Dienstag, 29. Mai 2012

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Median

Der Median oder Zentralwert ist ein Mittelwert für Verteilungen in der Statistik. Der Median einer Anzahl von Werten ist die Zahl, welche an der mittleren Stelle steht, wenn man die Werte nach Größe sortiert. Zum Beispiel ist für die Werte 4, 1, 37, 2, 1 der Median 2, nämlich die mittlere Zahl in 1, 1, 2, 4, 37. Allgemein teilt ein Median eine Stichprobe, eine Anzahl von Werten oder eine Verteilung in zwei Hälften, so dass die Werte in der einen Hälfte kleiner als der Medianwert sind, in der anderen größer.

Der Median gehört zur Gruppe der Quantile und kann auch als 0,5-Quantil betrachtet werden. Andere wichtige Lagemaße sind das Arithmetische Mittel und der Modus.

Im Vergleich zum arithmetischen Mittel, oft Durchschnitt genannt, ist der Median robuster gegenüber Ausreißern (extrem abweichenden Werten) und lässt sich auch auf ordinal skalierte Variablen anwenden. Der Begriff Median (von lat.: medianus - in der Mitte befindlich, der Mittlere) entstammt der Geometrie, wo er ebenfalls eine Grenze zwischen zwei Hälften gleicher Größe bezeichnet.

Einführung

Der Median teilt eine Liste von Werten in zwei Hälften gleicher Größe. Er kann auf folgende Weise bestimmt werden:

  • Alle Werte werden (aufsteigend) geordnet.
  • Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median.
  • Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, wird der Median meist als Mittelwert der beiden mittleren Zahlen definiert, die dann Unter- und Obermedian heißen.

Eine wichtige Eigenschaft des Medians ist Robustheit gegen Ausreißer.

  • Beispiel: Messwerte 1, 2, 4, 4 , 4, 5, 15; Der Median (auch der Ober- und der Untermedian) ist der Wert an der mittleren Stelle, also 4. Wenn im Beispiel durch einen Fehler eine 4 durch 44 ersetzt wurde, ändert sich der Median wenig oder überhaupt nicht, 1, 2, 4, 4 , 5, 15, 44. Das arithmetische Mittel springt von 5 auf ungefähr 11,7.

Ob Median oder das arithmetische Mittel aussagekräftiger ist, hängt auch von der Fragestellung ab. Bei einer Einkommensverteilung interessiert die Steuerzahler möglicherweise, was ein typischer Bürger in seinem Bezirk verdient: der Median ist eine geeignete Maßzahl. Für die Steuerbehörde ist interessant, wie viel Einkommen im Bezirk verdient wird: Die Anzahl der Bürger mal das Durchschnittseinkommen.[1]

Anwendungsbereiche

Der Median dieses Notenspiegels ist 3-. Etwas weniger als die Hälfte der Ergebnisse ist schlechter; durch Hinzunahme der Notenstufe 3- selbst wird die Hälfte gerade überschritten.

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel kann der Median auch für ordinal skalierte Variablen wie beispielsweise Notenstufen, bei denen es keinen quantitativen Abstand gibt, verwendet werden. Aber auch bei intervall- und verhältnisskalierten Daten kann der Median angewendet werden und hat dann Nachteile und Vorteile gegenüber dem arithmetische Mittel als Lagemaß. Für lediglich nominal skalierte Variablen, deren Ausprägungen keine natürliche Rangfolge aufweisen, wie zum Beispiel eine Variable Geburtsland, kann der Median nicht angewendet werden. Hier ist der Modalwert das einzige Lagemaß, das festgestellt werden kann.

Der Median wird in der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie in drei unterschiedlichen Bedeutungen angewendet:

  1. als Lagemaß der deskriptiven Statistik zur Beschreibung einer konkreten Liste von Stichprobenwerten,
  2. in der Wahrscheinlichkeitstheorie als Median einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder einer Zufallsvariable. Hier stellt der Median eine Alternative zum Erwartungswert für die Angabe eines „mittleren Werts“ dar.
  3. in der mathematischen Statistik als Median einer Zufallsstichprobe zur robusten Schätzung unbekannter Verteilungen.

