Von Wolfgang Blum
Die Jagd nach sehr großen Primzahlzwillingen läuft heute über das Internet. Jeder Interessierte kann sich das Programm herunterladen und seinen Computer nach Zwillingen forschen lassen, wenn er gerade Rechenkapazität frei hat. Derzeit liegt der Rekord bei 2.003.663.613 · 2195.000 ± 1, das sind zwei Zahlen mit immerhin fast 59.000 Dezimalstellen. Sie beide aufzuschreiben würde fünfmal so viel Platz benötigen wie dieser Artikel.
Primzahlzwillinge gibt es deutlich seltener als Primzahlen. Unter den ersten hundert Zahlen sind nur acht Pärchen gegenüber 25 Primzahlen. Unterhalb einer Milliarde gibt es mehr als 50 Millionen Primzahlen, aber nur knapp dreieinhalb Millionen Zwillingspaare. Addiert man die Kehrwerte der Primzahlen, wächst die Summe über alle Grenzen:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + . . . = unendlich ,
wie Euler 1737 bewies. Als dagegen Viggo Brun 1919 die Kehrwerte der Primzahlzwillinge summierte, stellte er fest, dass der sich ergebende Wert beschränkt bleibt:
(1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + (1/41 + 1/ 43) + . . . = B
Heute ist dieser Wert B als brunsche Konstante bekannt und bis auf viele Nachkommastellen berechnet: B=1,90216... Und das, obwohl nach wie vor nicht sicher ist, ob es unendlich viele Zwillinge gibt, ob also unendlich viele Summanden zu addieren sind. Denn in der Mathematik sind viele unendliche Summen bekannt, die einen endlichen Wert ergeben. So addiert sich etwa die Summe der Kehrwerte von Zweierpotenzen zu 2:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + . . . = 2
Die Fachwelt spricht vom brunschen Witz und vergleicht die Situation mit jemandem, der zwar keine Ahnung hat, wie viel Geld er im Portemonnaie hat, aber trotzdem weiß, wie viel er sich davon kaufen kann.
Die brunsche Konstante wurde 1994 sogar relevant für die Praxis. In jenem Jahr wollte Thomas Nicely sie genau ausrechnen und verwendete dazu sicherheitshalber zwei verschiedene Computer. Als der Mathematikprofessor aus Virginia die Kehrwerte von 824.633.702.441 und 824.633.702.443 berechnete, lieferten seine Rechner in beiden Fällen unterschiedliche Ergebnisse. Der Grund dafür war ein Fehler in der Hardware des Pentium-Prozessors von Intel. Der Firma brachte der "Pentium-Bug" nicht nur Verluste in Millionenhöhe ein, sondern auch weltweiten Spott. "Intel inside - can't divide" (kann nicht dividieren) war noch einer der harmloseren Sprüche, die damals kursierten.
In den letzten Jahren glaubten Mathematiker mehrfach, das Problem mit der Unendlichkeit der Primzahlzwillinge endlich geknackt zu haben. So veröffentlichte Richard Arenstorf, emeritierter Professor der Vanderbilt University in Nashville (Tennessee), vor vier Jahren einen Beweis, der sich auf die riemannsche Zeta-Funktion stützt. Doch steckte ein Fehler in der Beweisführung, den er bis heute nicht ausbügeln konnte. Nicht besser erging es dem Kalifornier Daniel Goldston und dem Türken Cem Yildirim.
Umsonst waren die Mühen indes nicht. Denn die Wissenschaftler haben Theorien entwickelt, mit denen sich andere mathematische Sätze und vielleicht sogar eines Tages die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge verifizieren lassen. So halfen die Methoden von Goldston und Yildirim zu beweisen, dass es in den Primzahlen beliebig lange arithmetische Folgen gibt, also Folgen von Zahlen mit gleichem Abstand. 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 ist zum Beispiel eine solche Primzahlfolge der Länge 10. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen beträgt bei ihr stets 210.
Goldston und Yildirim verwenden wie ihre Kollegen bei der Goldbach-Vermutung wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden, insbesondere den gaußschen Primzahlsatz. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl n als auch n + 2 Primzahlen sind, gleich (1/log n) · (1/log(n + 2)), was für große n praktisch gleich (1/log n)2 ist (der Unterschied zwischen log n und log (n + 2) ist vernachlässigbar). Daraus ergibt sich eine Schätzung für die Anzahl der Primzahlzwillinge kleiner gleich n: µ2(n) ungefähr gleich n/(log n)2.
