Rätsel der Woche 33 Kinder vergleichen ihre Namen

Wie viele Emmas sind in der Klasse? Und wie viele Müllers? Jeder Schüler zählt, wie viele Klassenkameraden denselben Vor- oder Nachnamen tragen wie er selbst. Was verraten diese Zahlen?

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Von und (Grafik)


33 Schüler hat die neu zusammengestellte Klasse. Und das bedeutet: Jeder muss sich 32 Vor- und Nachnamen merken, denn die Kinder kennen einander bislang nicht.

Als die Schüler sich einander vorstellen, bemerken sie, dass der eine oder andere Vor- oder Nachname doppelt, dreifach und sogar noch häufiger vorkommt. Sie beschließen, der Sache auf den Grund zu gehen.

Jedes Kind schreibt an die Tafel, wie viele andere Kinder in der Klasse den gleichen Vornamen tragen wie es selbst. Danach schreibt jedes der 33 Kinder an die Tafel, wie viele Mitschüler den gleichen Nachnamen haben wie es selbst. In beiden Fällen zählt der Anschreibende sich selbst nicht mit.

66 Zahlen landen so an der Tafel. Und unter diesen 66 Zahlen kommt jede der Zahlen 0, 1, 2, 3, ... 9, 10 mindestens einmal vor.

Beweisen Sie, dass es in dieser Klasse mindestens zwei Schüler gibt, die den gleichen Vor- und Nachnamen haben.

Hinweis: Jedes Kind hat genau einen Vornamen und genau einen Nachnamen.

insgesamt 26 Beiträge
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Seite 1
lars_baumann 23.07.2017
1.
„Es sind deshalb n*(11-n) verschiedene Kombinationen aus Vor- und Nachname möglich.“ Wieso n*(11-n)?
lammlamm 23.07.2017
2. Korrekte Argumentation?
Zitat: "Dort steht auf jeden Fall eine 10. Das heißt, ein Schüler hat 10 Mitschüler, die den gleichen Vor- oder Nachnamen tragen. Also gibt es 11 Schüler mit diesem Vor- oder Nachnamen. Jeder der 11 Schüler hat eine 10 an die Tafel geschrieben." Gegenbeispiel: Ein Schüler trägt den Namen Markus Müller. 5 Mitschüler heißen ebenfalls Müller, haben aber die schönen Vornamen A, B, C, D und E. Weitere 5 haben die klingenden Nachnamen Eins, Zwei, Drei, Vier und Fünf. Unser Markus Müller trägt dann zwar die 10 ein, wir können aber nicht zwingend (wie behauptet!) davon ausgehen, dass jeder der anderen das ebenfalls tun muss. Gibt es nämlich keine weiteren Übereinstimmungen, dann tragen alle 10 nur eine 5 ein. Damit wäre die Argumentation des Lösungsansatzes hinfällig - was nicht heißen soll, dass die Behauptung nicht auf andere Art zu beweisen wäre.
rotella 23.07.2017
3. Einfachere Lösung
Es ist, wie in der Lösung beschrieben, klar, dass die Summe der verschiedenen Vor- und Nachnamen 11 ist, also bsp. vier verschiedene Vornamen und sieben verschiedene Nachnamen. Gehen wir davon aus, dass es sich bei den 11 Schülern mit gleichem Namen um den Vornamen handelt. Dann müssten, damit es keine zwei Schüler mit ebenfalls gleichem Nachnamen gibt, diese 11 Schüler 11 verschiedene Nachnamen haben. Da es aber insgesamt nur 11 verschiedene Namen gibt und einer in dieser Annahme bereits als Vornamen festgelegt wurde, bleiben überhaupt nur noch 10 verschieden Namen übrig, die dann auch alle Nachnamen sein müssten. Es wären aber min. 11 verschiedene Nachnamen nötig gewesen. Es ist also nicht möglich, eine Verteilung zu konstruieren, in der nicht min. zwei Schüler identische Vor- und Nachnamen haben.
u.c.a.stephan 23.07.2017
4. korrekt
@lammlamm : Jeder Schüler schreibt 2 Zahlen an die Tafel. In Ihrem Beispiel schreibt Markus Müller eine 5 für die anderen fünf Markusse und noch eine 5 für die anderen fünf Müllers.
rotella 23.07.2017
5. Falsch
Zitat von lammlammZitat: "Dort steht auf jeden Fall eine 10. Das heißt, ein Schüler hat 10 Mitschüler, die den gleichen Vor- oder Nachnamen tragen. Also gibt es 11 Schüler mit diesem Vor- oder Nachnamen. Jeder der 11 Schüler hat eine 10 an die Tafel geschrieben." Gegenbeispiel: Ein Schüler trägt den Namen Markus Müller. 5 Mitschüler heißen ebenfalls Müller, haben aber die schönen Vornamen A, B, C, D und E. Weitere 5 haben die klingenden Nachnamen Eins, Zwei, Drei, Vier und Fünf. Unser Markus Müller trägt dann zwar die 10 ein, wir können aber nicht zwingend (wie behauptet!) davon ausgehen, dass jeder der anderen das ebenfalls tun muss. Gibt es nämlich keine weiteren Übereinstimmungen, dann tragen alle 10 nur eine 5 ein. Damit wäre die Argumentation des Lösungsansatzes hinfällig - was nicht heißen soll, dass die Behauptung nicht auf andere Art zu beweisen wäre.
Jeder Schüler schreibt zwei Zahlen an die Tafel, eine für den Vornamen und eine für den Nachnamen. Für den Nachnamen schreibt Ihr Schüler M.M. dann eine sechs auf die Tafel und für den Vornamen abhängig von der Anzahl der anderen Schüler mit Vornamen Markus. Steht so aber auch in der Aufgabenstellung!
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