Rätsel der Woche Die vererbten Goldmünzen

Ein alter Mann verteilt sein Erbe an die Söhne nach einem seltsamen Schlüssel. Trotzdem bekommt jeder Sohn gleich viele Münzen. Wie viele Söhne hat der Mann?

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Von und (Grafik)


Die Aufgabe dieser Woche ist schon Hunderte Jahre alt. Sie stammt aus einem Rechenbuch des byzantinischen Mathematikers Maximos Planudes, der von 1260 bis vermutlich 1310 lebte.

Ein kranker, alter Mann spürt, dass ihm nur noch wenige Stunden bleiben. Er möchte auf jeden Fall noch sein Erbe regeln, bevor er stirbt. Deshalb ruft er seine Söhne zusammen und sagt: "Ich verteile jetzt mein Geld. Jeder von euch soll gleich viel bekommen."

Dann gibt er dem ältesten Sohn eine der Goldmünzen und genau ein Siebentel der verbleibenden Münzen. Der zweitälteste Sohn bekommt zwei Münzen und exakt ein siebentel des Restes. Der drittälteste Sohn bekommt drei Münzen und genau ein Siebentel des Restes.

Der Mann hat die Goldstücke für den drittältesten Sohn gerade abgezählt, als er plötzlich stirbt. Bis dahin hatte er weder alle Goldstücke verteilt noch alle Söhne mit ihrem Erbe bedacht.

Wie viele Söhne hatte der Mann?

Hinweis: Eine Münze darf nicht geteilt werden.

insgesamt 44 Beiträge
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swandue 08.10.2017
1.
Der vierte Sohn kriegt vier Münzen und ein Siebtel vom Rest. Der fünfte Sohn kriegt fünf Münzen und ein Siebtel vom Rest. Der sechste Sohn kriegt den Rest. ;-)
roby1111 08.10.2017
2. Habs andersrum gelöst:
Da es irgenwann ja enden muss (und die Münzen nicht in Bruchteile geteilt werden sollen...), ist klar, das der letzte Sohn den Rest erhält. Dieser Rest muss aber zumindest durch 6 teilbar sein,, sonst könnte der eins davor nicht genau ein Siebtel für sich abzweigen können. Somit weiß man schon, das ALLE Söhne 6 Münzen oder ein Vielfaches davon erben werden. Ein Vielfaches scheidet aber aus, da der Veränderungsfaktor ja 1 je Sohn ist. Also erben alle Söhne 6 Münzen und der Anteil des Vorletzten ist 5+1 woraus sich folgern lässt, das der vorletzte Sohn der 5. Sohn ist und es somit 6 Söhne sind. 6x6 ist 36, und da fällt es dann auch schon wie Schuppen von den Augen ;o) q.e.d. wie der Lateiner zu sagen pflegte ;o)
permissiveactionlink 08.10.2017
3. Zwei Gleichungen
mit einer Unbekannten. Die Lösung, 36 Goldmünzen, findet man dann relativ leicht. Und damit die Anzahl der Söhne. Allerdings sollte man dann auch noch zeigen, dass das Verteilschema des alten Mannes auch wirklich bis zum letzten Sohn funktioniert, der ja dann sechs Münzen und ein Siebtel des Restes bekommt (der dann Null ist). Eine Lösung wurde zunächst nur für zwei Bestimmungsgleichungen gefunden. Man muss also strenggenommen noch in einer Probe klarstellen, dass das Verteilschema so auch für die nächsten vier Söhne (Gleichungen) funktioniert und auch ihnen je sechs Münzen als Erbe sichert.
id_mac 08.10.2017
4. Der Mann muss bereits dement gewesen sein...
Du hast 36 Münzen und sechs Söhne....komm alter Mann, so schwer ist das nicht. Oder war es ein letzter Scherz von ihm? Was wollte der alte Mann damit bezwecken? Ein Mysterium, was es wohl nie zu lösen gilt...
WernerGg 09.10.2017
5. Mit Rekursion
Die Bedingung gleicher Auszahlung an alle Söhne braucht man nicht. Sie ergibt sich automatisch, wenn man nur den Auszahlungsmechanismus und die Ganzzahligkeit der Auszahlungsbeträge, bzw. Restmünzen verwendet. Wenn wir zu Beginn die natürliche Zahl x(0) an Münzen haben und nach dem i-ten Sohn die restliche Anzahl x(i), dann ist der Verteilmechanismus durch folgende Rekursion beschrieben: x(i) = 6/7*(x(i-1)-i), i=1,2,…,s, wobei s die gesuchte Anzahl Söhne ist. (Hinweis: Das funktioniert auch im Sonderfall s=1 mit nur einer Münze. Da im Rätsel aber von wenigstens drei Söhnen die Rede ist, schließen wir diesen Fall im folgenden aus). Damit x(1)=6/7*(x(0)-1) ebenfalls eine natürliche Zahl (>0) wird, muss x(0)=7n+1 mit einem beliebigen natürlichen n>0 sein. Damit wird die Lösung unserer Rekursion: x(i) = 36 - 6i + 6^i/7^(i-1)*(n-5). Damit alle x(i) ganzzahlig werden, muss der letzte Term verschwinden, also n=5 sein. Damit haben wir als einzige Lösung - wie bei SPON: x(0)=36, x(i)=36-6i, und die Auszahlung x(i-1)-x(i)=6 an jeden Sohn. x(i) wird 0 für i=6. Wir haben also s=6 Söhne.
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