Rätsel der Woche Die fantastischen Vieren

Sie nehmen eine natürliche Zahl und bilden ihr Quadrat. Können die letzten Ziffern dieser Quadratzahl sämtlich Vieren sein? Hier geht es zur Lösung.

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Von und (Grafik)


Quadratzahlen haben Menschen seit jeher fasziniert. Schon die alten Babylonier notierten sogenannte pythagoreische Zahlentripel auf Tontafeln. Diese natürlichen Zahlen a, b, c erfüllen die Gleichung a2 + b2 = c2. Sie sind zugleich Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Beispiele sind 32 + 42 = 52 und 202 + 212 = 292. Auch mit mehr als drei Quadratzahlen sind verblüffende Kombinationen möglich - etwa 102 + 112 + 122 = 132 + 142.

In der heutigen Aufgabe geht es jedoch nicht um Summen aus Quadratzahlen, sondern um ihre Ziffern:

Gegeben ist eine beliebige natürliche Zahl. Sie bilden das Quadrat dieser Zahl. Kann die letzte Ziffer oder können die letzten Ziffern dieser Zahl gleich 4 sein?

Offensichtlich gibt es Lösungen, wenn nur die letzte Ziffer eine 4 sein soll: Eine lautet 2, denn 2*2=4. Und auch zwei Vieren am Ende sind möglich - zum Beispiel 12*12 = 144.

Nun zur eigentlichen Frage: Wie oft kann die Ziffer 4 am Ende einer Quadratzahl auftauchen? Sind beliebig viele Vieren möglich? Oder gibt es eine Obergrenze bei der Anzahl? Wenn das zutrifft: Wo liegt diese Grenze?

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