120 Seiten Der größte Würfel der Welt

Mathematiker haben einen 120-seitigen Würfel entwickelt. Der D120 ist fast so schwer wie eine Tafel Schokolade und hat bislang keine konkrete Anwendung. Aber wen stört das schon?

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Der Zufall ist ein unberechenbarer Zeitgenosse. Buchstäblich begreifen können wir ihn wohl am besten, wenn wir einen Würfel zur Hand nehmen und werfen. Ob dabei eine Eins, eine Vier oder eine Sechs herauskommt - wir wissen es vorher nicht. Rollenspieler nutzen noch raffiniertere Würfel mit 8, 10 oder 20 Seiten.

Doch all diese Zufallsgeneratoren wirken klein und bescheiden im Vergleich zu dem Würfelkoloss, den Henry Segerman aus seinem Rucksack kramt. D120 heißt das Gerät, und es hat 20 Mal so viele Seiten wie ein normaler Würfel - nämlich 120. Das D im Namen steht dabei für Dice (englisch: Würfel).

Segerman ist als Gastredner auf dem International Geometry Summit in Berlin und präsentiert den von ihm mit entwickelten 120er Würfel nun auch in Deutschland. Fünf Zentimeter Durchmesser, 95 Gramm schwer - das sind die Eckdaten des D120, für den es noch nicht einmal ein passendes Spiel gibt - zumindest vorerst nicht.

Doch Segerman stört das wenig. "Ich interessiere mich für mathematisch spannende Würfel", sagt er. Eine konkrete Anwendung sei da erst einmal zweitrangig. Der Mathematiker von der Oklahoma State University ist ein Geometrie-Nerd. Auf seinen T-Shirts prangen abstrakte Figuren, deren Namen nur Fachleute kennen. Seine Webseite zeigt Fotos faszinierender Objekte, die 3D-Drucker fabriziert haben.

Es gibt keinen größeren Würfel

Mit dem 120er Würfel liebäugelt Segerman schon seit mehreren Jahren. Mit der Firma Dice Lab produzieren Segerman und sein Kollege Robert Fathauer bereits diverse Würfel, darunter auch einen mit 60 Seiten (D60) und solche mit verblüffend schiefen Linien - siehe Fotostrecke oben.

Der D120 aber ist das Meisterstück der beiden. Er ist gewissermaßen die Krone der Würfelschöpfung, denn es gibt keinen vergleichbaren Würfel mit mehr als 120 Seitenflächen. Das ist mathematisch bewiesen.

"In Prismaform sind noch größere Zahlen möglich - aber nur theoretisch", sagt Segerman. Denkbar wäre beispielsweise ein Zylinder, dessen runde Außenfläche so beschliffen wird, dass aus der kreisförmigen Grundform die eines regelmäßigen 140-Ecks entsteht. Die 140 Seitenflächen wären aber dann so schmal, dass man Probleme hätte, darauf Zahlen unterzubringen.

Reguläre Polyeder als Würfel
Platonische Körper
Platonische Körper besitzen die größtmögliche Symmetrie. Sie bestehen ausschließlich aus kongruenten regelmäßigen Dreiecken, Vierecken oder Fünfecken. Sie eignen sich deshalb sehr gut als Würfel. Es existieren nur fünf Platonische Körper: Tetraeder (4 Seitenflächen), Hexaeder (6), Oktaeder (8), Dodekaeder (12) und Ikosaeder (20).
Archimedische Körper
Wenn man die Ecken eines Platonischen Körpers abstumpft, erhält man einen Archimedischen Körper. Ihre Seitenflächen sind gleichseitige Vielecke, dabei treten an einem Körper mindestens zwei verschiedene zugleich auf, zum Beispiel Dreiecke und Quadrate. Ein wichtiges Merkmal ist, dass sich alle Ecken zueinander völlig gleich verhalten. Der vielleicht bekannteste Archimedische Körper ist der Ikosaederstumpf, auch Fußballkörper genannt. Er besteht wie alte Lederfußbälle aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken. Es gibt insgesamt 13 Archimedische Körper plus zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten.
Catalanischer Körper
Catalanische Körper lassen sich aus Archimedischen Körpern konstruieren, indem man jeden Seitenmittelpunkt eines Archimedischen Körpers mit den Seitenmittelpunkten angrenzender Flächen verbindet. Es existieren 13 verschiedene Catalanische Körper. Sämtliche Seitenflächen dieser Polyeder sind zueinander kongruent, weshalb sie sich gut als Würfel eignen. Die Seitenflächen sind nichtregelmäßige Vielecke, wie beispielsweise Rhomben, gleichschenklige Dreiecke oder Drachenvierecke.

