Geometrie Forscher entdecken neue Körperklasse

Seit der Antike untersuchen Mathematiker geometrische Körper - spektakuläre Entdeckungen liegen weit zurück. Nun verblüffen zwei Forscher mit einer neuen Art bislang unbekannter Polyeder.

Von


Die Welt der regelmäßigen Polyeder erscheint überschaubar. Es gibt genau fünf sogenannte Platonische Körper, darunter Würfel, Tetraeder und Oktaeder. Jeder dieser Körper besitzt als Seitenflächen ausschließlich regelmäßige Dreiecke, Vierecke oder Fünfecke.

Weniger bekannt sind die Archimedischen Körper, bei denen analog zu den Platonischen alle Kanten gleich lang sind. Archimedische Körper sind jedoch aus unterschiedlichen Seitenflächen zusammengesetzt. Zum Beispiel aus Sechsecken und Fünfecken wie beim sogenannten Fußballkörper - sein offizieller Name lautet Ikosaederstumpf.

Nun berichten zwei Wissenschaftler von der University of California in Los Angeles über eine neue Klasse regulärer Polyeder. Stan Schein und James Maurice Gayed nennen sie Goldberg-Polyeder - in Anlehnung an den Mathematiker Michael Goldberg. Dieser hatte 1930 eine Methode zur Konstruktion räumlicher Gitter entwickelt, welche die Forscher nun aufgegriffen und weiterentwickelt haben.

Auf den ersten Blick sehen die Goldberg-Polyeder aus wie Bälle, deren Oberfläche von einem Gitter Dutzender regelmäßiger Sechsecke gebildet wird. In der Tat sind alle Kanten dieser Körper gleich lang. Doch die Sechsecke sind nicht regelmäßig - ihre Innenwinkel variieren vielmehr. Statt sechsmal 120 Grad wie beim regelmäßigen Sechseck sind sie beispielsweise 124,9 Grad (an vier Ecken) und 110,2 Grad (an zwei Ecken) groß. Zudem sind in das Gitter immer wieder auch regelmäßige Dreiecke, Vierecke oder Fünfecke eingebaut.

Konvex und symmetrisch - aber variierende Winkel

Es handle sich aber in jedem Fall um konvexe Körper, schreiben Schein und Gayed im Fachblatt "Proceedings of the National Academy of Sciences". Zudem besäßen die Goldberg-Polyeder auch die von den Platonischen Körpern Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder bekannte Symmetrie. Durch Drehungen, Spiegelungen und Verschiebung lässt sich jeder Körper mit sich selbst in Deckung bringen.

Die Konstruktion der Goldberg-Polyeder ist nicht nicht ganz einfach. Ausgangspunkt sind Tetraeder, Oktaeder oder Ikosader - auch Vier-, Acht- und Zwanzigflächner genannt. Diese drei Platonischen Körper bestehen ausschließlich aus regelmäßigen Dreiecken. Auf jedes der Dreiecke wird ein Gitter gezeichnet, das aus regelmäßigen Sechsecken besteht. Anschließend wird der Platonische Körper quasi bearbeitet. "Man schneidet Ecken und Kanten ab - das ist das übliche Verfahren, um neue Körper zu konstruieren", erklärt Konrad Polthier von der Freien Universität Berlin.

Bei der Konstruktion der Goldberg-Polyeder entstehen zunächst Sechsecke, die nicht eben sind. Durch geschicktes Verschieben der Gitterpunkte werden daraus schließlich ebene Sechsecke mit einheitlicher Seiten- beziehungsweise Kantenlänge. Regelmäßig sind die Sechsecke jedoch nicht, weil ihre Innenwinkel unterschiedlich groß sind. Aus Tetraeder und Oktaeder lässt sich je genau ein Goldberg-Polyeder konstruieren - aus dem Ikosaeder sind es beliebig viele.

Das Ganze erscheint zunächst wie eine abstrakte Spielerei. Doch Polyeder, die sich aus regelmäßigen und auch aus unregelmäßigen n-Ecken zusammensetzen, wurden schon mehrfach in der Natur entdeckt - beispielsweise bei Viren oder in organischen Molekülen.

Am bekanntesten ist wohl das sogenannte Buckminsterfulleren C60, benannt nach den Kuppelbauten des Architekten Buckminster Fuller. Es besteht aus 60 Kohlenstoffatomen, die 20 Sechsecke und zwölf Fünfecke bilden. Wegen dieser Fußballstruktur wird es auch Fußballmolekül oder Buckyball genannt. Das Buckminsterfulleren C60 wurde mehrfach im Labor synthetisiert. Im Jahr 2000 stellten Freiburger Forscher sogar eine Miniversion bestehend aus nur 20 Kohlenstoffatomen her.

Zu den nun entdeckten Goldberg-Polyedern ist offenbar bislang keine Entsprechung in der Natur bekannt. Schein und Gayed von der University of California sehen den Wert ihrer Arbeit aber auch woanders: Die genutzten Methoden könnten zur Entdeckung weiterer Klassen konvexer Polyeder mit fester Kantenlänge führen, prophezeien sie.

Dass die Goldberg-Polyeder erst im 21. Jahrhundert entdeckt wurden - darüber staunen die beiden Forscher selbst ein wenig. Es könne daran liegen, dass die von Goldberg entwickelte Methode erst ein paar Jahrzehnte alt sei, schreibt Schein in einer E-Mail an SPIEGEL ONLINE. "Möglicherweise hat sich aber auch einfach niemand dafür interessiert."

Forum - Diskutieren Sie über diesen Artikel
insgesamt 44 Beiträge
Alle Kommentare öffnen
Seite 1
TobyOrNotToby 14.02.2014
1. Herr Schein hat ganz Recht....
---Zitat--- ...schreibt Schein in einer E-Mail an SPIEGEL ONLINE. "Möglicherweise hat sich aber auch einfach niemand dafür interessiert." ---Zitatende--- Warum wohl? Ich bin kein Mathematiker, aber was ist so spektakulär daran, eine Unmenge an regelmässigen und unregelmässigen Flächen zusammenzunageln um einen Körper daraus zu machen?
rolie 14.02.2014
2. Das erste Bild....
... zeigt aber m.E. den ganz normalen Fußballkörper und keinen Goldberg-Polyeder, entgegen der Bildunterschrift.
orthos 14.02.2014
3. Ein Link zu Wikipedia?
Ein Link zu Wikipedia? Im Ernst?
dermudder 14.02.2014
4.
Mal raten: Das ist ihnen beim golfen eingefallen.
maik.junghanss 14.02.2014
5. ...
Der letzte Satz beschreibt wie spannend dieses Thema ist...
Alle Kommentare öffnen
Seite 1

© SPIEGEL ONLINE 2014
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung der SPIEGELnet GmbH


TOP
Die Homepage wurde aktualisiert. Jetzt aufrufen.
Hinweis nicht mehr anzeigen.