Dienstag, 29. Mai 2012

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Welle (Physik)

Kreisförmige Wellen in Wasser

Eine Welle ist ein räumlich und zeitlich veränderliches Feld, das Energie, jedoch keine Materie, durch den Raum transportiert. Unterschieden werden mechanische Wellen, die stets an ein Medium gebunden sind, und Wellen, die sich auch im Vakuum ausbreiten können (beispielsweise elektromagnetische Wellen, Materiewellen, Gravitationswellen). Das Grundprinzip, dem jede Welle unterliegt, ist die Umwandlung zweier physikalischer Größen ineinander. Bei mechanischen Wellen sind dies kinetische Energie und potentielle Energie, bei elektromagnetischen Wellen Magnetfeld und elektrisches Feld. Direkt wahrnehmbare Wellen sind zum Beispiel Schallwellen, Wasserwellen und Licht.

Wellentypen

Wellenarten: 1. & 2. Transversalwelle 3. Longitudinalwelle

Wellen werden in mehrere Kategorien unterteilt: die „klassischen“ Longitudinal- und Transversalwellen (von denen auch Mischformen wie Torsionswellen auftreten können) sowie Materiewellen (nach der Theorie von Louis de Broglie kann einem sich bewegenden Teilchen eine Wellenlänge zugeordnet werden) und Wahrscheinlichkeitswellen, die im Rahmen der Quantentheorie die Zustände von physikalischen Systemen beschreiben. Des Weiteren wird die Existenz von Gravitationswellen angenommen.

Mechanische Longitudinalwellen können sich in jedem Medium, ob fest, flüssig oder gasförmig ausbreiten, wogegen sich mechanische, reine Transversalwellen nur in Festkörpern ausbreiten können. Elektromagnetische Wellen in verlustfreien Medien (z. B. im Vakuum) sind transversal.

Longitudinalwelle

→ Hauptartikel: Longitudinalwelle

Wellen, die parallel zur Ausbreitungsrichtung schwingen, werden als Longitudinal- oder Längswelle bezeichnet. Ein wichtiges Beispiel ist der Schall, der sich in Gasen und Flüssigkeiten immer als Longitudinalwelle ausbreitet.

Mechanische Longitudinalwellen sind Druckwellen. Das bedeutet, dass sich in einem Medium Zonen mit Überdruck bzw. Druckspannung (bzw. Unterdruck oder Zugspannung) in der Ausbreitungsrichtung fortpflanzen bzw. verschieben oder ausbreiten. Die einzelnen Teilchen im Ausbreitungsmedium, Atome oder Moleküle, schwingen hierbei in Richtung der Ausbreitung um den Betrag der Amplitude hin und her. Nach dem Durchlauf der Schwingung bewegen sich die Teilchen wieder an ihre Ruhestellung, die Gleichgewichtslage, zurück.

Die Leistung einer Longitudinalwelle ist proportional zum Quadrat der Amplitude oder der Druckspannung, siehe auch Schalldruck und Schallschnelle. Longitudinalwellen haben im gleichen festen Medium eine höhere Geschwindigkeit als Transversalwellen des gleichen Typs bei ansonsten gleichen Parametern.

Transversalwelle

→ Hauptartikel: Transversalwelle

Wellen, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen, werden als Transversal-, Quer-, Schub- oder Scherwellen bezeichnet. Nur Transversalwellen können polarisiert sein.

Beispiele sind elektromagnetische Wellen, Gravitationswellen, Biegewellen und Plasmawellen. Schall im Festkörper und seismische Wellen können sich bei geeigneter Materialbeschaffenheit als Transversalwelle fortpflanzen und Wasserwellen sind eine Mischform aus Longitudinal- und Transversalwellen.

Mathematische Beschreibung

Bezeichnung Symbol Beziehungen
Amplitude \mathbf A_0
\mathbf A_0\perp\mathbf k Transversalwelle
\mathbf A_0\|\mathbf k Longitudinalwelle
Wellenvektor \mathbf k Ausbreitungsrichtung
Wellenzahl k\, k=|\mathbf k|
Wellenlänge \mathbf\lambda \mathbf\lambda= 2\mathbf\pi/k
Kreisfrequenz \mathbf\omega \mathbf\omega\left(\mathbf k\right) Dispersionsrelation
Frequenz f\, f=\mathbf\omega/2\mathbf\pi
Phasengeschwindigkeit c\, c=\mathbf\omega/k=\mathbf\lambda f
Gruppengeschwindigkeit v_G\, v_G=d\mathbf\omega/dk
Phase \varphi \varphi=\mathbf k\cdot \mathbf r-\omega t

Zur mathematischen Beschreibung von Wellen sind mehrere Größen nötig. Dazu zählen Amplitude, Phase und Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit. Die nebenstehende Tabelle gibt einen Überblick über die Größen, die zur vollständigen Beschreibung nötig sind.

