ThemaNumerator

27.07.2006

Numerator

Wir sind alle Super-Computer!

Jeder Mensch ist ein Künstler, sagte einst Joseph Beuys. Nur wenige wissen, dass jeder Mensch auch ein genialer Rechner ist. Das Gefühl für Mathematik steckt tief in uns, ehrlich.

Der Mensch ist zum Rechnen geboren. Das mögen viele anzweifeln, aber es ist nun einmal so. Auch wenn die meisten Menschen zum Beispiel kaum wissen, was eigentlich ein Logarithmus ist, so beherrschen sie das Logarithmieren doch im Schlaf. Sie tun es permanent den ganzen Tag. Genauer gesagt ihr Ohr logarithmiert.

Denn wir hören logarithmisch - zumindest näherungsweise. Damit ein Geräusch als doppelt so laut empfunden wird, muss sein Schalldruck etwa zehnmal so hoch sein. Ein Schalldruck der Größenordnung 100 (= 10²) wird vom Menschen im Vergleich zu einem Schalldruck von 10 (= 10¹) als doppelt so laut empfunden. Logisch, denn der Logarithmus von 10² ist 2, jener von 10¹ hingegen 1.

Was das Ohr mit dem Schalldruck macht, würde die meisten Besitzer der Ohren vollkommen überfordern, müssten sie die Aufgabe mit Stift und Papier erledigen. Das Ohr ermittelt den Exponenten zur Basis 10, so dass die 10^Exponent genau dem Schalldruck entspricht.

Logarithmieren ist aber nicht die einzige komplexe Rechenaufgabe, die wir Menschen intuitiv beherrschen. Jeder, der Tennis, Fußball oder Volleyball spielt, kann mühelos in Sekundenbruchteilen Parabeln konstruieren - denn genau auf derartigen Kurven bewegen sich Bälle, wenn sie durch die Lüfte rasen.

Parabeln im Kopf

Hinzu kommt womöglich noch eine Eigenrotation des Balls (Spin), die die Flugbahn zusätzlich beeinflusst. Selbst mit Computerunterstützung könnte kaum ein Tennisspieler genau vorausberechnen, an welcher Stelle genau der Ball im eigenen Feld landen wird. Trotzdem rennt jeder halbwegs talentierte Spieler intuitiv an die richtige Stelle auf dem Platz und wuchtet den Ball zurück übers Netz. Mathematisch gesehen eine Meisterleistung - wozu braucht man da noch Klausuren und Prüfungen?

Eine ganz andere Art von Prüfung sind wilde Bäche, die einem plötzlich den Weg versperren. Aber auch hier erweist sich der Mensch als Schnellrechner. Im Nu wissen wir, ob wir den Sprung wagen können oder besser nach einer Brücke suchen sollten. Sprungkraft, Anlaufgeschwindigkeit, Breite des Bachs - all das fließt in die Kalkulation ein, die binnen Sekundenbruchteilen zum Ergebnis "Ja, das klappt" oder "Nein, besser nicht" führt.

Auch komplexe geometrische Aufgabenstellungen beherrschen wir intuitiv. So hat der Mensch ein äußerst geschultes Auge für Symmetrien. Das besondere an Gesichtern sind die minimalen Abweichungen von der Symmetrie. Uns fällt sofort auf, wenn ein Gesicht mit Computersoftware gespiegelt wurde - also zu hundert Prozent symmetrisch ist.

Was ist die Wurzel aus Fünf?

Unsere Ästhetik lässt uns sogar im Hinterkopf die Wurzel aus fünf ziehen - zumindest im übertragenen Sinn beim sogenannten Goldenen Schnitt. Wenn eine Strecke so geteilt wird, dass der kürzere Abschnitt sich zum längeren verhält, wie der längere zur Gesamtstrecke, dann wird diese Aufteilung als besonders harmonisch empfunden.

Hinter dem Goldenen Schnitt steckt eine irrationale Zahl: Das Verhältnis der längeren zur kürzeren Strecke beträgt 1/2 * (1 + Wurzel aus 5) - eine Zahl, die mit 1,61803.... beginnt. Beispiele aus Kunst und Architektur gibt es zuhauf: die Akropolis in Athen, Leonardo da Vincis Zeichnung von den menschlichen Proportionen, das Leipziger Rathaus - überall steckt der Goldene Schnitt drin.

Das Ohr wurde ja bereits als Meister des Logarithmierens geadelt - läuft aber gemeinsam mit unserem Gehirn zu mathematischer Höchstform auf, wenn Musik ins Spiel kommt. Dass Musik und Mathematik viel miteinander zu tun haben, ist hinlänglich bekannt. Dmitri Tymoczko, ein Musiktheoretiker von der Priceton University, hat jedoch kürzlich gezeigt, dass komplexe westliche Musik eine Menge mit höherer Mathematik zu tun hat, von der die meisten Komponisten und Zuhörer ja eigentlich kaum etwas verstehen.

Chopin und die Topologie

Tymoczko wollte herausfinden, wie Akkorde einer Komposition miteinander zusammenhängen und landete schließlich bei einem Modell in der nichteuklidschen Geometrie. Dort, in einem topologischen Gebilde namens Orbifold, stellt jeder Punkt einen Akkord dar. Zur Überraschung Tymoczkos liegen die Akkorde eines Werks, etwa von Frédéric Chopin, in einem sehr beschränkten Bereich des Orbifolds - sie bilden eine Art Cluster. Von Akkord zu Akkord sind nur kurze Sprünge üblich.

Ein Werk mit einer anderen Harmonie belegt mit seinen Akkorden einen Cluster in einem anderen Bereich des Raums - und bildet so eine andere Klangwelt, die aber in sich stimmig ist. Tymoczko Arbeit, die unlängst im renommierten Wissenschaftsmagazin "Science" erschien, ließ die Musiktheoretiker aufhorchen.

Im Grunde macht die Studie auch den Musikliebhaber zu einem Freizeitmathematiker, der einiges von Topologie und nichteuklidscher Geometrie verstehen muss. Oder gibt es neben der höheren Mathematik noch eine andere schlüssige Erklärung dafür, was ein Klavierkonzert von Chopin so einzigartig macht?

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