Frage: Kommen wir zur Poincaré-Vermutung, ebenfalls bis vor Kurzem eines der großen Probleme der Clay Foundation, beziehungsweise zum Beweis des russischen Mathematikers Grigori Perelman. Der Beweis wurde etwas unorthodox nur über das Internet kommuniziert, ohne wie eigentlich üblich nach Begutachtung in einem Fachjournal.
Faltings: Ja, aber Perelman war schon ein seriöser Fachmann, und so haben die Kollegen viele Details nachgearbeitet und verifiziert. Wie ich hörte, hat Perelman dabei nicht sonderlich mitgeholfen. Aber es ist ja durchaus üblich, dass Preprints ausgetauscht werden, etwa über das Archiv der Cornell University, heute online. Das war auch schon bei meinem Mordell-Beweis so. So spricht sich das herum, mehrere haben dann in Seminaren die Details durchgerechnet. Als diese Prüfung sich hinzog, wurde ich schon langsam skeptisch. Aber dann haben alle verkündet, dass Perelmans Beweis korrekt ist. Inzwischen gibt es Bücher darüber.
Frage: Thema Keplers Vermutung - das Orangenkistenproblem: Was ist die dichteste Packung von Kugeln? Auch für diesen umfangreichen Beweis von 1998 durch den Amerikaner Thomas Hales wurden Computer eingesetzt. Wie sehen Sie das?
Faltings: Auch das wurde, wie schon beim Vierfarbentheorem, wieder von manchen moniert. Das Problem ist, ob man ein Computerprogramm reproduzieren kann. Das ist sehr schwierig, weil jeder Computer schon wieder anders ist. Aber ich bin nicht gegen Computerhilfe. Wie gesagt, auch wenn man von Hand rechnet, kann man genauso Fehler machen wie mit einem Computer. Ich finde es nur unbefriedigend, wenn man das Problem in den Rechner eingibt, und nach drei Tagen kommt dann heraus: Ja oder Nein. Daraus lernt man wenig. Es gab sogar mal den Fall, dass ein Intel-Chip falsch addiert hat. Soll man sich nun als Gutachter auch noch von Intel die Chipunterlagen schicken lassen?
Generell gesagt: Bis jetzt gehört noch dazu, dass man dem Computer vorschreibt, was er zu machen hat, also bleibt da doch viel Menschliches. Aber Thomas Hales überlegt sich ja jetzt, wie man den Computer auch die Strategie erarbeiten lassen kann. Das wäre schon etwas anderes.
Frage: Ein gelöstes großes Problem dreht sich in der Mathematik um die so genannten endlichen einfachen Gruppen und ihre Klassifikation. Diese Gruppen spielen in der Theorie vielleicht eine ähnliche Rolle wie die Primzahlen unter den ganzen Zahlen. Wie es heißt, haben von 1920 bis 1980 etwa hundert Mathematiker in mehreren hundert Publikationen an die 15.000 Seiten mit Beweisen vieler Einzelaspekte gefüllt. Wie kann man da noch sicher sein, dass alles stimmt?
Faltings: Daniel Gorenstein und Michael Aschbacher haben ab 1980 an einer Vereinfachung dieses Beweisgebirges gearbeitet. In einem 800-Seiten-Buch von Gorenstein blieb dann jahrelang eine Lücke offen, über die man nicht so gerne sprach. Erst vor wenigen Jahren gelang es dann Aschbacher und Kollegen, diese Lücke zu schließen - auch noch mal auf vielen Seiten.
Frage: Nochmals gefragt: Wenn Beweise diese Umfänge annehmen und von Kollektiven erarbeitet werden - wie kann man das alles glauben?
Faltings: Ich habe diesen Beweis selbst nicht gelesen oder versucht, ihn zu verifizieren. Er wird sich vielleicht noch vereinfachen lassen, jedoch nicht viel. Denn der Beweis kann nicht viel einfacher sein als das Ergebnis. Selbst wenn noch etwas falsch daran ist, heißt das nicht, dass der Fehler irreparabel sein muss.
Im Prinzip bin ich bereit, das Ergebnis zu glauben, einfach auch, weil sich viele Leute damit beschäftigt haben. Meine Erfahrung ist, wenn ein Fehler unentdeckt bleibt, dann deshalb, weil sich niemand dafür interessiert hat.
Frage: Sprechen wir noch über große ungelöste Probleme der Mathematik: die riemannsche Vermutung - seit mehr als 150 Jahre unbewiesen. Warum ist sie so wichtig?
Faltings: In der riemannschen Vermutung stecken sozusagen alle Primzahlen. Sie liefert eine explizite Formel für die Anzahl der Primzahlen unter einer vorgegebenen Schranke. Es ist wirklich ein wichtiges Problem, derzeit wohl die Vermutung mit dem höchsten Prestige.
Frage: Auch hier hat man per Computer numerisch ihre Richtigkeit geprüft, soweit ich weiß bis 1018.