Wellenfunktion

Mathematisch spricht man von einer Welle, wenn die Wellenfunktion \mathbf A(\mathbf r, t), also die die Welle mathematisch beschreibende Gleichung, eine Lösung einer Wellengleichung ist. Diese Funktionen hängen im Allgemeinen von Ort \mathbf r und Zeit t\, ab.

Dabei gibt \mathbf A die Auslenkung am Ort \mathbf r zur Zeit t\, an. Funktionen dieses Typs entsprechen der Vorstellung, dass Wellen räumlich ausgedehnte Schwingungen sind. Eine allgemeine Funktion für jede Art von Welle anzugeben, ist dabei nicht ohne weiteres möglich. Häufig werden daher sehr einfache Lösungen der Wellengleichung herangezogen und die reale Welle als eine Überlagerung von vielen dieser Lösungen angesehen. Die gebräuchlichsten Elementarlösungen sind die Ebene Welle und die Kugelwelle.

Amplitude

Die Amplitude \mathbf A_0 ist die maximale mögliche Auslenkung der Welle. Sie ist bei Wellen – im Gegensatz zu Schwingungen – eine vektorielle Größe, da neben der Stärke der Auslenkung auch deren Richtung entscheidend ist. Ist die Ausbreitungsrichtung parallel zur Amplitude, handelt es sich um eine Longitudinalwelle, ist sie senkrecht, um eine Transversalwelle. In beiden Fällen ist die Intensität der Welle proportional zum Quadrat der Amplitude.

Phase

Phasenverschobene Sinusschwingungen gleicher Frequenz
Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz

Die Phase einer Welle gibt an, in welchem Abschnitt innerhalb einer Periode sich die Welle zu einem Referenzzeitpunkt und -ort befindet. Sie legt also fest, wie groß die Auslenkung ist. Im Beispiel einer ebenen Welle ist \varphi=\mathbf k \cdot \mathbf r -\omega t die Phase zum Zeitpunkt t\, am Ort \mathbf r. Die Phase hängt also von den zwei Parametern Wellenvektor \mathbf k und Kreisfrequenz \omega ab.

Beispiele

Die mathematische Formulierung für eine harmonische (auch: homogene, monochromatische) ebene Welle im dreidimensionalen Raum ist in komplexer Schreibweise:

\mathbf A(\mathbf r,t) = \operatorname{Re}\left(\mathbf A_0 e^{ i\left(\mathbf k\cdot \mathbf r-\omega t\right)}\right) = \operatorname{Re}(\mathbf A_0) \cos(\mathbf k\cdot\mathbf r - \omega t ) - \operatorname{Im}(\mathbf A_0) \sin(\mathbf k\cdot\mathbf r - \omega t ).

Eine Kugelwelle lässt sich mit folgender Gleichung beschreiben:

\mathbf A(r,t) = \operatorname{Re}\left(\frac{\mathbf A_0}{r} e^{i(kr-\omega t)}\right) = \frac{\operatorname{Re}(\mathbf A_0)}{r} \cos(kr - \omega t) - \frac{\operatorname{Im}(\mathbf A_0)}{r} \sin(kr - \omega t) .

Erzeugung von Wellen

Ausbreitung einer Welle

Mechanische und elektromagnetische Wellen werden durch periodische Schwingungen erzeugt. Ein einfaches Beispiel ist ein schwingendes Pendel: An einem solchem Pendel befindet sich zum Beispiel ein Stift, unter dem ein Blatt Papier mit konstanter Geschwindigkeit hergezogen wird. Der am Pendel befestigte Stift beschreibt nun auf dem Papierstreifen, der das Ausbreitungsmedium darstellt, eine sinusförmige Welle. Bei diesem Beispiel ist die Wellenlänge abhängig von der Geschwindigkeit, mit der der Papierstreifen bewegt wird. Die Amplitude der Welle wird durch den maximalen Pendelausschlag bestimmt.

