Rätsel der Woche Duell um Gummibärchen

Paul und Paula spielen um Gummibärchen. Ihr Zahlenratespiel scheint beiden gleich große Gewinnchancen zu bieten. Oder gibt es vielleicht doch eine Strategie, die einem Spieler einen Vorteil verschafft?

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Von und (Grafik)


Zwei Menschen und ein großer Haufen Gummibärchen. Was kann da schon schiefgehen? So einiges. In unserem Fall wollen sowohl Paul als auch Paula so viele Gummibärchen wie möglich davon haben. Damit es keinen Streit gibt, haben sich die beiden ein Spiel ausgedacht, das die Verteilung der Gummibärchen regelt.

Paula sucht sich zwei beliebige ganze Zahlen, etwa 288 und -33, und schreibt diese auf je einen Zettel. Einzige Bedingung dabei: Die Zahlen müssen verschieden sein. Sie legt die beiden Zettel mit der Rückseite nach oben auf den Tisch. Paul kann die Zahlen also nicht sehen.

Dann dreht Paul einen der beiden Zettel um und sieht somit eine der von Paula gewählten Zahlen. Paul muss sich nun entscheiden: Ist diese Zahl größer als die noch nicht aufgedeckte Zahl? Oder ist sie kleiner? Liegt er richtig, bekommt er ein Gummibärchen. Liegt er falsch, darf sich Paula eins nehmen.

Paul könnte jedes Mal eine Münze werfen und bei Kopf sagen: "Die aufgedeckte Zahl ist größer". Und bei Zahl: "Die Zahl ist kleiner." Dann hätte er genauso große Chancen auf den Gewinn eines Gummibärchens wie Paula.

Aber vielleicht gibt es ja eine Strategie, mit der Paul sich einen Vorteil verschaffen könnte? Was meinen Sie?



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Seite 1
unglaeubig 12.01.2019
1. Die Lösung ist nicht schlüssig.
Rechnen sie mir bitte mathematisch vor, wie dieses Vorgehen einen Vorteil bringen könnte, dann glaube ich es.
spon-facebook-716767602 12.01.2019
2. Paulas Reaktion
Paula nimmt also die Zahlen n, n+1. Das heißt Paul müsst mit seeiner Wahl genau n treffen, damit ihm seine Strtegie einen Vorteil bringt. Die Wahrscheinlichkeit dafür geht bei unendlich vielen ganzen Zahlen gegen Null.
nikokaush 12.01.2019
3. Zweifel an der Lösung
Sofern die gewählten Zahlen wirklich aus dem gesamten Bereich der ganzen Zahlen gewählt werden, ist die Wahrscheinlichkeit, das die zuvor von Paul aufgeschriebene Zahl von 101,5 (oder jede andere) zwischen Paulas Zahlen liegt = 1 durch unendlich, womit Paul keinen Vorteil mehr hätte. Dass die tatsächliche Wahrscheinlich größer als 1 durch unendlich ist, liegt nur daran, dass Paulas Zahlen bestenfalls extrem groß/klein sein werden, aber niemals wirklich alle Ganzen Zahlen gleichberechtigt berücksichtigen können. Um dieses zu seinem Vorteil zu Nutzen braucht Paul sich jedoch keine Zahl vorher aufzuschreiben, sondern kann die "menschliche Begrenzung auf vertraute bzw. vorstellbare Zahlen" viel effizienter bewerkstelligen, wenn er sich die erste von Paulas Zahlen ansieht und intuitiv "rät", ob die zweite Zahl wohl größer oder kleiner sein mag. Somit hat Paul zwar einen gewissen Vorteil, jedoch ist dies kein mathematischer Vorteil, sondern einen Informationsvorteil, da er mit dem aufgedeckten Zahl eine Information enthält, die er psychologisch/intuitiv auswerten kann.
bumbu 12.01.2019
4. Meiner Meinung nach ist die Lösung falsch bzw. sinnlos,
Denn wenn Paula tatsächlich zwei beliebige ganze Zahlen währen kann, ist Pauls Chance, daß eine von ihm vorher gewählte Zahl dazwischen liegt, exakt Null. Das liegt daran, daß es unendlich viele ganze Zahlen gibt, und nur endlich viele ins Intervall passen. Andererseits gibt es keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Paula nützen könnte, um „beliebige ganze Zahlen“ zu generieren (St-Peterburg-Lotterie). So gesehen hat Paul tatsächlich eine Chance, wenn er Paulas Wahrscheinlichkeitsverteilung erraten kann. Das gehört aber eher in die Psychologie als in die Mathematik. Und Paula kann den Vorteil weitgehend zunichte machen, indem sie immer Zahlenpaare der Form (n,n+1) wählt. Sorry, not convinced.
mathematician 12.01.2019
5. Unabhängige Ereignisse
Nennen wir die von Paul gewählte Zahl ?k?. Z.B. k = 0. Die aufgedeckte Zahl sei ?a?, die nicht aufgedeckte ?n?. Nehmen wir an, dass ?a?, ?n? und ?k? bedingt unabhängig voneinander gewählt werden (Bedingung, dass a ungleich n). Falls a > k, verliert Paul, falls n > a. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass n> a, gegeben a > k ist dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit von n> a, da die Ereignisse a> k und n > a bedingt unabhängig sind. Und die Wahrscheinlichkeit von n > a ist 50%. Also hat Paul keinen Vorteil. Die anderen Fälle sind identisch.
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