Collatz-Vermutung: Deutscher Mathematiker meldet Lösung für Zahlenrätsel

Von Holger Dambeck

Die Collatz-Vermutung ist etwa 60 Jahre alt - ein Hamburger Mathematiker könnte sie nun bewiesen haben. Das Verrückte an dem Problem ist, dass es jeder Laie versteht, die vorgeschlagene Lösung jedoch nur für Experten nachvollziehbar ist.

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Collatz-Folge: Am Ende steht immer die Zahl 1

Es ist nicht immer leicht, ein Mathematiker zu sein. Wenn sie gefragt werden, mit welchen Problemen sie sich den ganzen Tag lang beschäftigen, dann fällt die Antwort mitunter kryptisch aus: Zeta-Funktion, topologische Gruppen oder Zahlkörper - für den Nichtmathematiker nichts als böhmische Dörfer.

Im Fall der sogenannten Collatz-Vermutung ist das anders. Hier geht es um natürliche Zahlen, mit denen man ein bisschen herumrechnet - und am Ende kommt auf wundersame Weise immer wieder die Zahl 1 heraus. So vermutete es jedenfalls der deutsche Mathematiker Lothar Collatz vor rund 60 Jahren. Wann genau er die nach ihm benannte Collatz-Vermutung aufgestellt hat, ist nicht endgültig geklärt.

Fest steht jedoch, dass sich in den vergangenen 50 Jahren viele Mathematiker an dem Problem versucht haben - einen korrekten Beweis konnte aber niemand vorlegen. Womöglich ist das nun Gerhard Opfer geglückt. Der Mathematiker aus Hamburg glaubt, das Rätsel geknackt zu haben. Er hat seinen Lösungsvorschlag beim Fachblatt "Mathematics of Computation" eingereicht, seine Darstellung ist auch online abrufbar.

Worum geht es in der Collatz-Vermutung? Ausgangspunkt ist eine beliebige natürliche Zahl n. Wenn sie gerade ist, dann wird sie halbiert. Ist sie ungerade, multipliziert man sie mit 3 und addiert 1 hinzu - also 3n+1. Mit dem Ergebnis der Berechnung wird das Verfahren dann wiederholt - und zwar so oft, wie es geht.

Mal 3, mal 112 Schritte

Nehmen wir das Beispiel n=5. Die Zahl ist ungerade, also ist die nächste Zahl der Folge 3*5+1=16. 16 ist gerade und wird durch 2 geteilt, ergibt 8. Von da geht es weiter mit 4, dann kommt 2 und schließlich die 1. Collatz vermutete, dass man bei jeder beliebigen Zahl über kurz oder lang bei der 1 landet - aber beweisen konnte er dies nicht. Mit Computerhilfe ist es in den vergangenen Jahren gelungen, die Collatz-Vermutung für alle natürlichen Zahlen bis 20*258 zu bestätigen. Dies entspricht der 19-stelligen Zahl 5.764.607.523.034.234.880. Aber womöglich gibt es ja irgendeine noch größere natürliche Zahl, bei der die Collatz-Folge niemals die 1 erreicht?

Das Verrückte an der simplen Rechenvorschrift - entweder n/2 oder 3n+1 - ist, dass man einer Zahl kaum ansieht, wie viele Schritte nötig sind, um bei der 1 zu landen. Bei der Zahl 5 sind es 6 Schritte, bei der Zahl 6 schon 9, bei der 7 sogar 17. Bei der 8 wiederum sinkt die Schrittzahl auf 4. Im Folgenden sind die Collatz-Folgen für die Zahlen von 2 bis 8 aufgeführt, ein Skript zur Berechnung finden Sie auf dieser Web-Seite.

2, 1
3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
4, 2, 1
5, 16, 8, 4, 2, 1
6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
8, 4, 2, 1

Eine Collatz-Folge kann schnell ziemlich lang werden, wie das Beispiel n=27 zeigt. Dort ist man erst nach 112 Rechenschritten bei der 1 angekommen - siehe Bild oben. Es gibt aber sogar Zahlen mit Tausenden Schritten - allerdings sind diese vergleichsweise selten. "Selbst bei großen Zahlen ist es schwierig, lange Folgen zu erzeugen", sagt der Hamburger Mathematiker Gerhard Opfer SPIEGEL ONLINE.

Seine nun vorgelegte Arbeit würde die Collatz-Vermutung für alle beliebigen natürlichen Zahlen beweisen, wenn sie denn fehlerfrei ist. Ganz sicher ist sich Opfer da nicht: "Ich würde erst sagen, dass es stimmt, wenn es begutachtet ist." In der Tat wäre es nicht der erste Beweis eines Mathematikers, der sich bei näherer Betrachtung als falsch erweist.

