Rätsel der Woche Harmonische Zahl gesucht

Gibt es eine achtstellige Zahl, in der jede der Ziffern 1, 2, 3, 4 zweimal vorkommt - und in der sich diese acht Ziffern harmonisch aneinanderfügen?

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Von und (Grafik)


Wenn Mathematiker nach perfekten Zahlen suchen, dann geht es um natürliche Zahlen mit einer sehr speziellen Eigenschaft: Die Zahl ist genauso groß wie die Summe all ihrer Teiler außer sich selbst.

Die kleinste perfekte Zahl ist übrigens die 6, denn ihre Teiler außer 6 addiert 1+2+3 ergeben genau 6. Die nächstgrößeren perfekten Zahlen sind die 28 (1+2+4+7+14) und 496.

Die hier gesuchte achtstellige Zahl ist nicht perfekt, man könnte sie aber harmonisch nennen. Sie besteht aus den acht Ziffern

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,

die in besonderer Weise angeordnet werden sollen. Zwischen den beiden Einsen soll sich dann genau eine der anderen Ziffern befinden - also entweder eine 2, eine 3 oder eine 4. Zwischen den Zweien sollen zwei der anderen Ziffern stehen, zwischen den beiden Dreien drei der Ziffern und zwischen den zwei Vieren vier der Ziffern.

Die Frage ist, ob es eine solche achtstellige Zahl überhaupt gibt. Oder existiert vielleicht sogar mehr als eine? Geben Sie alle Lösungen an!



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dasfred 01.09.2018
1. War schnell gebastelt
Acht kleine Pappescheiben ausgeschnitten, genau den Text gelesen und auf einer glatten Fläche ein wenig hin und her geschoben. Da war dann schnell klar, dass man bis auf zwei Varianten alle anderen ausschließen kann. Ich habe gern was zum Anfassen.
stenni 01.09.2018
2. Langford's Problem!
Ist mir neu, dass man das eine harmonische Zahl nennt. Tatsächlich geht diese Aufgabe auf den schottischen Mathematiker C. Dudley Langford zurück. Martin Gardner hat es z.B. in seinem Buch "Mathematical Magic Show" vorgestellt. Es gibt zahlreiche Varianten dieses Problems und die Anzahl der Lösungen steigt mit höherer Stellenzahl exponentiell an. Eine schöne Übersicht findet man hier: http://dialectrix.com/langford.html
Auch einer 01.09.2018
3. Langford oder auch Skolem
Genau - das sind doch nichts anderes als Langford-Sequenzen, welche wiederum Spezialfälle von Skolem-Sequenzen sind (Bei letzteren müssen noch zwei Nullen berücksichtigt werden).
rotella 01.09.2018
4. Mit 1_1 anfangen
Ich habe mit der Kombination 1_1 angefangen und dann in die Lücke nacheinander 2, 3 und 4 eingesetzt. Man sieht sehr schnell, dass die 2 und 4 eine Sackgasse sind und sich nur mit der 3 eine Lösung finden lässt (Und per Spiegelung der Zahl dann die zweite)
Vorzeichen 01.09.2018
5. Danke für den Link!
Zitat von stenniIst mir neu, dass man das eine harmonische Zahl nennt. Tatsächlich geht diese Aufgabe auf den schottischen Mathematiker C. Dudley Langford zurück. Martin Gardner hat es z.B. in seinem Buch "Mathematical Magic Show" vorgestellt. Es gibt zahlreiche Varianten dieses Problems und die Anzahl der Lösungen steigt mit höherer Stellenzahl exponentiell an. Eine schöne Übersicht findet man hier: http://dialectrix.com/langford.html
Danke für den Link! Sehr unterhaltsam. Im Sinne der dort benutzten Notation geht es in diesem Wochenrätsel um die Bestimmung von L(2,4), und da Resultate modulo Spiegelungen angegeben werden, ist L(2,4)=1. Wenn da also Leute für L(2,32) mehrere Monate auf 12 Prozessoren rechnen, dann frage ich mich, ob es nicht auch irgendwo analytische Methoden zur Abschätzung der Anzahl der Lösungen gibt. Muss ich gleich mal nach suchen.
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