60 Jahre altes Farbenrätsel Biologe verblüfft Mathematiker mit Computer-Beweis

Seit 60 Jahren knobeln Mathematiker an einem Geometrieproblem, bei dem es um die Färbung einer Ebene geht. Nun ist ein Biologe der Lösung ein großes Stück nähergekommen.

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Das Klischee eines Mathematikers erfüllt Aubrey de Grey schon mal ganz gut. Der 55-jährige Brite trägt einen langen Rauschebart und erinnert damit ein wenig an den russischen Mathematiker Gregorij Perelman.

Doch de Grey ist kein Mathematiker, sondern Biologe. Sein Spezialgebiet ist Altersforschung. Er provozierte mit der These, dass Menschen bald 1000 Jahre alt werden können. 2003 rief de Grey den Methusalem-Maus-Preis ins Leben. Erklärtes Ziel dabei ist, die Lebensdauer von Mäusen zu verlängern.

Der große Durchbruch beim Aufhalten der Alterungsprozesse ist de Grey bislang nicht geglückt. Dafür sorgt er nun aber unter Mathematikern für Aufsehen. Denn der Biologe hat ein 60 Jahre altes Geometrieproblem der Lösung ein ganzes Stück nähergebracht.

Streichholz fallen lassen

Auf dem Portal arxiv.org hat er eine Teillösung für das sogenannte Hadwiger-Nelson-Problem hochgeladen, die als wichtiger Meilenstein gesehen wird. Zwar ist sein Beweis noch nicht in einem Fachjournal erschienen und damit auch noch nicht offiziell begutachtet. De Grey verweist in seiner Veröffentlichung aber auf mehrere Mathematiker, die seine Arbeit intensiv begleitet haben. Zudem werden auf der Webseite mathworld.wolfram.com bereits Verbesserungen seines Beweises diskutiert.

Das Hadwiger-Nelson-Problem stammt aus der sogenannten Graphentheorie. Es geht darin um die Färbung einer Ebene. Stellen Sie sich vor, Sie lassen ein Streichholz zufällig auf ein großes Stück Papier fallen, das bunt bemalt ist.

Wenn es auf dem Papier liegt, schauen Sie, welche Farben unter den beiden Enden des Streichholzes zu finden sind. Es kann sich um zwei verschiedene Farben handeln - aber es könnte auch dieselbe Farbe sein.

Vier Farben nun als Lösung ausgeschlossen

Biologe Aubrey de Grey
SENS Foundation

Biologe Aubrey de Grey

Die Frage lautet dann: Wie viele verschiedene Farben benötigt man mindestens zur Färbung des Papiers, damit die beiden Enden des Streichholzes immer auf unterschiedlichen Farben zum Liegen kommen?

Offensichtlich darf eine einfarbige Fläche auf dem Papier nicht breiter sein als das Streichholz lang ist. Ansonsten könnte das Hölzchen ja vollständig im Innern dieser Fläche liegen. Außerdem müssen die Ränder gleichfarbiger Flächen so großen Abstand voneinander haben, dass das Streichholz diesen nicht überbrücken kann. Wie aber die farbigen Flächen geformt sind, ob quadratisch, dreieckig oder unregelmäßig - das ist völlig offen.

Das erstmals in den Fünfzigerjahren formulierte Problem ist bis heute nicht gelöst. Immerhin konnten Mathematiker aber zeigen, dass man mindestens vier und höchstens sieben Farben braucht. Der Biologe de Grey hat mit seiner zwölfseitigen Arbeit nun gezeigt, dass es mit vier Farben nicht klappt - die Lösung also nur fünf, sechs oder sieben lauten kann.

Auf den ersten Blick scheint das Hadwiger-Nelson-Problem verwandt zu sein mit dem deutlich bekannteren Vier-Farben-Satz. Dieser besagt, dass vier Farben ausreichen, um eine beliebig aufgebaute zweidimensionale Landkarte einzufärben, so dass aneinandergrenzende Länder stets unterschiedlich gefärbt sind.

Beweis für sieben Farben

Doch das Hadwiger-Nelson-Problem ist etwas anders gelagert. Der Beweis, dass sieben Farben zur Färbung der Ebene ausreichen, ist leicht zu führen. Ausgangspunkt ist eine mit Sechsecken parkettierte Ebene.

Wählt man ein Sechseck willkürlich aus und weist ihm eine Farbe zu, kann man die sechs Sechsecke, die das ausgewählte Sechseck umschließen, mit sechs anderen Farben einfärben. Diese Färbung setzt man dann als Muster auch bei den benachbarten Sechsecken fort - siehe folgende Zeichnung.

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Ein Streichholz, das minimal länger als die doppelte Seitenlänge der Sechsecke ist, wird auf dieser Ebene stets so liegen, dass sich die beiden Enden über unterschiedlichen Farben befinden.

Warum ist das so? Das hier rot gezeichnete Streichholz ist länger als die größte Breite des Sechsecks - aber zugleich kürzer als der kleinste Abstand zwischen zwei gleichfarbigen Sechsecken. Wer es nachrechnen will: Dieser Abstand beträgt Wurzel(7) = 2,64… mal die Seitenlänge des Achtecks.