Faltings: Das beweist natürlich nichts, auch wenn es die These schon sehr plausibel macht. Riemann hat es ja nicht wirklich vermutet, er hat eigentlich nur gefragt, ob es so sei.
Frage: Gibt es für Sie andere große Probleme, die nicht auf der Clay-Liste stehen?
Faltings: Es gibt das so genannte Langlands-Programm oder die Langlands-Vermutung, benannt nach Robert P. Langlands in Princeton. Es geht, fachlich gesprochen, um Zusammenhänge zwischen der Galoistheorie, über die ich auch selbst forsche, und automorphen Formen. Daran arbeiten derzeit viele Leute.
Frage: Das sollten wir hier dann wohl nicht weiter vertiefen. Aber wie steht es mit der Zahlentheorie à la Goldbach-Vermutung?
Faltings: Da gibt es die sogenannte abc-Vermutung, aufgestellt im Jahr 1985. Die halte ich auch für bedeutend. Dabei geht es um die simple Gleichung a + b=c, und man will, dass in dem Produkt a·b·c möglichst wenige verschiedene Primzahlen auftauchen. Vermutet wird, dass das nicht zu wenige sein können, aber gibt es für die Größe der Lösung eine obere Schranke in Form einer Zahl? Das ist die Herausforderung!
Frage: Wieso ist das wichtig?
Faltings: Einmal würde sich damit der Wiles-Beweis der Fermat-Vermutung dramatisch vereinfachen. Zum anderen hätte man dann ein Kriterium für die Effektivität des Lösungsverfahrens. Das heißt, dass man nicht nur die Anzahl, sondern auch die Größe der Lösungen beschränken kann. So ließe sich auch mein Mordell-Beweis verbessern, indem man eine echte obere Schranke für die endlich vielen rationalen Punkte fände und nicht nur allgemein weiß, dass eine solche existieren muss.
Frage: Und arbeiten Sie an dieser Verbesserung?
Faltings: Wenn ich wüsste, wie ich da weiterkäme, würde ich das gerne machen. Aber so kann ich mich ja nicht einfach davorsetzen und tagein, tagaus darüber nachdenken.
Frage: Meine Schlussfrage betrifft die generelle Entscheidbarkeit von mathematischen Aussagen. Seit Gödels Unvollständigkeitssatz weiß man ja, dass es Behauptungen gibt, die weder beweisbar noch widerlegbar sind.
Faltings: Es ist eine Sache, ob man allgemein zeigt, wie Gödel das getan hat, dass es nicht beweisbare oder nicht widerlegbare Behauptungen gibt. Oder ob man für ein konkretes Problem nachweisen will, dass es weder beweisbar noch widerlegbar ist. Dafür gibt es auch Beispiele.
Frage: Bei den großen Problemen könnte doch manch eines von der nicht entscheidbaren Art sein, oder?
Faltings: Das vermuten manche Leute gern, aber ich halte das ein bisschen für Defätismus. Man will sich damit vielleicht entschuldigen, dass man etwas nicht lösen kann.
Frage: ... dass die Trauben zu sauer sind. Aber wenn man genau dies zeigen könnte, wäre das doch auch ein Gewinn?
Faltings: Das wäre dann auch eine Art Lösung des Problems. Aber die riemannsche Vermutung ließe sich im Prinzip durch ein Gegenbeispiel widerlegen, das sich auch numerisch finden ließe. Ich sehe keinen Grund, warum nicht auch andere große Probleme nicht entscheidbar sein sollten.
Frage: Welche Probleme würden Sie in der Zukunft gerne gelöst sehen?
Faltings: Wie gesagt: Bei Langlands und dem abc-Problem wäre eine Klärung schön. Doch Vorsicht: Schon manches große Problem war am Ende dann doch kleiner als gedacht. Es gibt ja das berühmte Beispiel von Hilbert, der verglich in den 1920er Jahren drei Probleme miteinander: die Transzendenz von 2 hoch Wurzel aus 2, Fermat und Riemann, und meinte, die Transzendenz von 2 hoch Wurzel aus 2 sei viel schwerer als die riemannsche Vermutung. Das erste dieser drei Rätsel wurde wenige Jahre später erledigt, Fermat ist inzwischen auch bewiesen, nur Riemann ist noch offen. So gesehen müsste ich würfeln.
Frage: Professor Faltings, vielen Dank für das Gespräch.
Die Fragen stellte Reinhard Breuer, Chefredakteur von "Spektrum der Wissenschaft".
Auf anderen Social Networks posten:
HilfeLassen Sie sich mit kostenlosen Diensten auf dem Laufenden halten:
| alles aus der Rubrik Wissenschaft | Twitter | RSS |
| alles aus der Rubrik Mensch | RSS |
© SPIEGEL ONLINE 2008
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung der SPIEGELnet GmbH
Wetter