Primzahlen mit geringem Abstand
Wie ein Vergleich der Zahlenwerte zeigt, handelt es sich um eine deutliche Unterschätzung. Der Grund liegt darin, dass die Fiktion der Unabhängigkeit für so eng benachbarte Zahlen nicht aufrechtzuerhalten ist. Wenn wir schon wissen, dass n eine Primzahl ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass n + 2 durch 2 teilbar ist, nicht 1/2, wie das für eine beliebig herausgegriffene Zahl der Fall wäre, sondern 0. Wir wissen ja schon, dass n + 2 ungerade sein muss. Andererseits beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass n + 2 durch 3 teilbar ist, nicht 1/3, wie der Unabhängigkeitsannahme entspräche, sondern 1/2. Denn wenn n eine Primzahl ist, ergibt n geteilt durch 3 entweder den Rest 1 oder 2, und nur bei Rest 2 ist auch n + 2 nicht durch 3 teilbar.
Daraus ergibt sich ein Korrekturfaktor, den Mathematiker als 1,32032... berechnet haben. Also wäre µ2(n) ungefähr gleich 1,32... · n/(log n)2. Leider ist das aber nur eine der vielen unbewiesenen Vermutungen der Primzahlforschung. Bislang ist lediglich eine grobe Abschätzung verifiziert:
µ2(n) ist kleiner gleich 4 · 1,32... · n/(log n)2.
Goldston und Yildirim gingen das Problem von einer anderen, immer noch wahrscheinlichkeitstheoretischen Seite an. Unter den ersten 1.000.000 natürlichen Zahlen ist nach dem gaußschen Primzahlsatz ungefähr jede vierzehnte eine Primzahl, denn log(1.000.000) =13,81... Diese Zahl ist also der Durchschnittsabstand zweier benachbarter Primzahlen innerhalb der ersten Million. Bis zur ersten Billion steigt er auf das Doppelte an (log (1012)=27,63...).
Die Frage ist nun, ob es auch große Primzahlen gibt, die deutlich näher beieinanderliegen als der Durchschnitt. Goldston und Yildirim führten dazu eine Normierung durch. Statt direkt den Abstand benachbarter Primzahlen - nennen wir sie pk und pk+1 - zu betrachten, teilten sie diesen durch den erwarteten Abstand log pk. Sie studierten damit die Zahlenfolge ( pk + 1 - pk) / log pk.
Sollte es unendlich viele Primzahlzwillinge geben, müsste diese Folge unendlich oft beliebig nahe an die Null kommen. (Für Fachleute: Ihr Limes inferior sollte null sein.) Das und noch etwas mehr hätten sie bewiesen, kündigten die beiden Zahlentheoretiker auf einer Konferenz 2003 in Oberwolfach im Schwarzwald an. Als Andrew Granville von der Université de Montréal (Kanada) die Arbeit prüfte, bemerkte er eine Folgerung, die den Autoren entgangen war. Sollte ihre Argumentation korrekt sein, würde das bedeuten, dass der Abstand zwischen benachbarten Primzahlen unendlich oft kleiner oder gleich 12 wäre. Da nicht mit einer so weit reichenden Aussage zu rechnen war, habe er sich das Paper der beiden umso genauer vorgenommen, erzählt Granville.
Gemeinsam mit einem Kollegen aus den USA entdeckte er tatsächlich einen Fehler, der nicht ohne Weiteres auszubügeln war. Zwei Jahre nach der ersten Ankündigung und mit Hilfe des Ungarn Janos Pintz konnten Goldston und Yildirim schließlich die Lücke stopfen und endgültig beweisen, dass die genannte Zahlenfolge der Null unendlich oft beliebig nahekommt.
Die Fachwelt zeigte sich hocherfreut über den Fortschritt. "Es war ein wunderbares neues Jahrtausend für unser Verständnis der Verteilung von Primzahlen", urteilt Granville. Ob das bereits der Durchbruch bei den Primzahlzwillingen war, lasse sich aber nicht absehen, dämpft Pieter Moree die Erwartungen. Daniel Goldston äußert sich ebenfalls vorsichtig: "Eine reizvolle Seite der Zahlentheorie ist, dass es schwierig ist vorherzusagen, welche Probleme mit unserem gegenwärtigen Kenntnisstand gelöst werden können und welche derzeit noch jenseits jeder Hoffnung auf eine Lösung sind." Goldbach und die Zwillinge bleiben weiter spannend.
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