Dienstag, 29. Mai 2012

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Phasengeschwindigkeit

Die Phasengeschwindigkeit gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich der Teil einer monochromatischen Welle, der zu einer bestimmten Phase gehört, ausbreitet.

Die Phasengeschwindigkeit ist somit die Geschwindigkeit eines Wellenberges oder eines Wellentals.

Die Phasengeschwindigkeit v_\mathrm{p} berechnet sich aus der Wellenlänge \lambda\, (die Strecke die zurückgelegt wird) und der Periodendauer T\, (die Zeit, die dafür benötigt wird) zu

v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T} \,

Aufgrund der Definitionen von Frequenz f\,, Kreisfrequenz \omega\, und Kreiswellenzahl k\, ergibt sich die äquivalente Darstellung

v_\mathrm{p} = \lambda \cdot f = \frac{\omega}{k} \,

Physikalische Zusammenhänge

Bezeichnung Symbol Beziehungen
Amplitude \mathbf A_0
\mathbf A_0\perp\mathbf k Transversalwelle
\mathbf A_0\|\mathbf k Longitudinalwelle
Wellenvektor \mathbf k Ausbreitungsrichtung
Kreiswellenzahl k\, k=|\mathbf k|
Wellenlänge \mathbf\lambda \mathbf\lambda= 2\mathbf\pi/k
Kreisfrequenz \mathbf\omega \mathbf\omega\left(\mathbf k\right) Dispersionsrelation
Frequenz f f=\mathbf\omega/2\mathbf\pi
Phasengeschwindigkeit v_\mathrm{p} v_\mathrm{p} = \mathbf\omega/k=\mathbf\lambda f
Gruppengeschwindigkeit v_\mathrm{g} v_\mathrm{g} = d\mathbf\omega/d\mathbf k
Phase \varphi \varphi=\mathbf k\cdot \mathbf r-\omega t

Zur Beschreibung einer Welle benötigt man deren Startbedingungen, ihre Wellenform, Amplitude, Frequenz und Phase und die zugehörige Wellengleichung - gegebenenfalls mit Randbedingungen. Die damit beschriebene Welle breitet sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten aus. Die Phasengeschwindigkeit sollte nicht mit anderen Geschwindigkeitsgrößen der Welle verwechselt werden. Die Geschwindigkeit, mit der Energie oder Informationen mit einer Welle übertragen werden kann, ist die Signalgeschwindigkeit. Diese ist für ein verlustfreies Medium gleich der Gruppengeschwindigkeit, also der Geschwindigkeit eines Wellenpaketes. Ein solches Wellenpaket ist aus verschiedenen monochromatischen Wellen zusammengesetzt. Jede dieser monochromatischen Wellen hat eine eigene Phasengeschwindigkeit: v_\mathrm{p} = v_\mathrm{p}(\lambda). Dies wird als Dispersion bezeichnet.

Für elektromagnetische Wellen ist die Phasengeschwindigkeit c_\mathrm{p} und die Gruppengeschwindigkeit c_\mathrm{g} im Vakuum gleich der Lichtgeschwindigkeit c_0. In Materie ist die Phasengeschwindigkeit abhängig von der Wellenlänge. Aufgrund der Beziehung für die Brechzahl n = c_0 / c_\mathrm{p} wird hier die Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl n(\lambda) als Dispersion bezeichnet.

Unterscheiden sich zwei Sinusgrößen gleicher Frequenz durch ihren Nullphasenwinkel, so liegt eine Phasenverschiebung vor, die durch den Phasenverschiebungswinkel gekennzeichnet wird. Trägt man die Nullphasenwinkel der Teilchenschwingungen bei zusammengesetzten Schwingungen über ihrer zugehörigen Frequenz ab, so erhält man ein sogenanntes Phasenspektrum.

Beispiel: Ebene Welle

Eine ebene Welle wird mathematisch beschrieben durch

y(x, t) = A_0 \cdot \sin\left(k \cdot x - \omega \cdot t + \varphi_0 \right) \,

Der Ausdruck im Sinus wird dabei als Phase bezeichnet. Die Phasengeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit mit der sich Punkte konstanter Phase entlang der x-Achse bewegen.

k \cdot x - \omega \cdot t + \varphi_0 = \text{const.}
x = \frac{\omega}{k}\cdot t - \frac{\varphi_0}{k} + \text{const.}
v_\mathrm{p} = \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} = \frac{\omega}{k}=\frac{\lambda}{T}

Literatur

DIN 1311, Blatt 1: Schwingungen und schwingungsfähige Systeme. Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung. Ausgabe 2000–02.

Weblinks

Java-Animation, welche die Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit veranschaulicht

Siehe auch

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