Dienstag, 29. Mai 2012

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Zentripetalkraft

Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft (auch Radialkraft) ist die physikalische Kraft, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser im Inertialsystem auf einer gekrümmten Bahnkurve bewegt.

Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig in Richtung des momentanen Geschwindigkeitsvektors (dem Tangentialvektor der Kurve) bewegen. Die Zentripetalkraft zeigt zum Mittelpunkt des Krümmungskreises und steht damit senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor.

Die Zentripetalkraft hat in jedem Bezugssystem den gleichen Betrag. Sie unterscheidet sich somit von den Scheinkräften, die nur berücksichtigt werden müssen, wenn man die Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem beschreibt.

Zentripetalkraft und Zentralkraft

Während eine Zentralkraft stets auf den gleichen Punkt gerichtet ist, zeigt die Zentripetalkraft zum Mittelpunkt des momentanen Krümmungskreises. Nur bei einer reinen Kreisbewegung ist die Zentripetalkraft eine Zentralkraft. Im allgemeinen Fall, also z.B. bei einer elliptischen Planetenbahn, zerfällt die auf den einen Brennpunkt gerichtete Zentralkraft in die Zentripetalkraft, die zum Zentrum der Krümmung an diesem Ort gerichtet ist, und in eine Tangentialkomponente. Die Tangentialkomponente erhöht bzw. vermindert die Geschwindigkeit des Planeten und sorgt dafür, dass er sich in Sonnennähe schneller bewegt als in Sonnenferne.

Beispiele

  • Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Zentripetalkraft wirkt. Sie ergibt sich aus der Summe der Seitenkräfte die zwischen Reifen und Fahrbahn entstehen und auf das Fahrzeug einwirken. Fehlt diese Kraft (z. B. bei Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen. Der Fahrzeuginsasse bewegt sich auf der gleichen Kreisbahn wie das Auto, weil der Sitz auf ihn eine Zentripetalkraft ausübt.
  • Die Erde bewegt sich (annähernd) auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht, die dabei als Zentripetalkraft dient. Genau genommen ist die Erdbahn wie die Bahnen aller Planeten keine Kreisbahn, sondern eine Ellipsenbahn. Die Gravitation zeigt als Zentralkraft auf die Sonne, die sich in einem der Ellipsenbrennpunkte befindet. Diese Zentralkraft weicht jedoch leicht von der Zentripetalkraft ab, die zum Zentrum der lokalen Bahnkrümmung zeigt. Die Differenz zwischen Zentralkraft und Zentripetalkraft ist eine Tangentialkomponente, die dafür sorgt, dass der Planet sich in Sonnennähe (im Perihel) schneller bewegt als in Sonnenferne.
  • Bewegen sich Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Richtung der Bewegung und des Magnetfelds in eine Kreisbahn abgelenkt. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft.
  • Bei Luftwirbeln ist die Zentripetalkraft der Druckgradient, d. h. im Wirbelkern herrscht Unterdruck.

Etymologie und Begriffsgeschichte

Der Begriff Zentripetalkraft leitet sich von petere (lateinisch für streben nach, sich begeben) ab. Er wurde als vis centripeta von Isaac Newton eingeführt. Newton verwendete den Begriff allerdings nicht im heutigen Sinne, sondern im Sinne einer anziehenden Zentralkraft.[1] Den Namen prägte Newton als Gegensatz zu der von Christian Huygens zuvor eingeführten Zentrifugalkraft.[2][3]

Herleitung des Ausdrucks der Zentripetalkraft

Ein Punkt P bewegt sich auf einer Kreisbahn. Für die Zeitpunkte t_1 und t_2 befindet sich der Punkt in P_1 bzw. P_2 (Momentaufnahmen). Die Geschwindigkeiten v_1 und v_2 veranschaulichen die Änderung der Bewegungsrichtung.

Bewegt sich ein Objekt mit gleichbleibender Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn, so ist die Geschwindigkeit in jedem Moment senkrecht zum Radius r des Kreises. Die nebenstehende Zeichnung veranschaulicht diese Verhältnisse für die Zeitpunkte t_1 und t_2 .

