Dienstag, 29. Mai 2012

Themen


Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen \sigma _1, \sigma _2, \sigma _3 (nach Wolfgang Pauli) bilden zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit \sigma _0 bezeichnet wird, eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums der komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen. In der Quantenphysik stellen sie die Wirkung der Spindrehimpulsoperatoren, S_i = \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i,\ i\in\{1,2,3\}, auf Spin-½-Zuständen, beispielsweise auf Elektronen, dar.

Die Pauli-Matrizen lauten

\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

(An dieser Stelle ist der Index i von der imaginären Einheit \mathrm i zu unterscheiden.)

Darstellung

Die Pauli-Matrizen können neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für die Linearkombination entweder die Standard-Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix Matrix Linearkombination (Standard-Basisvektoren) Linearkombination (Eigenvektoren)
\sigma_1=\sigma_x \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} |0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0| |+\rangle\langle+|\,-\,|-\rangle\langle-|
\sigma_2=\sigma_y \begin{pmatrix}0 & -\mathrm i\\\mathrm i & 0 \end{pmatrix} \mathrm i \left( |1\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| \right) |\phi^+\rangle\langle\phi^+|-|\phi^-\rangle\langle\phi^-|
\sigma_3=\sigma_z \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1| |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert:

\begin{align} |0\rangle&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},& |1\rangle&=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\\[0.5em] |+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},& |-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\\[0.5em] |\phi^+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\mathrm i\end{pmatrix},& |\phi^-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-\mathrm i\end{pmatrix} \end{align}

Eigenschaften

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und unitär. Daraus folgt

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2 = \sigma_0

wobei \sigma_0 wie erwähnt die 2×2-Einheitsmatrix ist.

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind

\begin{matrix} \det \sigma_i &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{tr} \sigma_i &=& 0 & \quad \mbox{für}\ i = 1, 2, 3. \end{matrix}

Aus Obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix \mathbf{\sigma}_i die Eigenwerte +1 und -1 besitzt.

Des Weiteren:

\sigma_1 \, \sigma_2 \, \sigma_3 = \mathrm i \, \sigma_0

Die Pauli-Matrizen erfüllen die Algebra

\sigma_i \, \sigma_j = \delta_{ij}\sigma_0 + \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3\,

(\epsilon_{ijk} ist das Levi-Civita-Symbol), also insbesondere bis auf einen Faktor 2 die Drehimpulsalgebra

[\sigma_i\,,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3.

und die Clifford- oder Dirac-Algebra \mathrm{Cl}(0,3,\mathbb R)

\{\sigma_i\,,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \delta_{ij}\sigma_0 \quad \mbox{für}\ i,j = 1, 2, 3.

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall l=1/2 von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren \Lambda_{m} eines Drehimpuls-l-Multipletts mit Quantenzahlen m in Maßsystemen mit \hbar=1 folgendermaßen wirken:

L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,
L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,
L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.

Dabei ist 2l+1 eine natürliche Zahl und für m treten die 2l+1 verschiedenen Quantenzahlen m=-l,-l+1,\dots ,l auf. Für l=1/2 wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren \Lambda_{1/2} und \Lambda_{-1/2} demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,\ L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,\ L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.

Mit L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-) und L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-) ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe, Zusammenhang mit Spin-1/2-Systemen

Die lineare Hülle der mit \mathrm i multiplizierten[1] Pauli-Matrizen \mathrm i\,\sigma_1,\,\mathrm i\,\sigma_2,\,\mathrm i\,\sigma_3 ist mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra, und aufgrund der mit \vec n \cdot \vec{\sigma} \,\,:= n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2 + n_3 \sigma_3 für jeden Einheitsvektor \vec n\in\mathbb R^3 und alle reellen \alpha geltenden Identität[2]

\exp\Bigl(\!\!-\mathrm i\,\tfrac{\alpha}{2} \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \Bigr) = \sigma_0\,\cos\tfrac{\alpha}{2} - \mathrm{i}\, (\vec n \cdot \vec{\sigma})\, \sin\tfrac{\alpha}{2}

sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe SU(2).

Der Faktor 1/2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar. Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung häufig in genau dieser Form benötigt. Denn (wie in der Einleitung erwähnt) stellen in der Quantenphysik die Matrizen S_i = \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i,\ i\in\{1,2,3\} Operatoren dar, die die Veränderung des Zustands eines Spin-1/2-Systems (beispielsweise eines Elektrons) bei Messung der verschiedenen Spinkomponenten beschreiben. Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veränderung des Spinzustands bei einer räumlichen Drehung. \alpha entspricht dabei dem gerichteten Drehwinkel um die durch den Einheitsvektor \vec n \in\mathbb R^3 gegebene orientierte Drehachse. Für \alpha = 2\pi ergibt sich \exp\bigl(\!\!-\mathrm i\,\pi \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \bigr) = -\sigma_0 ; d. h. ein Spin-1/2-System wird nicht durch Drehung um den Winkel 2\pi, sondern erst durch Drehung um den Winkel 4\pi wieder in den Ausgangszustand übergeführt („Spinordrehungen“).

Eigenvektoren

Die Matrix \sigma_3 hat die Eigenvektoren

\chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \chi_{32} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

wie man leicht erkennen kann:

\sigma_3 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 \chi_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

entsprechend den Eigenwerten \pm 1. Die Eigenvektoren von \sigma_1 sind

\chi_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \chi_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}:
\sigma_1 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_1 \chi_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

und die Eigenvektoren von \sigma_2

\chi_{21} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \chi_{22} = \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}:
\sigma_2 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 \chi_{22} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \mathrm i \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}

Hier zeigt sich, dass die Eigenzustände der Spinoperatoren S_1 und S_2 Superpositionen der Eigenzustände von S_3 sind.

Isomorphie zu den Quaternionen

Die mit der imaginären Einheit multiplizierten Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix, also die Menge \{\sigma_0, \mathrm i \sigma_1, \mathrm i \sigma_2, \mathrm i \sigma_3\}\,, spannen eine 4-dimensionale R-Algebra auf, die zu den Quaternionen H isomorph ist. Eine isomorphe Zuordnung ist beispielsweise:

1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_1, \quad j_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_3,

mit i_{\mathbb H},j_{\mathbb H},k_{\mathbb H} als den bekannten Einheitsquaternionen. Vor diese Zuordnung lässt sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q8 schalten. So kann auch ein Isomorphismus „in umgekehrter Ordnung“ gebaut werden:[3]

1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_3, \quad j_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_1.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise und Kommentare

  1. ↑ Durch die Multiplikation mit \pm\mathrm i entstehen aus hermiteschen Matrizen schiefhermitesche Matrizen. Eine Darstellung mit Hilfe von Hermiteschen Operatoren und Matrizen wird von Physikern bevorzugt, weil in der Quantenmechanik messbare Größen (sog. Observablen) stets durch Hermitesche Operatoren beschrieben werden.
  2. ↑ Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. S. 1142, W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  3. ↑ Mikio Nakahara: Geometry, topology, and physics, CRC Press, 2003, Seiten xxii ff, [1].
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