Fußball und Physik: Wann ist das Leder im Tor?

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Ein weiteres Problem mit der Regel ergibt sich, wenn der Ball nur kurz hinter der Linie aufprallt und dann aufgrund eines Dralls aus dem Tor springt. Dies ist beim Wembley-Tor und auch bei den beiden entscheidenden Elfmetern des WM-Finales 2006 der Fall gewesen. Wir fragen uns nun, wie lange der Aufprall des Balls auf dem Boden überhaupt dauert. Dies ist immer dann wichtig, wenn er nur knapp hinter der Linie auf den Rasen springt und die Schieds- und Linienrichter dann blitzschnell entscheiden müssen, ob er "drin" war.

Wir versuchen daher jetzt die Kontaktzeit t_Aufprall abzuschätzen. Wenn der Ball auf den Boden prallt, wird er dabei eingedrückt. Im Ball selbst muss laut DFB- und Fifa-Regeln ein Überdruck zwischen 0,6 und 1,1 Atmosphären herrschen. Wir gehen bei den folgenden Betrachtungen von einem Druck von p = 0,8 bar im Ball aus. Wenn die Kontaktfläche des Balls mit dem Boden nun mit A bezeichnet wird und wir bedenken, dass Druck = Kraft pro Fläche ist, dann erhalten wir einerseits für die auf den Ball wirkende Kraft:

F = p × A.

Andererseits lautet das 2. Newtonsche-Axiom Kraft = Masse × Beschleunigung, wobei Letztere eine Geschwindigkeitsänderung pro Zeit ist. In der halben Kontaktzeit t_Aufprall / 2 ändert sich die Geschwindigkeit vom Ausgangswert v₀ auf null. Weil die Geschwindigkeit das Produkt aus Beschleunigung und Zeit ist. gilt ist die Beschleunigung v₀/(t_Aufprall/2). Dann ergibt sich also für die auf den Fußball der Masse m wirkende Kraft:

F = m × v₀/(t_Aufprall/2).

Im Prinzip könnten wir so schon die Aufprallzeit eines Fußballs auf dem Rasen berechnen. Wir müssen die beiden Kräfte nur gleichsetzen und nach der Aufprallzeit umstellen, was die Formel t_Aufprall = 2 × m × v₀ / ( p × A ) ergibt.

Auf Intuition verlassen

Allerdings gibt es noch das Problem, dass die Kontaktfläche A in der Regel nur schwer zu bestimmen ist. Auch wird es so sein, dass die Aufprallgeschwindigkeit v₀ mit der Größe der Kontaktfläche A zusammenhängt. Wenn der Ball mit einer größeren Geschwindigkeit auf den Boden trifft, wird er stärker zusammengedrückt, und die Kontaktfläche wird somit auch größer. Wir sind also noch nicht ganz fertig.

Zunächst kann die Anfangsgeschwindigkeit v₀ auch durch die senkrechte Strecke s, um die der Ball eingedrückt wird, und die Aufprallzeit t_Aufprall ausgedrückt werden: v₀ = 4 × s / t_Aufprall. Dies ergibt sich aus v₀ = a × t und s = a/2 × t², sofern man für t = t_Aufprall/2 einsetzt.

Wenn die senkrecht eingedrückte Strecke s des Balls klein ist, dann ergeben geometrische Überlegungen, dass die Aufprallfläche durch den Durchmesser d eines Fußballs und die Strecke s sehr einfach bestimmt ist: A = Pi × d × s (Pi ist die Kreiszahl).

Wie bereits erwähnt, muss ein Fußball laut Regelwerk einen Umfang zwischen 68 und 70 Zentimetern haben, was einen Durchmesser von etwa d = 22 cm ergibt. Für den Druck setzen wir p = 0,8 bar = 0,8 × 10⁵ N/m², und die Masse eines Fußballs darf zwischen 410 und 450 Gramm liegen. Hier nehmen wir für die Berechnungen den maximalen Wert m = 450 Gramm an. Mit diesen Zahlen ergibt sich für die Kontaktzeit eines Fußballs mit dem Rasen ein Wert von t_Aufprall ~ 0,008 Sekunden.

Der Aufprall eines Fußballs dauert also weniger als eine Hundertstelsekunde! Nun ist es aber so, dass im besten Fall etwa fünf Hundertstelsekunden vergehen müssen, bis wir einen Seheindruck im Gehirn vollständig verarbeitet haben. Dies ist mehr als fünfmal länger als die Kontaktzeit des Balls mit dem Boden. Mit anderen Worten: Ein Schieds- oder Linienrichter kann gar nicht genau erkennen, ob der Ball wirklich knapp vor oder hinter der Linie aufprallt, da die Aufprallzeit deutlich kürzer als seine Wahrnehmungszeit ist! Er kann sich in solchen Fällen daher nur auf seine Erfahrung und Intuition verlassen.

Dies sollte man immer berücksichtigen, wenn strittige Torszenen in Superzeitlupe von Reportern nachträglich seziert werden. Bedenkt man also, dass der Schiedsrichter viele strittige Szenen in Wirklichkeit gar nicht wahrnehmen kann, weil sie fünfmal schneller ablaufen, als sein Gehirn Seheindrücke verarbeitet, gibt es sogar erstaunlich wenige Fehlentscheidungen in der Fußball-Bundesliga.

Ergänzt wird die einfache Regel 10 des DFB, die wir am Anfang dieses Abschnitts zitiert hatten, übrigens durch die folgende Anweisung für den Schiedsrichter: "Bestehen Zweifel, ob der Ball vollständig im Tor war, soll der Schiedsrichter das Spiel weiterlaufen lassen." Unsere Ausführungen haben gezeigt, dass eigentlich immer Zweifel bestehen, weil es häufig recht kompliziert - wenn nicht sogar unmöglich - sein kann zu entscheiden, ob der Ball wirklich hinter der Linie war.

Das Wembley-Tor hätte also nie gegeben werden dürfen, wenn der Schweizer Schiedsrichter Gottfried Dienst den Zusatz zur Regel 10 im Kopf gehabt hätte. Er tat aber trotzdem etwas Regelkonformes. Laut DFB- und Fifa-Regeln gilt nämlich: "Ist der Schiedsrichter über eine Entscheidung im Zweifel, so befragt er den Linienrichter, ehe er die Entscheidung trifft." Gottfried Dienst fragte den sowjetischen Linienrichter Tofik Bährämov, der den Ball aus etwa 50 Metern Entfernung klar im Tor gesehen hatte …

Dieser Text ist ein Auszug aus Metin Tolans Buch "So werden wir Weltmeister - Die Physik des Fußballspiels". Mit freundlicher Genehmigung des Piper Verlags München.

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• 1. Teil: Wann ist das Leder im Tor?
• 2. Teil: Springende Bälle überfordern das Gehirn