Median einer Stichprobe

Ein Wert m ist Median einer Stichprobe, wenn mindestens die Hälfte der Beobachtungen in der Stichprobe einen Wert \leq m und mindestens die Hälfte einen Wert \geq m hat.

Sortiert man die Beobachtungswerte der Größe nach, das heißt geht man zur nach dem Rang geordneten Stichprobe über, so ist der Median bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen der Wert der in der Mitte dieser Folge liegenden Beobachtung. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es kein einziges mittleres Element, sondern zwei. Hier sind die Werte der beiden mittleren Beobachtungen sowie alle Werte dazwischen (obwohl diese möglicherweise bei keiner Beobachtung aufgetreten sind) ein Median der Stichprobe, da für alle diese Werte obige Bedingung zutrifft.

Bei kardinal skalierten Messgrößen (wenn es also sinnvoll möglich ist, die Differenz von Messwerten zu berechnen) verwendet man im Falle einer geraden Anzahl Beobachtungen meist das arithmetische Mittel der beiden mittleren Beobachtungswerte. Der Median \tilde x einer geordneten Stichprobe (x_1, x_2, \dots, x_n) von n Messwerten ist dann also

\tilde x =\begin{cases} x_\frac{n+1}{2} & n\text{ ungerade}\\ \frac 12\left(x_{\frac n2} + x_{\frac n2 + 1}\right) & n \text{ gerade.} \end{cases}

Diese Definition hat den Vorteil, dass bei symmetrischen Verteilungen das arithmetische Mittel und der Median identisch sind.

  • Ober und Untermedian

Oft möchte man dagegen sicherstellen, dass der Median in jedem Fall eines der Elemente der Stichprobe sein soll. In diesem Fall wird alternativ zu dieser Definition bei einer geraden Anzahl von Elementen entweder der Untermedian \tilde x_u = x_\frac{n}{2} oder der Obermedian \tilde x_o = x_{\frac{n}{2}+1} genutzt und als Median bezeichnet.

Im Falle einer ungeraden Anzahl der Beobachtungen werden der Untermedian \tilde x_u und der Obermedian \tilde x_o definiert als \tilde x=\tilde x_u=\tilde x_o. Bei einer geraden Anzahl von Elementen werden der Ober- und Untermedian definiert als

\tilde x_u = x_\frac{n}{2},
\tilde x_o = x_{\frac{n}{2}+1}

und es gilt:

\tilde x = \tfrac 12\left(\tilde x_u + \tilde x_o\right).

Diese Medianbestimmung spielt beispielsweise bei Datenbanksystemen eine große Rolle, wie z. B. bei SELECT-Abfragen mittels des Medians der Mediane.

  • Eigenschaften:

Der Median \tilde x, und im Fall einer geraden Anzahl von Messwerten alle Werte \tilde x mit \tilde{x}_u \le \tilde x \le \tilde{x}_o, minimieren die Summe der absoluten Abweichungen, das heißt für ein beliebiges x gilt

\sum_{i=1}^n |\tilde x - x_i| \le \sum_{i=1}^n |x - x_i|.

Der Median ist Grundlage der Methode der kleinsten absoluten Abweichungen und Verfahren der robusten Regression. Das arithmetische Mittel dagegen minimiert die Summe der quadratischen Abweichungen und ist Grundlage der Methode der kleinsten Quadrate und der Regressionsanalyse und ist mathematisch leichter zu handhaben, jedoch nicht robust gegen Ausreißer.

Der Median kann, wie oben beschrieben, algorithmisch bestimmt werden, indem die Messwerte sortiert werden. Da dies mit Aufwand \mathcal{O}\left( n \log n\right) verbunden ist, wird im Allgemeinen zu speziellen Algorithmen zur Quantilsbestimmung mit linearem Aufwand \mathcal{O}\left( n \right) gegriffen oder zu Abschätzungen wie der Cornish-Fisher-Methode. Das arithmetische Mittel lässt sich ebenfalls in linearer Zeit bestimmten.