Streichholz (rot) ist doppelt so lang wie Sechseckseite
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Streichholz (rot) ist doppelt so lang wie Sechseckseite

Und mit vier Farben?

Nimmt man die regelmäßigen Sechsecke als Basis, gelingt eine Färbung mit vier Farben hingegen nicht, wie folgende Zeichnung belegt. Zwar lässt sich mit vier Farben vermeiden, dass benachbarte Sechsecke gleich gefärbt sind (wie es auch der Vier-Farben-Satz besagt).

Doch ein Streichholz, das doppelt so lang ist wie die Seitenlänge der Sechsecke, lässt sich so auf der Ebene platzieren, dass beide Enden über derselben Farbe liegen. In der folgenden Zeichnung ist dieses Streichholz rot dargestellt:

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Ein Beweis dafür, dass das Hadwiger-Nelson-Problem mit vier Farben nicht lösbar ist, ist das freilich nicht. Denn wir können die Ebene ja auch ganz anders aufteilen als in gleichseitige Sechsecke.

Hobbymathematiker im Glück

Der Biologe de Grey hat das Kunststück geschafft, die Farbanzahl vier ganz generell auszuschließen - also für beliebige Färbungen der Ebene. Für seinen Beweis entwarf er ein Gebilde aus 1581 Punkten, die teils durch Geraden miteinander verbunden sind. Alle diese Verbindungen waren gleich lang - so lang wie das oben erwähnte Streichholz. Mit Computerhilfe konnte de Grey anschließend zeigen, dass sich diese 1581 Punkte nur dann wie gewünscht färben lassen, wenn mindestens fünf Farben zur Verfügung stehen.

Dass de Grey sich mit mathematischen Problemen beschäftigt, hängt mit seiner Liebe für das Brettspiel Othello zusammen, das vor allem in Japan viele Fans hat. De Grey spielte oft gegen befreundete Mathematiker - und die führten ihn irgendwann in die Welt der Graphentheorie ein, zu der auch das Hadwiger-Nelson-Problem gehört.

Über die Weihnachtsfeiertage war de Grey intensiver in die Materie eingestiegen und hatte dabei festgestellt, dass eine frühere Annahme von Mathematikern gar nicht stimmte. Dass ihm schließlich die Teillösung gelang, bezeichnete er selbst als "außergewöhnliches Glück".

insgesamt 26 Beiträge
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Seite 1
Newspeak 25.04.2018
1. ...
Der Artikel sollte vielleicht erwähnen dass de Greys ursprüngliche Lösung falsch war, aber eine richtige gefunden wurde, und inzwischen andere Mathematiker die Anzahl der Knoten des Graphen bedeutend verringern konnten. Siehe das Polymath Projekt dazu bzw. einen Beitrag auf quantamagazine.
hiko.fairbanks 26.04.2018
2. Weltbewegend
Ich weiß nicht, ob es nur mir so geht, oder ob ich nur besonders ignorant bin, aber mir will beim besten Willen kein praktischer Nutzen dieser Überlegung einfallen.
claro_que_si 26.04.2018
3. de Grey ist ein Informatiker, es ist also nicht soo erstaunlich
Man kann es bei Wikipedia oder auch in de Greys selbst verfasstem Lebenslauf bei der Sens-Stiftung nachlesen. Der Mann hat Informatik studiert und auch als Informatiker gearbeitet. Erst anschließend hat er sich als eine Art Privatgelehrter und Autodidakt der Biologie zu gewandt und beglückt die Öffentlichkeit als "biomedizinischer Gerontologe" mit schrägen Theorien und Gandalf-Charisma. Es ist also nicht sooo verwunderlich, dass ihn mathematische Beweise interessieren und dass er Computer-Simulationen programmieren kann.
ede-wolff 26.04.2018
4. Ignoranz
Zitat von hiko.fairbanksIch weiß nicht, ob es nur mir so geht, oder ob ich nur besonders ignorant bin, aber mir will beim besten Willen kein praktischer Nutzen dieser Überlegung einfallen.
Ich glaube, ich kann Ihre Frage beantworten: Ihre Ignoranz liegt nicht darin, dass Ihnen kein praktischer Nutzen einfällt, sondern darin, dass Sie glauben, damit die Sinnlosigkeit dieses Beweises oder der Fragestellung bewiesen zu haben. Als Faraday seine Versuche mit den Froschschenkeln im Gewitter machte, konnte sich damals auch niemand einen praktischen Nutzen vorstellen. Sie können sich ja mal überlegen, wie Ihr Leben ohne diese damaligen Versuche aussehen würde. Aber vielleicht können Sie sich das auch beim besten Willen nicht vorstellen.
Ayanami 26.04.2018
5. Blödsinn
Und wieder einmal erschafft die Mathematik Probleme, die wir ohne sie gar nicht hätten. Das hat mich schon in der Schule mehr als einmal mit den Augen rollen lassen. Respekt vor der geistigen Leistung des Herrn de Grey, leider wird diese völlig verschwendet.
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