Der Rostocker Mathematik-Professor Lothar Berg, ein ausgewiesener Experte in Sachen Collatz-Vermutung, ist jedoch guter Dinge: "Ich habe mir den Beweis angeschaut und ihn weitgehend verstanden", sagt er SPIEGEL ONLINE. Gleichwohl könne er keine Garantie dafür abgeben, dass die Beweisführung hundertprozentig stimme.

Für Laien ist die Arbeit leider kaum zu verstehen. "Ich habe das Problem in eine andere Sprache übersetzt und dann dort, so hoffe ich, bewiesen", erklärt Opfer. Der Lösungsvorschlag fällt in das Gebiet der Funktionentheorie, in dem die Eigenschaften von Funktionen für komplexe Zahlen untersucht werden.

Dass Gerhard Opfer sich überhaupt mit der Collatz-Vermutung beschäftigt hat, ist ein wenig dem Zufall zu verdanken. "Anfang Oktober habe ich einen Vortrag auf einem Kolloquium zum 100. Geburtstag von Lothar Collatz gehalten." Er habe dann über funktionentheoretische Zugänge zum Problem berichtet, von denen er gelesen hatte, darunter auch zwei Arbeiten seines Rostocker Kollegen Lothar Berg. "Vor Oktober 2010 hatte ich mich noch nicht mit dem Problem beschäftigt, im Mai 2011 habe ich dann die Arbeit eingereicht", sagt Opfer. Es gebe verschiedene Zugänge in der Funktionentheorie zur Collatz-Vermutung. Manche seien schwierig, der von ihm selbst genutzte sei leichter.

Die vergleichsweise kurze Zeitspanne beeindruckt. Kann ein Forscher in wenigen Monaten lösen, woran Kollegen sich seit Jahrzehnten die Zähne ausgebissen haben? Der ungarische Mathematiker Paul Erdös hatte einst sogar 500 Dollar für den Beweis geboten und erklärt: "Für solche Probleme ist die Mathematik noch nicht bereit." Bryan Thwaites, ein britischer Mathematiker, bot später sogar 1000 Pfund für den Beweis oder die Widerlegung der Jahrzehnte alten Vermutung an.

Reich werden kann Gerhard Opfer mit seiner Lösung also kaum - aber womöglich berühmt. "Wenn er das Problem wirklich gelöst hat, dann wäre das eine Sensation", sagt Lothar Berg. Opfer sieht eine mögliche Anerkennung seiner Arbeit durchaus mit gemischten Gefühlen: "Die Collatz-Vermutung hat eine Vielzahl von Arbeiten ausgelöst. Es wäre eigentlich schade, wenn sie jetzt bewiesen ist, denn dann wäre es damit ja vorbei."

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1. Collatz-Vermutung
ollux 05.06.2011
Hübsch, womit sich Mathematiker beschäftigen können. Die Sinnhaftigkeit ( und Lösung )des Rätsels entzieht sich aber meiner Denkweise. Was soll´s: suum suique.....
2. Riesenerfolg...
Neinsowas 05.06.2011
Es scheint wirklich eine riesige Entdeckung zu sein, eine gerade Zahl so lange durch 2 zu teilen, bis man bei 1 landet....(bin wirklich kein Mathematiker!)
3. verrückt?
mee2 05.06.2011
Wieso soll es verrückt sein, dass einfach zu verstehende Probleme schwierige Lösungen haben? Innermathematisch fiel mir sofort der "große fermatsche Satz" ein, aber irgendwie passt es doch auf fast alle Fragen des Lebens, des Universums und des ganzen Rests.
4.
Hans Blafoo 05.06.2011
Zitat von NeinsowasEs scheint wirklich eine riesige Entdeckung zu sein, eine gerade Zahl so lange durch 2 zu teilen, bis man bei 1 landet....(bin wirklich kein Mathematiker!)
Falls das ironisch gemeint war, drücken Sie am besten noch einmal die Schulbank. Oder ist in ihrer Mathematik der Quotient aus einer geraden Zahl und zwei auch immer wieder eine gerade Zahl? Ergibt 18:2 bei Ihnen etwa nicht 9?
5. Sehr schön...
PapaStolz 05.06.2011
Ich bin zwar kein Mathematiker, finde es aber trotzdem faszinierend, wie spannend die Mathematik sein kann. Für alle, die hier nach dem Sinn und Zweck fragen: Es sind in der Mathematik oft die zunächst unscheinbarsten oder vermeintlich nutzlosen Einfälle und Rätsel, welche zu erstaunlichen Anwendungen fähig sind, siehe z.B. die Primzahlen in der Kryptographie. Und selbst wenn sich mal keine praktische Anwendung finden lässt: Es liegt in der Wissenschaft selbst, durch Lösen solcher Rätsel zu neuen Erkenntnissen über sich selbst zu gelangen. Insofern sehe ich dies als völlig nützlich und legitim. Gruß PapaStolz
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