Montag, 28. Mai 2012

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Ausdehnungskoeffizient

Der Ausdehnungskoeffizient oder Wärmeausdehnungskoeffizient ist ein Kennwert, der das Verhalten eines Stoffes bezüglich Veränderungen seiner Abmessungen bei Temperaturveränderungen beschreibt - deswegen oft auch thermischer Ausdehnungskoeffizient genannt. Der hierfür verantwortliche Effekt ist die Wärmeausdehnung. Die Wärmeausdehnung ist abhängig vom verwendeten Stoff, es handelt sich also um eine stoffspezifische Materialkonstante. Da die Wärmeausdehnung bei vielen Stoffen nicht gleichmäßig über alle Temperaturbereiche erfolgt, ist auch der Wärmeausdehnungskoeffizient selbst temperaturabhängig und wird deshalb für eine bestimmte Bezugstemperatur oder einen bestimmten Temperaturbereich angegeben.

Es wird zwischen dem thermischen Längenausdehnungskoeffizienten α (auch linearer Wärmeausdehnungskoeffizient) und dem thermischen Raumausdehnungskoeffizienten γ (auch räumlicher Ausdehnungskoeffizient oder Volumenausdehnungskoeffizient oder kubischer Ausdehnungskoeffizient) unterschieden.

Längenausdehnungskoeffizient

Der Längenausdehnungskoeffizient α ist die Proportionalitätskonstante zwischen der Temperaturänderung \text{d}T und der relativen Längenänderung \frac{\text{d}L}{L} eines Festkörpers. Mit ihm wird demnach die relative Längenänderung bei einer Temperaturänderung beschrieben. Er hat die Einheit K−1 (pro Kelvin) und ist eine stoffspezifische Größe. Mathematisch ergibt sich folgende Definition:

\alpha = \frac{1}{L} \, \frac{\text{d}L}{\text{d}T}

Die Längenänderung eines Stabes bei gleichmäßiger Erwärmung oder Abkühlung um die Temperaturdifferenz \Delta T=T-T_0 kann mit der Lösung der obigen Differentialgleichung berechnet werden, sie lautet:

L(T) = L(T_0) \cdot \exp \left(\int_{T_0}^{T} \alpha (T) \ \text{d}T \right)

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Ausdehnungskoeffizienten \alpha(T)=\alpha(T_0) wird daraus zusammen mit der ursprünglichen Länge L_0=L(T_0):

L = L_0 \cdot \exp (\alpha \cdot \Delta T)

Für die meisten Anwendungen ist es ausreichend, folgende Näherung zu verwenden, bei der die Exponentialfunktion durch die ersten beiden Glieder ihrer Taylorreihe angenähert wurde:

L \approx L_0 (1 + \alpha \cdot \Delta T)

Die Längenänderung \Delta L=L-L_0 in linearer Näherung lautet somit:

\Delta L \approx \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T

Bei anisotropen Festkörpern kann auch die Messrichtung einen Einfluss haben, was in Bezug auf die Aussagekraft der Stoffwerte zu beachten ist.

Raumausdehnungskoeffizient

Der Raumausdehnungskoeffizient γ hat wie der Längenausdehnungskoeffizient α die Einheit K−1. Er gibt das Verhältnis zwischen der relativen Volumenzunahme \frac{\text{d}V}{V} und der Temperaturänderung \text{d}T eines Körpers an. Mathematisch ist er definiert durch:

\gamma = \frac{1}{V} \left (\frac {\part V}{\part T} \right)_{p,N}

wobei die den partiellen Ableitungen als Index nachgestellten Größen Druck p und Teilchenzahl N konstant zu halten sind. Die temperaturabhängige Lösung hierfür lautet analog zu oben:

V(T) = V(T_0) \cdot \exp \left(\int_{T_0}^{T} \gamma (T) \ \mathrm dT \right)

Bei einem von der Temperatur unabhängigen Raumausdehnungskoeffizient \gamma(T)=\gamma(T_0) ergibt sich zusammen mit V(T_0)=V_0:

V = V_0 \cdot \exp (\gamma \cdot \Delta T)

Ebenso wie für den Längenausdehnungskoeffizienten kann hier die Linearisierung als Näherung für kleine Temperaturänderungen benutzt werden:

V \approx V_0 (1 + \gamma \cdot \Delta T)

Mit einer Maxwell-Relation ist es möglich, den Raumausdehnungskoeffizienten mit der Entropie S in Verbindung zu bringen:

\gamma = \frac{1}{V} \left (\frac {\part V}{\part T} \right)_{p,N} = - \frac{1}{V} \left (\frac {\part S}{\part p} \right)_{T,N}

Da die Masse m = \rho(T) \cdot V(T) wegen der Massenerhaltung temperaturunabhängig ist, ergibt sich der Raumausdehnungskoeffizient aus der Dichte \rho(T) in Abhängigkeit von der Temperatur:

\gamma = - \frac{1}{\rho} \left (\frac{\part \rho}{\part T} \right)_p

Ist der Ausdehnungskoeffizient als Funktion der Temperatur bekannt, so ergibt sich die Dichte aus:

\rho(T) = \rho(T_0) \cdot \exp \left( - \int_{T_0}^{T} \gamma (T) \ \mathrm dT \right)

Hierbei ist T_0 eine beliebige Temperatur, z.B. T_0 = 298,15 K = 25 °C, bei der die Dichte \rho(T_0) bekannt ist.

