Hund als Mathegenie: Pi mal Pfote

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Affen tun es, Papageien, Bienen und Ratten sowieso: Sie können zählen und sogar rechnen. Eine Fähigkeit, die ihnen Vorteile bringt, etwa bei der Futtersuche. Zwerghund Elvis scheint sogar Funktionen ableiten zu können - sein Herrchen, ein Mathelehrer, ist begeistert.

Evolution: Clevere Mathematiker aus dem Tierreich Fotos
Tim Pennings

Auch wenn mancher es kaum glauben wird: Schon Babys verfügen über Grundkenntnisse der Mengenlehre. Lange haben Psychologen an den Experimenten herumgetüftelt, bis sie tatsächlich beweisen konnten, dass Säuglinge schon eins und eins zusammenzählen können.

Für das Experiment wurden Kinder im Alter von fünf Monaten vor einer Art Kasperletheater platziert. Von der Seite näherten sich nacheinander zwei Puppen und versteckten sich hinter dem Vorhang. Kurze Zeit danach zog die Forscherin Karen Wynn den Vorhang zur Seite und gab den Blick auf die Puppen frei.

Diesen Versuch wiederholten die Forscher immer wieder. Mal befanden sich hinter dem Vorhang, wie zu erwarten, zwei Puppen, doch manchmal auch nur eine. Die Wissenschaftlerin hatte bei einem Teil der Experimente nämlich einfach eine Puppe verschwinden lassen.

Die Auswertung der Videos zeigte, dass die Babys im Fall von nur einer Puppe eine ganze Sekunde länger auf die Bühne starrten, als wenn dort zwei zu sehen waren. Ganz offensichtlich wussten die Säuglinge bereits, dass eine Puppe plus noch eine Puppe zwei Puppen ergibt. Entdeckten sie hinter dem Vorhang nur eine Puppe, dann fesselte sie die unerwartete Situation und sie schauten länger hin.

Rechnen ist keine Kunst

Offensichtlich verfügen wir Menschen über ein mathematisches Erbe der Evolution. Denn auch Tiere beweisen immer wieder aufs Neue, dass sie gut mit Zahlen umgehen können - zumindest mit kleinen. Da zeigen Bienen sich als Experten im Erfassen von Mengen, Affen meistern problemlos das Vergleichen von Mengen und der 2007 verstorbene Papagei Alex beherrschte sogar die Zahlwörter.

Aber können Tiere sogar Funktionen differenzieren? Also berechnen, wie steil die Kurve in einem Diagramm steigt oder fällt? Der Vierbeiner Elvis scheint der lebende Beweis dafür zu sein. Er ist ein Zwerghund der Rasse Welsh Corgi. Dass Elvis überhaupt Gegenstand wissenschaftlicher Publikationen wurde, verdankt er seinem Herrchen Tim Pennings.

Pennings ist Mathematiklehrer am Hope College in der US-amerikanischen Kleinstadt Holland am Lake Michigan. Regelmäßig macht Pennings mit Elvis ausgiebige Spaziergänge am Ufer des riesigen Sees, und stets ist das Lieblingsspielzeug des Hundes dabei, ein Tennisball.

Pennings läuft am Strand meist direkt an der Wasserlinie entlang und wirft den Ball dann schräg ins Wasser - siehe Skizze in der Fotostrecke. Dabei ist dem Mathelehrer aufgefallen, dass Elvis nie auf direktem Weg zu seinem Lieblingsspielzeug paddelt, sondern erst einige Meter über den trockenen Sand spurtet, bevor er dann relativ scharf Richtung Wasser abbiegt und die letzten Meter schwimmt.

Clevere Wahl

Als Mathematiker begann Pennings zu grübeln, warum Elvis diesen ja keinesfalls direkten Weg nimmt. Und schnell war klar: Der Hund läuft extra lange am Strand, weil er viel schneller laufen als schwimmen kann und so womöglich den Ball in kürzerer Zeit erreicht, als wenn er auf direktem Wege schwimmen würde.

Pennings analysierte das Problem und stellte fest: Um den schnellsten Weg zu finden, muss man eigentlich Differentialrechnung beherrschen, denn der zeitlich kürzeste Weg ist das Minimum einer Funktion, von dem keiner auf Anhieb sagen kann, wo es liegt.

Um es kurz zu machen: Tatsächlich wählte Elvis in 35 eigens von Pennings durchgeführten Versuchen fast immer einen Weg, der dem Optimum sehr nahe kam. Aber kann Elvis deshalb tatsächlich differenzieren, also ausrechnen, wie steil die Kurve einer Funktion steigt oder fällt? Das ist kaum vorstellbar.

Wahrscheinlich hat Elvis einfach nur ein gutes Gefühl dafür, wie er am schnellsten zum geliebten Tennisball kommt. Er ist ja schon oft über den Strand getollt und durchs Wasser gepaddelt und hat dabei seine Erfahrungen gesammelt.

Womöglich handelt es sich auch um eine Art mathematischen Instinkt, ein Erbe der Evolution, das Tieren dabei hilft, sich möglichst schnell durchs Gelände zu bewegen.

Wie ein Mathematiker den Weg von Elvis berechnet

Wie viel Mathematik steckt hinter den vom Zwerghund gewählten Wegen? Man muss in der Tat differenzieren können. Elvis steht an Punkt A, der Tennisball schwimmt im Wasser an Punkt B - siehe Zeichnung in der Fotostrecke. Um die Zeit auszurechnen, die Elvis bis zum Ball braucht, müssen wir seinen Weg sowie seine Lauf- und Schwimmgeschwindigkeit kennen.