Zunächst lassen sich die Zusammenhänge rein geometrisch betrachten: Der in der Skizze blau dargestellte Pfeil v'_1 entsteht durch Parallelverschiebung des Pfeils v_1. Ihre Längen entsprechen der Länge des Pfeils v_2 . Für die Längen der drei Pfeile gilt also:

v_1=v'_1=v_2=v

Hieraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke M P_1 P_2 und P_2 Q_1 Q_2 und somit:

\frac{\Delta s}{r}=\frac{\Delta v}{v}

bzw. nach Umformungen:

\Delta s \cdot \frac{v}{r}=\Delta v.

Physikalisch folgt daraus: Für die Zeitspanne \Delta t (= t_1 - t_2) ist

\frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \frac{v}{r}=\frac{\Delta v}{\Delta t} .

Wird nun \Delta t hinreichend klein gewählt, so gilt:

  • Der vom Objekt zurückgelegte Weg \Delta s entspricht einem Abschnitt auf der Kreisbahn. Somit ist die Geschwindigkeit \frac{\Delta s}{\Delta t}=v die Bahngeschwindigkeit des Objekts.
  • Die Beschleunigung \frac{\Delta v}{\Delta t}=a_{\mathrm{Z}} ist die Zentripetalbeschleunigung in Richtung Kreismittelpunkt, die das Objekt erfährt.

Daher wird die Gleichung \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \frac{v}{r}=\frac{\Delta v}{\Delta t} für kleine \Delta t zu

v \cdot \frac{v}{r} = a_{\mathrm{Z}}

bzw.

a_{\mathrm{Z}}=\frac{v^2}{r}.

Ist das rotierende Objekt nicht nur ein Punkt sondern eine Masse m, so lässt sich entsprechend Newtons Aktionsprinzip der Betrag der Zentripetalkraft F_{\mathrm{Z}}=m a_{\mathrm{Z}} bestimmen:

F_{\mathrm{Z}}=\frac{m \cdot v^2}{r}.

Diese Zentripetalkraft wirkt auf jeden Körper mit der Masse m, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r bewegt.

Es wurde ein rotierendes System betrachtet. Daher lässt sich die Bewegung der Masse m auch mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit \omega beschreiben. Die Bahngeschwindigkeit v wird dann durch \omega \cdot r ersetzt. Hieraus folgt:

a_{\mathrm{Z}}=\omega^2 r

und

\,F_{\mathrm{Z}}=m \omega^2r.

Vektorielle Darstellung

Werden die Vektoren \vec{r} für den Abstand und \vec{\omega} für die Winkelgeschwindigkeit benutzt, so lassen sich die Zentripetalbeschleunigung und die Zentripetalkraft als Vektorprodukte darstellen:

\vec{a_{\mathrm{Z}}} = \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r})

und

\vec{F_{\mathrm{Z}}}= m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}).

Durch Umformen mit der Graßmann-Identität ergeben sich folgende Gleichungen:

\vec{a_{\mathrm{Z}}} = \vec{\omega} ( \vec{\omega} \cdot \vec{r} ) - |\vec{\omega} |^2 \vec{r}

und

\vec{F_{\mathrm{Z}}} = m \cdot (\vec{\omega} ( \vec{\omega} \cdot \vec{r} ) - |\vec{\omega} |^2 \vec{r}).

Im allgemeinen Fall einer beliebigen Kurve gilt die gleiche Formel für die Zentripetalbeschleunigung, nur ist für die Krümmung der lokale Krümmungsradius \vec{r}(t) der Kurve einzusetzen und die Beschleunigung ist zum lokalen Krümmungsmittelpunkt der Kurve gerichtet.

Einzelnachweise

  1. ↑ Principia, Definition 5 am Anfang des Werks
  2. ↑ I. Bernard Cohen: Newtons Third Law and Universal Gravity. In: Paul B. Scheurer, G. Debrock: Newtons Scientific and Philosophical Legacy. Kluwer, Dordrecht 1988, S.47. ISBN 90-247-3723-0
  3. ↑ I. Bernard Cohen: Introduction to Newtons Principia. London 1971, S. 53, 296.

Siehe auch

Literatur

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
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