Elektromagnetische Wellen können durch sogenannte Schwingkreise erzeugt werden, bei denen der Strom zwischen einer Spule und einem Kondensator hin und her fließt. Die Energie wird dabei periodisch von elektrischer Energie (Kondensator) in magnetische Energie (Spule) umgewandelt. Geschieht dies schnell genug, wird die Energie in Form einer elektromagnetischen Welle abgegeben. Dieser Effekt ist vor allem in der drahtlosen Kommunikation von besonderer Bedeutung.

Überlagerung von Wellen

Interferenz zweier Wellen
Eine stehende Welle
Schwebung
Gauß'sches Wellenpaket

In der Natur vorkommende Wellen sind in den seltensten Fällen reine monochromatische Wellen, sondern eine Überlagerung aus vielen Wellen unterschiedlicher Wellenlängen. Die Überlagerung erfolgt dabei durch das Superpositionsprinzip, was mathematisch bedeutet, dass alle Wellenfunktionen der einzelnen Wellen addiert werden. Die Anteile der Wellenlängen werden als Spektrum bezeichnet. Beispiele:

  • Sonnenlicht ist eine Überlagerung aus elektromagnetischen Wellen. Das Spektrum umfasst einen Wellenlängenbereich von Infrarot über sichtbares Licht bis Ultraviolett. Derartige Spektren bezeichnet man auch als kontinuierlich.
  • Ein Musikton eines Instrumentes setzt sich zusammen aus einem Grundton und mehreren Oberschwingungen. Die unterschiedlichen Anteile an Oberschwingungen sind der Grund, warum eine Posaune anders klingt als eine Flöte. Ein solches Spektrum heißt diskret, da es sich nur aus einzelnen, klar abgetrennten Wellenlängen zusammensetzt.

Dabei können verschiedene Effekte auftreten:

  • Interferenz − Überlagert man Wellen, so kann es zu einer konstruktiven Verstärkung, aber auch zu einer teilweisen oder gar totalen Auslöschung der Welle (wenn beide Wellenlängen und Frequenzen gleich sind und die Wellen genau gegenläufig schwingen) kommen. Dieses Phänomen spielt im Alltag beim Radio eine Rolle – benachbarte Funkzellen strahlen einen Sender auf verschiedenen Frequenzen aus, um Interferenzen im Überlappungsbereich zu vermeiden.
  • Stehende Welle − Bei Überlagerung zweier sich gegenläufig ausbreitender Wellen derselben Frequenz und Amplitude kommt es zur Ausbildung von stehenden Wellen. Diese breiten sich nicht aus, sondern bilden räumlich konstante Schwingungsmuster: An den sogenannten Bewegungsbäuchen schwingen sie mit der verdoppelten Amplitude und der ursprünglichen Frequenz, an den dazwischenliegenden Bewegungsknoten ist die Amplitude zu allen Zeiten Null. Diese Erscheinung ist ein Sonderfall der Interferenz. Sie tritt insbesondere vor einer reflektierenden Wand auf oder auch zwischen zwei passend abgestimmten Wänden, die gemeinsam einen Resonator bilden.
  • Schwebung − Eine Überlagerung zweier Wellen von benachbarter Frequenz führt zu einer Schwebung. Die Amplitude einer solchen Welle nimmt periodisch zu und ab – je näher die Frequenzen beieinander liegen, desto (zeitlich) langsamer geschieht dieser Vorgang. Dieser Effekt wird beispielsweise beim Stimmen von Musikinstrumenten ausgenutzt. Man findet Schwebungen auch bei älteren Telefonapparaten, die einen Wecker mit 2 Glockenschalen haben. Diese Schwebung empfindet der Mensch als angenehm.
  • Wellenpaket − Die Überlagerung von Wellen mit allen Frequenzen aus einem Intervall erzeugt ein Wellenpaket. Hierbei zeigt die Einhüllende der Welle nur einen einzelnen Berg, vor und hinter diesem ist die Amplitude Null. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle – insbesondere in Medien – häufig frequenzabhängig ist, laufen solche Wellenpakete mit fortschreitender Zeit auseinander. Bei der Nachrichtenübermittlung mit Lichtpulsen über Lichtwellenleiter muss dieses berücksichtigt werden.

Siehe auch

Weblinks

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Diese Seite wurde zuletzt am 23. Mai 2012 um 08:05 Uhr geändert.

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