Er rennt vom Startpunkt A über den Strand bis zum Punkt D. Diese Strecke hat die Länge z - y. Dann schwimmt er von D zu B. Nach dem Satz des Pythagoras ist diese Strecke die Wurzel aus (x2 + y2). Die Laufgeschwindigkeit bezeichnen wir mit g, die Schwimmgeschwindigkeit mit s. Weil Zeit = Weg/Geschwindigkeit ist, erhalten wir für die Gesamtzeit folgende Formel:

T(y) = (z-y)/g + Wurzel(x2 + y2)/s

Wir suchen das Minimum dieser Funktion und berechnen deshalb ihre erste Ableitung:

T'(y) = -1/g + y/(s* Wurzel(x2 + y2))

Das Minimum der Funktion muss bei T'(y) = 0 liegen.

Als Lösung erhalten wir dann:

y = x/Wurzel(g2/s2-1)

Tim Pennings hat bei seiner Untersuchung ermittelt, dass Elvis mit 6,4 Metern pro Sekunde rennt und mit 0,9 Metern pro Sekunde schwimmt. Daraus ergibt sich die Beziehung y = 0,14x. Das bedeutet, dass der Hund sehr lange über den Strand läuft, bevor er fast senkrecht abbiegt, um den Rest der Strecke zu schwimmen.


Dies ist ein Auszug aus Kapitel 2 des soeben erschienen Buchs "Je mehr Löcher, desto weniger Käse - Mathematik verblüffend einfach" von Holger Dambeck (Kiepenheuer & Witsch, 256 Seiten, 8,99 Euro).

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1. Nichts Neues
Psycha 06.02.2012
Zitat von sysopAffen tun es, Papageien, Bienen und Ratten sowieso: Sie können zählen und sogar rechnen. Eine Fähigkeit, die ihnen Vorteile bringt, etwa bei der Futtersuche. Zwerghund Elvis scheint sogar Funktionen ableiten zu können - sein Herrchen, ein Mathelehrer, ist begeistert. Hund als Mathegenie: Pi mal Pfote - SPIEGEL ONLINE - Nachrichten - Wissenschaft (http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,811138,00.html)
Einer meiner Hunde kann das auch. Wenn ich ihm von weitem in hohem Boden ein Leckerli zuwerfe, dann weiss er genau, wie weit er vor oder zurück gehen muss, um das Leckerli mit dem Maul zu fangen. Das funktioniert natürlich nur, wenn er eine Chance hat, in der Zeit, in der das Leckerli in der Luft ist, die entsprechende Distanz zu überwinden.
2.
klo79 06.02.2012
Zitat von sysopAffen tun es, Papageien, Bienen und Ratten sowieso: Sie können zählen und sogar rechnen. Eine Fähigkeit, die ihnen Vorteile bringt, etwa bei der Futtersuche. Zwerghund Elvis scheint sogar Funktionen ableiten zu können - sein Herrchen, ein Mathelehrer, ist begeistert. Hund als Mathegenie: Pi mal Pfote - SPIEGEL ONLINE - Nachrichten - Wissenschaft (http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,811138,00.html)
Die These war, ob ein Hund eine Kurvendiskussion führen kann, wel er sich einen schnellen Weg zum Tischtennisball sucht? ächtz... das tut weh.
3. Versuch und Irrtum
esteban_escobar 06.02.2012
Nahezu alle "spontanten" Aktionen im Tierreich und unter uns Menschen beruhen sich auf dem Prinzip von "Versuch und Irrtum" und der damit verbundenen iterativen Annäherung ans mathematische Optimum. Dazu ist lediglich etwas Geduld und Ausdauer, eine gute Beobachtungsgabe, ein gutes Gedächtnis und ein schnelles Reaktionsvermögen erforderlich. Indianer in Südamerika sind in der Lage, die hochkomplexe Flugparabel eines abzuschiessenden Pfeils mit der vorausgesehenen Flugbahn eines Vogels in grosser Höhe auf einen "Schnittpunktpunkt" zu bringen, ohne je eine Schule besucht zu haben. Der Fisch, der mit einem Wasserstrahl Fliegen von der Luft ins Wasser befördert vollbringt ähnliche Leistungen.
4. Kleine Hunde sind besonders intelligent
frigor 06.02.2012
Zitat von sysopAffen tun es, Papageien, Bienen und Ratten sowieso: Sie können zählen und sogar rechnen. Eine Fähigkeit, die ihnen Vorteile bringt, etwa bei der Futtersuche. Zwerghund Elvis scheint sogar Funktionen ableiten zu können - sein Herrchen, ein Mathelehrer, ist begeistert. Hund als Mathegenie: Pi mal Pfote - SPIEGEL ONLINE - Nachrichten - Wissenschaft (http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,811138,00.html)
Ich besitze einen Zwergpinscher, der Differentialgleichungen jeder Art lösen kann. Ausserdem beherrscht er Lineare Algebra in höchstem Masse.
5. Fermat'sches Prinzip
_christoporus_ 06.02.2012
Zitat von sysopAffen tun es, Papageien, Bienen und Ratten sowieso: Sie können zählen und sogar rechnen. Eine Fähigkeit, die ihnen Vorteile bringt, etwa bei der Futtersuche. Zwerghund Elvis scheint sogar Funktionen ableiten zu können - sein Herrchen, ein Mathelehrer, ist begeistert. Hund als Mathegenie: Pi mal Pfote - SPIEGEL ONLINE - Nachrichten - Wissenschaft (http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/0,1518,811138,00.html)
Das ist an sich nichts Besonderes. Licht verhält sich genauso beim Durchlaufen von Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex (was sich in unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den jeweiligen Medien äußert). Auch ein Rettungsschwimmer würde sich ähnlich verhalten.
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