Von Holger Dambeck
Die Genauigkeit ist ein Fluch. In der Mathematik gibt es nur richtig und falsch. Wenn die exakte Lösung einer Aufgabe 5,1 lautet, dann liegt 5,05 zwar nahe dran, aber eben daneben. Wer bei einer Rechnung einen kleinen Fehler macht, kommt nie und nimmer aufs richtige Ergebnis. Wäre es anders, stünde die Mathematik quasi als unreine Wissenschaft da - eine Katastrophe!
Mathematiker wie Albrecht Beutelspacher von der Justus-Liebig-Universität Gießen halten die Exaktheit aber auch für ein Problem. Vor allem, wenn richtig oder falsch zum Dogma wird und Schüler aus Angst vor Fehlern die Lust am Rechnen verlieren. Mehr Mut zur Unschärfe könnte man auch sagen - und diesem Motto folgte offenbar auch das zum Aztekenreich gehörende Volk der Acolhua.
Die Azteken waren penible Buchhalter, wenn es um landwirtschaftlich genutzte Felder und Grundstücksverkäufe ging. Dies zeigen fast 600 Jahre alte Dokumente des Stadtstaats Tepetlaoztoc, die zwei amerikanische Wissenschaftler jetzt eingehend analysiert haben. Die Acolhua nutzten eigene Symbole für Zahlen, zum Beispiel Punkte, Herzen, Hände und Pfeile. Erst in den vergangenen 20 Jahren war es Forschern gelungen, diese ansatzweise zu entziffern.
Nach welchen Formeln aber das Aztekenvolk die Flächeninhalte teils unregelmäßig geformter Grundstücke berechnete, war bislang unklar. Barbara Williams von der University of Wisconsin und ihre mexikanische Kollegin María del Carmen Jorge y Jorge ist es nun gelungen, das Rätsel zu lösen. Acolhua Kongruenz-Arithmetik nennen sie die Methode - und sie beinhaltet vor allem einen Ratschlag: Halte die Rechnung möglichst simpel.
Ungefähr richtig - nicht genau
Williams und Jorge y Jorge werteten zwei verschiedene Karten aus der Zeit zwischen 1540 und 1544 aus. Sie umfassen Hunderte Grundstücke, die zum Stadtstaat Tepetlaoztoc gehörten. Bis zur Acolhua-Hauptstadt Texcoco waren es lediglich sechs Kilometer. Auf der einen Karte ist für jedes Feld seine Fläche angegeben, die andere Karte dokumentiert die Seitenlängen der meist viereckigen Grundstücke.
"Die Grundstücke sind nicht maßstäblich gezeichnet", berichten die Forscher im Wissenschaftsmagazin "Science" (Bd. 320, S. 72). Es gebe auch keine Hinweise auf Winkelmessungen oder die Bestimmung der Höhe von Dreiecken, die durch das Einzeichnen von Diagonalen in die Vierecke entstanden seien.
Auf Genauigkeit legten die Acolhua trotzdem großen Wert: Die Seitenlängen wurden in sogenannten tlaquahuitl gemessen. Eine solche Längeneinheit misst 2,5 Meter, die Forscher bezeichneten sie kurz als T. Ein senkrechter Strich steht für 1 T, 20 T wurden durch einen ausgefüllten Kreis dargestellt. Neben der Anzahl der T tauchten an den Seitenlinien der Grundstücke auch Bruchteile davon auf - etwa Pfeil (1/2 T), Hand (3/5 T) und Knochen (1/5 T) - und zwar immer dann, wenn eine Kante nicht genau einem ganzzahligen Vielfachen von T entsprach. Die Bedeutung dieser Zeichen haben Williams und Jorge y Jorge mit ihrer Arbeit nun entschlüsselt.
Erstaunlicherweise sind die Flächen der Grundstücke auf der zweiten Karten aber nur in ganzzahligen Vielfachen von T2 angegeben, obwohl man doch angesichts der krummen Werte der Kanten auch bei der Fläche Nachkommastellen erwarten müsste. Wie kamen die Acolhua auf die Flächen und auf die glatten Zahlen?
Mitteln, Runden, Nähern
Sie rechneten einfach von Vornherein nur mit ganzen Zahlen - und sie nutzten verschiedene Faustformeln, wie Williams und Jorge y Jorge herausgefunden haben. Die Azteken hätten sechs verschiedene Algorithmen eingesetzt, um die Größe eines viereckigen Grundstücks zu kalkulieren. In den meisten Fällen multiplizierten sie einfach zwei benachbarte Seiten miteinander, a * b - so lautet auch die Flächenformel für Rechtecke.
Doch die Felder waren nicht immer rechteckig. Deshalb griffen die Acolhua zu anderen Formeln: Zum Beispiel multiplizierten sie das Mittel zweier gegenüberliegender Seiten mit einer dritten Seite. Oder aber die sogenannte Landvermesser-Regel kam zum Einsatz: Wenn die vier Seiten eines Vierecks die Längen a, b, c und d haben, dann ist seine Fläche näherungsweise (a + c)/2 * (b + d)/2.
Mitunter wurde ein Viereck auch mit einer Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt. Deren per Faustformel berechneten Flächen - a*b/2 und c*d/2 - addierten die frühen Mathematiker dann zusammen. In einigen Fällen zogen die Acolhua auch von einer Seite eine Längeneinheit T ab und addierten sie bei der benachbarten hinzu. Als Fläche nahmen sie dann das Produkt der modifizierten Seiten.
Intuition und Gefühl zählen
Für 60 Prozent der rund 400 untersuchten Felder konnten Williams und Jorge y Jorge die Flächenwerte aus der alten Acolhua-Karte exakt reproduzieren. Dies lege nahe, dass die verwendete Berechnungsmethode tatsächlich der entspreche, die auch die Azteken genutzt hätten, schreiben die Forscher.
Geometrisch gesehen lagen die Acolhua mit ihren Faustformeln freilich nur selten richtig. Das Runden und Mitteln macht die Flächenberechnung zwar einfach, liefert aber eben nur ein näherungsweise richtiges Ergebnis. Williams und Jorge y Jorge weisen jedoch ausdrücklich daraufhin, dass auch Vermesser in Europa zu denselben Faustformeln gegriffen haben, etwa (a + c)/2 * (b + d)/2. Offensichtlich dachten die Azteken in den gleichen geometrischen Kategorien wie die Menschen in der alten Welt, folgern die Wissenschaftler.
Für uns Menschen des 21. Jahrhunderts zeigen die frühen Kalkulationen vor allem: Es ist nicht so wichtig, ganz genau zu sein, wenn man zumindest ungefähr richtig liegt. In der Tat ist ein Gefühl für Zahlen, Größenordnungen und Flächen im Alltag von weit größerem Belang als eine komplizierte Formel, die zum exakten Ergebnis führt. Wer grob überschlägt, bemerkt, wenn Taschenrechner oder Computer bizarre Werte ausspucken - und kann so folgenreiche Fehler vermeiden.
Eine Sache an den Flächenformeln der Acolhua bleibt jedoch rätselhaft: Warum griffen sie bei dem einen Grundstück zu der einen Faustformel - und bei dem anderen zu einer anderen? War es Erfahrung, Intuition? Wir werden es wohl nie erfahren, denn es existieren keine exakten Karten, um die berechneten Werte mit den tatsächlichen vergleichen zu können.
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