Eduard Grüneisen hat gezeigt, dass der Quotient \alpha / c_p zwischen dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten \alpha und der spezifischen Wärmekapazität c_p näherungsweise unabhängig von der Temperatur ist.

Im Allgemeinen ist der Wärmeausdehnungskoeffizient eine positive Größe. Wegen des Massenerhaltungssatzes geht daher bei den meisten Stoffen eine Temperaturerhöhung mit einer Verringerung der Dichte einher. Manche Stoffe, wie beispielsweise Wasser zwischen 0 und 4 °C, zeigen jedoch in bestimmten Temperaturbereichen das als Dichteanomalie bezeichnete Verhalten, bei dem ein negativer Ausdehnungskoeffizient beobachtet wird. Außerdem gibt es Materialien, wie zum Beispiel einige Arten von Glaskeramik, deren Wärmeausdehnungskoeffizient nahezu null ist.

Der Wärmeausdehnungskoeffizient kann auf empirischem Wege durch Messungen ermittelt werden und gilt nur für den Stoff und für den Temperaturbereich, an dem beziehungsweise in dem die Messung erfolgte.

Zusammenhang zwischen Längen- und Raumausdehnungskoeffizienten

Für isotrope Festkörper gilt, dass sich die Längenänderung in allen drei Raumrichtungen gleich verhält. Das Volumen eines Kastens ist gegeben durch das Produkt seiner Kantenlängen V=L_1\cdot L_2\cdot L_3. Das vollständige Differential des Volumens lautet dann:

\mathrm dV = L_1\cdot L_2\cdot \mathrm dL_3 + L_1\cdot L_3\cdot \mathrm dL_2 + L_2\cdot L_3\cdot \mathrm dL_1

Eingesetzt in die Definition des Raumausdehnungskoeffizienten ergibt sich:

\gamma = \frac{1}{V} \frac{\mathrm dV}{\mathrm dT} = \frac{1}{L_3}\frac{\mathrm dL_3}{\mathrm dT}+\frac{1}{L_2}\frac{\mathrm dL_2}{\mathrm dT}+\frac{1}{L_1}\frac{\mathrm dL_1}{\mathrm dT}

Aufgrund der vorausgesetzten Isotropie sind die drei Terme auf der rechten Seite jeweils gleich dem Längenausdehnungskoeffizienten, es gilt also:

\gamma = 3 \cdot \alpha

Für isotrope Festkörper kann das Dreifache des Längenausdehnungskoeffizienten verwendet werden, um die Volumenausdehnung zu berechnen.

Zweiphasige Werkstoffe

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Für zweiphasige Werkstoffe, die aus einer Matrixphase und einer eingelagerten oder durchdringenden Phase bestehen, ergibt sich der lineare thermische Ausdehnungskoeffizient aus folgender Formel:

\alpha = \alpha_M + \frac{(\alpha_I - \alpha_M) \cdot V_I E_I \cdot (1-2 \nu_M)}{V_M E_M \cdot (1 - 2 \nu_I) + V_I E_I \cdot ( 1 - 2 \nu_M)}

worin die Indizes M und I für die Matrixphase und die eingelagerte Phase stehen und \alpha_M bzw. \alpha_I die Wärmeausdehnungskoeffizienten, V_M bzw. V_I die Volumenanteile, E_M bzw. E_I die Elastizitätsmoduln und \nu_M bzw. \nu_I die Querkontraktionszahlen sind.

Ausdehnungskoeffizienten einiger Stoffe

Längenausdehnungskoeffizient α einiger Feststoffe bei 20 °C
Bezeichnung α in 10−6 K−1 Quelle
Aluminium 23,1 [1]
Beryllium 11,3 [1]
Blei 28,9 [1]
Chrom 4,9 [1]
Diamant 1,18 [1]
Eisen 11,8 [1]
Germanium 5,8 [1]
Gold 14,2 [1]
Graphit 1,9 - 2,9 [2]
Kochsalz 40 [3]
Kupfer 16,5 [1]
Magnesium 24,8 [1]
Mangan 21,7 [1]
Nickel 13,4 [1]
Platin 8,8 [1]
Silber 18,9 [1]
Silizium 2,6 [1]
Titan 8,6 [1]
Wolfram 4,5 [1]
Zink 30,2 [1]
Zinkcyanid – 18,1 [4]
Zinn 22,0 [1]
Zirconiumwolframat – 8,7 [4]