Die dem D120 zugrundeliegende Form, den sogenannten Disdyakistriakontaeder oder Hexakisikosaeder, kennen Mathematiker schon lange. Der Catalanische Körper hat 62 Ecken und 180 Kanten. Die Außenfläche besteht aus 120 spitzen, nahezu rechtwinkligen Dreiecken, die zueinander kongruent sind. Identisch geformte Außenflächen sind eine wichtige Bedingung für einen fairen Würfel, bei dem keine Seite bevorzugt ist.

Spielwürfel aus den fünf Platonischen Körpern
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Spielwürfel aus den fünf Platonischen Körpern

Doch industriell hergestellt hat einen solchen 120-Flächner noch niemand, erzählt Segerman. "Ein Problem ist, dass der Würfel nicht zu groß werden darf, sonst wird er zu teuer und es kann Probleme bei der Herstellung geben." Der D120 besteht, wie andere Würfel auch, aus massivem Kunststoff.

Gequetschte Einsen

Als Segerman und sein Kollege Robert Fathauer die Idee umsetzen wollten, stießen sie auf zwei Herausforderungen. Zum einen sind die 120 Seitenflächen zwangsläufig ziemlich klein, was das Eingravieren der Zahlen erschwert. Die Ziffer 1 vorn bei dreistelligen Zahlen mussten die Entwickler deshalb zusammenquetschen.

Zum anderen sollten die 120 Zahlen über den Würfel möglichst gleichmäßig verteilt sein. Leicht umzusetzen dabei war die Forderung, dass die Augenzahlen zwei genau gegenüberliegender Flächen in Summe genau 121 ergeben. Beim klassischen Würfel ist es übrigens genauso - hier ist die Summe gegenüberliegender Seiten stets 7.

Viel schwieriger aber war, die Augenzahlen auch über alle Ecken auszubalancieren, wie es Segerman formuliert. Denn es sollte keinen Bereich des Würfels geben, in dem beispielsweise höhere Zahlen, also oberhalb der 60, dominieren.

Die durchschnittliche Augenzahl einer Seite beim D120 beträgt 60,5. Der Würfel hat Ecken, an denen vier, sechs oder zehn Seitenflächen zusammenstoßen. Die Augenzahlen dort sollten sich also immer zu 242, 363 beziehungsweise 605 addieren.

Das numerische Ausbalancieren gelang nur mithilfe eines Spezialisten, der eigens dafür ein Programm schrieb und einen Computer tagelang nach Lösungen suchen ließ. Wie bei solchen numerischen Optimierungen üblich probiert die Software dabei eine Vielzahl von Lösungen aus, bewertet sie und versucht, die erfolgversprechendsten systematisch zu verbessern.

Anfangs sah es nicht gut aus: Bei der bestmöglichen Lösung war die Augensumme an einer Ecke zwei zu hoch, an einer anderen zwei zu niedrig. Erst kurz vor Beginn der Serienproduktion fand das Programm von Bob Bosch schließlich doch noch eine Lösung - und mit dieser Aufteilung wird der Würfel seit März produziert. Etwa 50 Stück sind es pro Tag, Stückpreis 12 Dollar.

Das ist nicht billig, aber bei Mathematikern, Rollenspielern und Mathematik-Lehrern scheint der D120 bislang gut anzukommen, wie Segerman berichtet. "Menschen lieben Würfel. Sie sammeln sie."

Universell einsetzbar

Für den D120 spricht, dass in ihm eigentlich viele andere Würfel gleich mit drin stecken - es ist der wohl universellste Würfel, den es gibt. Er kann Würfel mit 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 und 60 Seitenflächen ersetzen, die es nicht einmal alle gibt. Man muss dabei nur die mit dem D120 geworfene Augenzahl durch die richtige Zahl teilen und das Ergebnis auf die nächstgrößere ganze Zahl aufrunden.

Für Segerman ist daher klar: "Könnte ich nur einen einzigen Würfel mit auf eine einsame Insel nehmen, ich würde den D120 nehmen."



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