Rätsel der Woche Die abgestumpfte Pyramide

Von einer dreieckigen Pyramide werden vier Ecken abgeschnitten. Übrig bleibt ein Körper mit sechs Ecken. Wie groß ist sein Volumen im Vergleich zu dem der Pyramide?

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Von und (Grafik)


Wenn Sie auf größtmögliche Symmetrie stehen, sind Sie sicher ein großer Freund platonischer Körper. Die Bezeichnung geht auf den griechischen Philosophen Platon zurück. Ein platonischer Körper hat als Seitenflächen identisch große, regelmäßige Vielecke. Und an jeder Ecke stoßen gleich viele Kanten zusammen. Beispiele sind der Würfel oder der Dodekaeder, der aus zwölf zusammengesetzten Fünfecken besteht.

In diesem Rätsel geht es um den einfachsten platonischen Körper - das Tetraeder. Das ist eine dreieckige Pyramide, deren vier Seitenflächen sämtlich gleichseitige Dreiecke sind.

Von einem solchen Tetraeder wird an jeder seiner vier Ecken ein kleinerer Tetraeder abgeschnitten. Die Kantenlänger dieser vier kleinen Tetraeder ist genau halb so lang wie beim ursprünglichen Tetraeder.

Die folgende interaktive Animation zeigt den entstandenen Körper - benutzen Sie Maus oder Finger zum Drehen oder Zoomen!

Durch das Abschneiden entsteht übrigens ein anderer platonischer Körper - ein Achtflächner, auch Oktaeder genannt. In der Animation ist der Körper rot gefärbt. Seine Oberfläche besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken.

Welchen Anteil hat das Volumen dieses Oktaeders am Volumen des ursprünglichen Tetraeders?

Hinweis: Versuchen Sie, die Aufgabe ganz ohne komplizierte Formeln zu lösen!

insgesamt 91 Beiträge
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rotella 04.02.2018
1. Halbes Volumen
Jeder abgeschnittene Tetraeder ist in allen drei Dimensionen um 50% geschrumpft. hat also 1/2*1/2*1/2 = 1/8 des Volumens. Vier werden abgeschnitten 4/8 = 1/2 also fällt die Hälfte des Volumens weg und es bleibt die andere Hälfte als Restvolumen. Ich habe noch eine schöne Aufgabe zum Thema Wahrscheinlichkeiten, die deutlich kniffeliger als die einfache Frage von letzter Woche ist. Poste ich morgen, heute soll es ja um diese leider ebenfalls recht simple Tetraederfrage gehen...
gullliver 04.02.2018
2. 3 Ecken ... und 4 schneidet man ab.
Gutes Rätsel. In einem Raum befinden sich 15 Personen. 20 gehen raus und 5 kommen danach wieder rein. Nun ist der Raum leer.
adrianhb 04.02.2018
3.
"Von einer dreieckigen Pyramide werden vier Ecken abgeschnitten" - klingt eigenartig ;)
WernerGg 04.02.2018
4. Formel
Ob die SPON-Lösung einfacher ist als die Anwendung der Volumenformel, dürfte Geschmackssache sein. Das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders mit Seitenlänge a ist: V = a^3*sqrt(2)/12. Die kleinen abgeschnittenen Tetraeder haben also jeder das Volumen: Vk = (a/2(^3*sqrt(2)/12. Das gesuchte Verhältnis ist dann: (V-4*Vk)/V. Darin kürzt sich alles, und es bleibt: (1-4/8) = 1/2.
WernerGg 04.02.2018
5. @guliver - 3 Ecken
Zitat von gullliverGutes Rätsel. In einem Raum befinden sich 15 Personen. 20 gehen raus und 5 kommen danach wieder rein. Nun ist der Raum leer.
3 Ecken ... und 4 schneidet man ab. Muss man das verstehen? Ein Tetraeder hat vier Ecken, nicht drei.
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