffe, neue Verfahren zu üben und zu üben, "bis es sitzt'. Das ist Drill, der abzulehnen ist."
in Wirklichkeit ist es aber so, daß viele Schwierigkeiten, die Lehrer, Schüler und Eltern haben, auf die Schulbücher zurückzuführen sind. Und stärker noch als andere Werke kranken die Bücher von Neunzig/Sorger daran, daß sie der Mengenlehre viel zu viel Gewicht geben.
Kritiker haben ausgezählt, daß die beiden Autoren in das erste Schuljahr doppelt soviel Mengenlehre gestopft haben wie ihre Kollegen und Konkurrenten Winter/Ziegler ("Neue Mathematik") und dreimal soviel wie Fricke/Besuden ("Mathematik in der Grundschule").
Auf der ersten Seite von "Wir lernen Mathematik" schon lassen sich aus Schülern auf dem Pausenhof Mengen bilden, und auch später verlangen die mit Mengenbildern bis zum Rand gefüllten Seiten die äußerste Konzentration der Kinder.
Während in etlichen anderen Büchern schon in der zweiten Hälfte des ersten Schuljahres die Rechenaufgaben dominieren und die Mengendarstellungen zu illustrativem Beiwerk werden, ist es bei Neunzig/Sorger umgekehrt. Rechenaufgaben werden immer wieder erdrückt von Gittertafeln und Mengenkreisen.
Keine Schwierigkeiten mit der leeren Menge.
Auch in anderer Hinsicht fällt ein Vergleich zu ihren Ungunsten aus. In ihrem Buch für das erste Schuljahr stehen schon auf den ersten zehn Seiten Begriffe wie "Euler-Diagramm", "Ergänzungsmenge"" "Grundmenge"" "analog" und "Mengensymbole". Zwar können die Kinder selbst diese Wörter noch nicht lesen, aber Lehrer und Eltern werden sie daraufhin im Unterricht und zu Hause gebrauchen. In Oehl/Palzkill "Die Welt der Zahl -- Neu" hingegen taucht der Begriff "Menge" erstmalig auf Seite 15 auf, später kommen noch einige gängige Mengenbegriffe hinzu, andere Termini bleiben den Kindern bis zum Ende des Schuljahres erspart. In anderer Hinsicht entsprechen die Werke von Neunzig und Sorger eher den Anforderungen, die an Grundschul-Bücher für moderne Mathematik zu stellen sind. Die leere Menge etwa, in der öffentlichen Auseinandersetzung oft als Stichwort für den Unsinn der Mengenlehre genannt, bietet kaum Probleme. Neunzig/Sorger lassen von einer Menge mit sieben Klötzen eine Menge mit ebenso vielen Elementen abziehen. Die Restmenge erweist sich als leer: 7
-- 7 = 0. Sie enthält keine Elemente mehr: "Das Zeichen 0 verwenden wir bei der leeren Menge und nennen es Null." Bei Oehl/Palzkill wird die leere Menge illustriert durch einen Korb, der mehrfach gezeigt wird und immer weniger Äpfel enthält, zum Schluß keinen mehr.
Und auch ein anderer Vorwurf ist, obschon häufig erhoben, kaum berechtigt: Im modernen Mathematik-Unterricht lernten die Schüler nicht mehr gut rechnen. Die meisten Mathematik-Bücher warten mit respektablen Rechenaufgaben auf:
* Am Ende des ersten Schuljahres steht bei Neunzig/Sorger 18 -- 3 ?, bei Fricke/Besuden (Klett-Verlag) 86 -- ? = 81.
* Am Ende des vierten Grundschuljahres steht bei Neunzig/Sorger? 36 -- 240 = 1850. Schüler, die nach dem von Bauersfeld und sechs anderen Autoren verfaßten Werk "alef" arbeiten, konnten zwar nach dem ersten Schuljahr noch gar nicht rechnen, sollen dann aber ihre Altersgenossen überholt haben und am Ende rechnen. können 3 X 83 -4 x 38 = x.
Wie Mengenlehre und andere Teile der modernen Mathematik mit traditionellem Rechnen gemischt werden, bleibt dem Lehrer überlassen. Doch je unsicherer und unlustiger er sich dem neuen Stoff widmet, desto abhängiger ist er vom Buch. Und umgekehrt kann ein Lehrer, der die Materie beherrscht und Spaß daran hat, Mängel auch des schlechtesten Buches abschwächen. Lockern sich die Fronten?
Der Kampf gegen die Mengenlehre hat bei ihren Anhängern die Einsicht verstärkt, daß vieles verbessert werden muß. Mitte März beschlossen die Experten auf einer "Bundestagung für Didaktik der Mathematik" in Berlin, es seien vor allem "zu frühes Abstrahieren, jede Art von Formalismus und besonders Sprechschablonen zu vermeiden".
In dem von mehreren Kultusministern teils erneuerten, teils erstmals verkündeten Prinzip, es sollten keine Hausaufgaben in Mengenlehre mehr gestellt werden, sehen Anhänger wie Bauersfeld und Gegner wie Graf Waldburg-Zeil einen richtigen, wichtigen Schritt.
Und jüngst, bei einem Mengenlehre-Hearing im Stuttgarter Landtag, gab es Anzeichen dafür, daß die Parteien pro und contra sich womöglich bald nicht mehr so frontal gegenüberstehen, wie es derzeit noch der Fall ist.
Bauersfeld sprach sich in Stuttgart für eine Fortführung der Reform des Mathematik-Unterrichts aus, der nach seiner Ansicht "nicht frei von erheblichen Anfangsmängeln" sei· und warnte davor, die Reform wie in Schleswig-Holstein durch administrative Kürzung zu ersticken.
Und ausgerechnet der Wortführer der Gegenseite, der Tübinger Mathematiker Felscher, pflichtete ihm "Wort für Wort" bei.

DER SPIEGEL 13/1974
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