Median von gruppierten Daten

Vor allem in den Sozialwissenschaften wird bei Statistiken häufig der Median geschätzt, da nicht alle Daten explizit und exakt gegeben sind, sondern nur in Intervallen gruppiert vorliegen. So wird beispielsweise bei Umfragen selten nach dem exakten Gehalt gefragt, sondern nur nach der Einkommensklasse, also dem Bereich, in welchem das Gehalt liegt. Wenn nur die Häufigkeiten jeder Klasse bekannt sind, dann lässt sich der Median einer solchen Stichprobe im Allgemeinen nur näherungsweise bestimmen. Es seien n die Anzahl aller Daten, n_i die jeweilige Anzahl der Daten der i-ten Gruppe und u_i bzw. o_i die entsprechenden oberen bzw. unteren Intervallgrenzen. Zunächst wird nun die mediane Klasse (oder mediane Gruppe) bestimmt, d. h. diejenige Gruppe, in welche der Median (nach obiger, konventioneller Definition) hineinfällt, z. B. die m-te Gruppe. Die Zahl m ist dadurch bestimmt, dass \textstyle\sum_{k=1}^{m-1} n_k < \frac{n}{2}, aber \textstyle\sum_{k=1}^{m} n_k \geq \frac{n}{2} gilt. Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, wird z. B. Gleichverteilung postuliert, sodass man sich der linearen Interpolation als Hilfsmittel bedienen kann, um eine Schätzung des Medians der gruppierten Daten zu erhalten:

x_\mathrm{med} = u_m+\frac{\frac n2 - \sum\limits_{k=1}^{m-1}n_k}{n_m} \cdot (o_m-u_m).

Im Gegensatz zur konventionellen Definition des Medians muss dieser nicht zwangsläufig ein Element aus der tatsächlichen Datenmenge sein, welche in aller Regel nicht bekannt ist.

  • Beispiel:

Einkommen:

Klasse (i) Bereich (u_i bis o_i) Gruppengröße (n_i)
1 mind. 0, weniger als 1500 160
2 mind. 1500, weniger als 2500 320
3 mind. 2500, weniger als 3500 212

Man berechne

\tfrac n2 = \tfrac{212+320+160}2 = \tfrac{692}2=346.

Also liegt der Median in der 2. Klasse (d. h. m=2), da die erste Klasse nur 160 Elemente umfasst. Somit ergibt sich als Schätzung für den Median

x_\mathrm{med} = 1500 + \tfrac{346-160}{320}\cdot (2500-1500) = 2081{,}25.

Eine Veranschaulichung dieses Verfahrens zur Festlegung des Medians bei gruppierten Daten ist die grafische Ermittlung mit Hilfe der Summenkurve. Hier wird der Abszissenwert x_\mathrm{med}\, gesucht, der zum Ordinatenwert \tfrac{n}{2} gehört. Bei kleinerem und geradem n kann auch stattdessen der Ordinatenwert \tfrac{n}{2}+1 gewählt werden.

Median einer Verteilung

Eine Verallgemeinerung des Begriffes liefert die Betrachtung einer reellwertigen Zufallsvariable X und ihrer Verteilung, beziehungsweise ihrer Verteilungsfunktion F(x) = P(X \leq x).

Definition

Eine reelle Zahl m heißt ein Median von X (bzw. der Verteilung von X), wenn gilt

P(X \leq m) \geq \frac{1}{2} und P(X \geq m) \geq \frac{1}{2}.

Jedes m \in \R mit F(m) = \tfrac{1}{2} ist ein Median von X. Falls kein solches m existiert, dann liefert die sogenannte verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion

F^{-1}(p) = \inf \{x \in \R \mid F(x) \geq p\}

für p = \tfrac{1}{2}einen Median von X. Wenn Eindeutigkeit eine Rolle spielt, definiert man den Median als F^{-1}(\tfrac{1}{2}). Dies entspricht der Vorgehensweise bei der Definition von Quantilen, der Median ist dann das 50 %-Quantil.

Eigenschaften

Ein Median ist, neben beispielsweise Erwartungswert und Modus, ein Lageparameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Im Gegensatz zum Erwartungswert existiert der Median stets. So ist beispielsweise der Median der Standard-Cauchy-Verteilung gleich 0, während ihr Erwartungswert gar nicht existiert.