Feststoffe

Für Feststoffe werden in der Regel Längenausdehnungskoeffizienten verwendet, auch wenn viele Materialien isotrop sind. Für anisotrope Stoffe gelten verschiedene Ausdehnungskoeffizienten für die unterschiedlichen Raumrichtungen. Starke Anisotropie zeigen einige Verbundwerkstoffe, wie das Naturprodukt Holz: Die Ausdehnung quer zur Faser ist etwa 10 mal größer als längs der Faser.[5]

Die Legierung Invar wurde speziell entwickelt, um einen kleinen Ausdehnungskoeffizienten zu erhalten. Durch kleine Abweichungen der Zusammensetzung schwankt der Ausdehnungskoeffizient für diesen Stoff relativ stark.

Kunststoffe (Polymere) sind von der Struktur und den Eigenschaften sehr vielfältig und meist ein Gemisch verschiedener reiner Stoffe sind. Der Ausdehnungskoeffizient schwankt entsprechend mit der tatsächlichen Zusammensetzung, ist aber in der Regel deutlich höher als für Metalle, das heißt größer als 50·10−6 K−1.[2]

Raumausdehnungskoeffizient γ einiger Flüssigkeiten bei 20 °C
Bezeichnung γ in 10−3 K−1 Quelle
Aceton 1,46 [1]
Benzol (bei 25 °C) 1,14 [1]
Chloroform 1,21 [1]
Ethanol 1,40 [1]
Essigsäure 1,08 [1]
Glyzerin 0,520 [1]
Methanol 1,49 [1]
Quecksilber 0,1811 [1]
Tetrachlormethan 1,21 [1]
Wasser 0,206 [1]

Flüssigkeiten

Für Flüssigkeiten kann der Raumausdehnungskoeffizient angegeben werden. Sie dehnen sich isotrop, also in alle Richtungen gleichermaßen aus. Ihre Form wird durch das sie beinhaltende Gefäß vorgegeben, weshalb es sich nicht anbietet den Längenausdehnungskoeffizienten für sie zu bestimmen, obwohl er formal berechnet werden kann.

Flüssigkeiten haben in der Regel einen deutlich größeren Ausdehnungskoeffizienten als Feststoffe. Deshalb werden Angaben für sie oft in Tausendstel pro Kelvin gemacht, anstelle von Millionstel pro Kelvin für Feststoffe. In den Tabellen dieses Abschnitts sind die Einheiten dementsprechend gewählt.

Gase

Gase unter Normaldruck und weit oberhalb des Siedepunktes verhalten sich näherungsweise wie ein ideales Gas. Dieses dehnt sich proportional zur absoluten Temperatur aus. Dieser einfache lineare Zusammenhang zwischen Volumen und Temperatur resultiert in einem sich stark mit der Temperatur ändernden Ausdehungskoeffizienten \gamma , der umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur ist:

\gamma_\mathrm{Gas}=\frac{1}{T}

Der Ausdehnungskoeffizient für Gase ist bei 20 °C gleich 1 / 293,15 K−1 (3,41 × 10−3 K−1). Da der Ausdehnungskoeffizient für Gase nicht konstant und im Gegensatz dazu die Volumenänderung mit der Temperatur sehr einfach beschrieben werden kann, ist es nicht zweckmäßig, einen Ausdehnungskoeffizienten anzugeben. Stattdessen kann direkt mit der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase gerechnet werden.

Einzelnachweise

  1. ↑ abcdefghijklmnopqrstuvwxyzaaabac  William M. Haynes: CRC Handbook of Chemistry and Physics. 92. Auflage. Taylor & Francis, 2011, ISBN 978-1439855119 (http://www.hbcpnetbase.com/).
  2. ↑ ab  W. Martienssen, H. Warlimont (Hrsg.): Springer Handbook of Condensed Matter and Material Data. Springer, 2005, ISBN 3-540-44376-2.
  3. ↑  Lloyd Hunter: The Variation with Temperature of the Principal Elastic Moduli of NaCl near the Melting Point. In: Physical Review. 61, 1942, S. 84–90, doi:10.1103/PhysRev.61.84.
  4. ↑ ab  Christian Georgi, Heinrich Kern: Festkörper mit negativer thermischer Ausdehnung. In: Thüringer Werkstofftag 2004. Köster, 2004, ISBN 3-89574-519-7 (http://wcms1.rz.tu-ilmenau.de/fakmb/fileadmin/template/fgmwv/PDF_Dateien/Publikationen/2004/03_Georgi_ThWT04.pdf).
  5. ↑ the coefficients of thermal expansion of wood an wood products. Abgerufen am 10. Mai 2012.

Literatur

  • Gerhard Ondracek: Werkstoffkunde. Leitfaden für Studium und Praxis. 2., überarbeitete Auflage. Expert-Verlag, Sindelfingen 1986, ISBN 3-88508-966-1.

Siehe auch

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