Tierpuzzle von Berliner Mathematiker Escher in 3D

Die Bilder von M.C. Escher faszinieren Menschen seit Jahrzehnten. Ein Berliner Mathematiker hat die raffinierten Muster des Künstlers jetzt in den Raum übersetzt - als dreidimensionales Tierpuzzle.

SPIEGEL ONLINE

Von


Mathematik und Kunst sind eng verwoben, in seiner schönsten Form kann man das in den Werken von M. C. Escher besichtigen. Besonders bekannt sind seine Darstellungen geometrisch unmöglicher Objekte. Der Niederländer war jedoch auch ein Experte für Muster und Symmetrien. Er studierte Ornamente an der Alhambra und entwickelte später sogenannte Parkettierungen, bei denen ineinander verschlungene Schwäne, Reiter oder Fische eine Fläche vollständig bedecken.

Das Konzept dahinter hat der Berliner Mathematiker Alexander Gürten nun in die dritte Dimension überführt. Der 39-Jährige hat eine Stierfigur entworfen, mit der sich der Raum komplett ausfüllen lässt. Mit Bausteinen schafft das jedes Kind, es stapelt sie einfach Stein an Stein. Gürtens Stiere sind komplizierter und raffinierter: Steckt man sie richtig ineinander, gibt es keinerlei Lücken zwischen ihnen. Für seine Idee wurde er kürzlich beim Wettbewerb Math Creations ausgezeichnet.

Es war nicht einfach, Formen zu finden, die so funktionieren wie Eschers Muster, berichtet Gürten. "Ich musste nicht nur wie ein Mathematiker denken, sondern zugleich immer auch ein wenig wie ein Ingenieur." Denn nicht alle Formen, die am Computer funktionierten, ließen sich dann in der Realität auch zusammenstecken. Eine Verdickung an einem Bein kann beispielsweise Probleme machen, weil sie nicht durch eine schmalere Lücke bei der Nachbarfigur passt.

Fotostrecke

15  Bilder
Fotos des Escher-Stiers aus Berlin: Der Escher-Stier aus Berlin

Seine Ausbildung prädestinierte den Berliner für das Escher-Projekt: Er hat nicht nur ein Diplom in Mathematik gemacht, sondern auch einen Bachelor-Abschluss als Designer. Gürten zeichnet auch Comics. Und so kam er auf das Motiv des Stiers. "Ich hatte schon mal mehrere zweidimensionale Escher-Stiere entworfen und bin dann für die 3D-Version einfach dabei geblieben."

Er nutzte beim Entwurf der Figur das Prinzip, das auch einigen Escher-Mustern zugrunde liegt. In zwei Dimensionen ist es nicht einmal besonders kompliziert: Man kachelt die Fläche mit identisch geformten Fliesen.

Den Anfang bilden Quadrate, welche die Ebene komplett abdecken. Im nächsten Schritt verändert man alle Quadrate gleichzeitig auf dieselbe Weise. Fügt man zum Beispiel rechts unten eine Beule nach innen ein, bekommt die benachbarte Kachel daneben eine Beule nach außen, sodass die Fläche weiterhin vollständig bedeckt bleibt.

Die folgenden Grafiken zeigen, wie aus neun Quadraten in mehreren Schritten neun Vögel werden, welche lückenlos ineinanderpassen so wie in den berühmten Zeichnungen Eschers. Klicken beziehungsweise wischen Sie sich durch die Bilder!

Auf ganz ähnliche Weise wollte Gürten sein Stierpuzzle entwerfen. Den Anfang bildeten Würfel oder identische Quader, die den Raum vollständig ausfüllten - analog zu Quadraten in der Ebene. Dann sollten die Quader genau wie die Quadrate Schritt für Schritt verformt werden, bis daraus beispielsweise Tierfiguren entstehen.

"Das war ziemlich schwer, weil man die Vorstellungskraft dahin bringen muss, alle Verschiebungen, die man vornimmt, an mehreren Stellen gleichzeitig zu denken", berichtet der Designer.

Schließlich ging er einen Zwischenschritt über Figuren aus Holz. "So konnte ich die drei Dimensionen durch drei Lagen darstellen. Das hat das Design wesentlich vereinfacht." Die Stiere aus Holz verfügen über Beine und Ohren und lassen sich wie gewünscht ohne Lücken ineinanderstecken. In den Zwischenraum zwischen Ohren und Oberkörper passen genau die Beine des darüber gesteckten Stiers. Doch die Figuren waren an den Seiten noch völlig eben - siehe folgendes Foto.

Dreilagige Stierfiguren aus Holz
Aleksandra Medianikova

Dreilagige Stierfiguren aus Holz

Den Kopf und den Bauch der Holzstiere verfeinerte Gürten anschließend mit einer 3D-Software, so dass die Figur dem Körper echter Tiere deutlich näherkam. Beim Zusammenstecken drehte der Mathematiker benachbarte Lagen der Stiere immer um jeweils 180 Grad. Dadurch bekam er mehr Spielraum beim Design.

Die folgende interaktive Animation zeigt den fertigen Escher-Stier. Sie können die Figur mit Maus beziehungsweise Finger drehen und mit dem Mausrad auch hinein- oder herauszoomen.

Wie sich die einzelnen Figuren ineinanderfügen, sodass keine Lücke zwischen ihnen bleibt, zeigt das folgendes Video:

SPIEGEL ONLINE

"Konvexe und konkave Formen zusammenbringen - das ist die große Herausforderung der dreidimensionalen Kachelung des Raumes", erklärt Gürten.

An der Escher-artigen Kachelung des Raumes hatte sich bislang kaum jemand probiert. "Ich habe im Internet recherchiert und eigentlich nur die Software des Amerikaners Mark Howison gefunden", berichtet Gürten. In Howisons Arbeit aus dem Jahr 2009 sind auch Fotos von dreidimensionalen Vogelfiguren zu sehen, die sich perfekt ineinanderfügen.

Inzwischen sind 3D-Drucker so günstig, dass sich theoretisch jeder seinen Escher als 3D-Puzzle ausdrucken kann - vorausgesetzt er verfügt über die passende Form als Datei und etwas Geld. Vom Preisgeld des Wettbewerbs Math Creations hat Gürten mittlerweile 21 Stiere in den Farben Schwarz und Weiß hergestellt.

"Zusammengesteckt halten die Stiere nicht perfekt zusammen, da macht die Schwerkraft einen Strich durch die Rechnung", berichtet Gürten. Für die Fotos habe er deshalb mit etwas Kleber nachhelfen müssen.

Sein 3D-Puzzle ist bislang vor allem eine raffinierte geometrische Spielerei. Doch der Designer würde die Stiere gern als Steckfiguren in Serie produzieren und als Spielzeug verkaufen. Dann wären Stückpreise weit unterhalb von 25 Euro möglich, die bislang für einen Ausdruck mit einem 3D-Druckers fällig werden. Gürten denkt auch über eine Crowdfunding-Kampagne nach.

Zudem tüftelt er bereits an einem Nachfolger des Escher-Stiers. "Ich habe ein neues Tier entworfen, deutlich simpler als die Stiere, dafür niedlicher." Erste Tests damit hätten gut geklappt. Das Design des Escher-Wesens Nummer zwei bleibt aber vorerst geheim.

Mehr zum Thema


© SPIEGEL ONLINE 2017
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung der SPIEGELnet GmbH


TOP
Die Homepage wurde aktualisiert. Jetzt aufrufen.
Hinweis nicht mehr anzeigen.