Für symmetrisch verteilte Zufallsvariable mit Dichte, also für Zufallsvariable, bei denen X-\mu und \mu-X die gleiche Verteilung besitzen, sind Median und Erwartungswert beide gleich \mu.

Für stetige Verteilungen auf der Menge der positiven reellen Zahlen mit monoton fallender Dichte (das heißt für 0<x<y gilt f(x) \ge f(y)) ist m \le \mu, wobei das Gleichheitszeichen nur für die stetigen Gleichverteilungen gilt. Ein typische Beispiel für diese Situation ist die Exponentialverteilung.

Zwischen Erwartungswert \mu, Median m und Standardabweichung \sigma besteht ein allgemeiner Zusammenhang durch die Tschebyschow-Ungleichung der Form

\left|\mu-m\right| \leq \sigma.

Das Gleichheitszeichen gilt für die diskrete Zufallsvariable X mit \operatorname{P}\left[X=\mu-\sigma\right]=\operatorname{P}\left[X=\mu+\sigma\right]=1/2.

Beispiele

f(x) = \frac x{18},\quad 0 \le x \le 6,
ist der Median der x-Wert, welcher die Fläche
F(x)=\frac 12\cdot x\cdot\frac{x}{18}
unter der Dichtefunktion in zwei gleich große Flächen teilt. Dieser Wert wird somit durch die Gleichung
F(m)=\frac 12\cdot m\cdot\frac{m}{18}=\frac 12
bestimmt. Für deren Lösung m=\sqrt{18}\approx 4{,}24 gilt damit P(X \le 4{,}24) \approx 0{,}5.
Das heißt in diesem Beispiel ist der Median m größer als der Erwartungswert \mu = 4.
F(x) = 1 - e^{-\lambda x} für x \geq 0.
Diese Verteilung modelliert zum Beispiel atomaren Zerfall, genauer die Lebensdauer eines radioaktiven Teilchens bis zum Verfall.
Ihr Median m ergibt sich als eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung F(m) = \tfrac{1}{2} zu
1 - e^{-\lambda m} = \frac{1}{2} \iff e^{-\lambda m} = \frac{1}{2} \iff m = \frac{\ln 2}{\lambda}.
Wegen \ln 2 < 1 ist der Median hier kleiner als der Erwartungswert \mu = \tfrac{1}{\lambda}.
Der Median ist in Beispiel des Zerfalls die Halbwertzeit.

Alternativen

  • Die Wohlfahrtsfunktion ist eine Alternative zum Median bei der Ermittlung des Masseneinkommens aus einer gegebenen Einkommensverteilung.
  • Eine andere Möglichkeit als der Median mit Extremwerten umzugehen, ist die Benutzung eines getrimmten Mittelwerts, den man ermittelt in dem man die kleinsten und größten Werte vor der Berechnung entfernt (typischerweise werden 5 % der Werte weggelassen).[2]
  • Nach Butler[3] gibt es auch eine strengere Definition von Median (die weniger gebräuchlich ist), die sagt, der Median ist der Wert, für den gilt, die Zahl der kleineren Werte in der Reihe ist gleich der Zahl der größeren Werte in der Reihe. Für Spezialfälle wie 3, 3, 3, 3, 4 oder 1, 2, 3, 3, 3 gibt es ein Verfahren, mit dem man einen eindeutigen Median unter Beibehaltung der strengeren Definition berechnen kann.[4],

Siehe auch

Literatur

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.

Weblinks

Referenzen

  1. ↑ Hans Peter Litz: Statistische Methoden in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Oldenbourg Verlag, 2003. S. 11.
  2. ↑ [1] Grundlagen der Statistik/ Mittelwert von Hans Lohninger
  3. ↑ [2] Butler, Christopher (1985). Statistics in Linguistics. Oxford: Blackwell
  4. ↑ [3] Statistik-Zentrale Tendenz von Stephen Berman
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Diese Seite wurde zuletzt am 23. Mai 2012 um 23:17 Uhr geändert.

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