Kalkuliertes Foulspiel: Wann sich eine Notbremse für Fußballer lohnt

Physiker wollen die ganze Welt erklären - dazu gehört auch der Fußball. Auf einem Kongress in Dresden diskutieren sie daher derzeit auch über Spielstärke, Glück und Rote Karten. Der Dortmunder Metin Tolan hat den Nutzen der Notbremse berechnet - Profis dürfte das Ergebnis überfordern.

Nach Notbremse (Mönchengladbach - Köln, 2006): Rigoros mit roter Karte bestraft Zur Großansicht
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Nach Notbremse (Mönchengladbach - Köln, 2006): Rigoros mit roter Karte bestraft

Ich wollte den Ball treffen, aber der Ball war nicht da.
(Anthony Yeboah, nachdem er Michael Schulz umgetreten hatte)

Schon häufig haben wir diese Situation erlebt. Ein Spieler läuft allein auf den Torwart zu und droht mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen. Einem verzweifelten Verteidiger bleibt da oft nur die Möglichkeit, diesen Spieler von hinten umzuhauen und somit recht unsanft zu stoppen.

Die DFB-Fußballregeln sagen dem Schiedsrichter, was er in einem solchen Fall zu tun hat: "Ein Spieler, Auswechselspieler oder ausgewechselter Spieler erhält die Rote Karte und wird des Feldes verwiesen, wenn er das folgende Vergehen begeht: Vereiteln einer offensichtlichen Torchance für einen auf sein Tor zulaufenden Gegenspieler durch ein Vergehen, das mit Freistoß oder Strafstoß zu ahnden ist."

Diese Regel gilt seit 1990. Seither wird also eine "Notbremse" rigoros mit der Roten Karte bestraft, und wenn das Foul im Strafraum begangen wurde, kommt sogar noch ein Elfmeter für den Angreifer hinzu. Nun ist es einleuchtend, dass eine "Notbremse" in der 1. Minute möglicherweise ein Tor verhindert, durch den Feldverweis die Mannschaft aber so stark geschwächt wird, dass das gegnerische Team aufgrund seiner Überzahl in den verbleibenden 89 Minuten noch zwei oder mehr Tore schießen kann.

Eine "Notbremse" in der 89. Minute hingegen hätte sicher nicht mehr solch fatale Konsequenzen. Es ist daher klar, dass es einen Zeitpunkt im Spiel geben muss, ab dem es sich für einen Abwehrspieler lohnt, durch ein schweres Foul ein Tor zu verhindern, obwohl er dafür vom Platz gestellt wird. Wann also ist der Zeitpunkt erreicht, dass sich eine solche "Notbremse" lohnt?

Wovon wir erstmal ausgehen

Wir gehen davon aus, dass ein Spieler eine "Notbremse" zu einem bestimmten Zeitpunkt tNot im Spiel macht und deshalb vom Platz fliegt. Dadurch erhöht sich die Torrate, also die Toranzahl pro Minute, der gegnerischen Mannschaft, da nun zehn gegen elf Spieler stehen. Wenn die gegnerische Mannschaft A Tore pro Minute im Spiel gegen elf Spieler erzielt und diese Torrate nach der "Notbremse" auf ANot ansteigt, dann erzielt die gegnerische Mannschaft im gesamten Spiel A × tNot + ANot × (90 - tNot) Tore.

Andernfalls, also ohne "Notbremse", hätte diese Mannschaft einfach A × 90 + 1 Tore erzielt. Wir gehen hierbei davon aus, dass das Foul außerhalb des Strafraums passiert und es andernfalls sicher zum Torerfolg gekommen wäre, und werden später diese Überlegungen auch auf andere Fälle übertragen können. Eine "Notbremse" lohnt sich dann also für die Mannschaft des foulenden Spielers, wenn gilt:

A × tNot + ANot × (90 – tNot) < A × 90 + 1.

Dabei sind A die Torrate und a = 90 × A die Gesamtzahl der Tore, die die gegnerische Mannschaft gegen elf Spieler erzielen würde. Wenn wir diese Ungleichung nach tNot auflösen, ergibt sich schließlich für die Spielminute, ab der sich eine "Notbremse" lohnen würde:

tNot > 90 × (1 - 1/?a).

Hierbei ist ?a=aNot - a der Unterschied der Gesamtzahl der Tore, die die gegnerische Mannschaft einmal gegen zehn und einmal gegen elf Spieler auf 90 Minuten hochgerechnet erzielen würde.

Die Torrate ist über den Verlauf eines Spiels nicht konstant

Die bisherigen Überlegungen sind zwar im Prinzip richtig, lassen aber eine wesentliche Tatsache noch unberücksichtigt. Die Torrate einer Mannschaft ist über den Verlauf eines Spiels nicht konstant. Zum Ende hin fallen in einem Spiel mehr Tore als am Anfang, wie die Statistik der bisherigen Treffer in der Bundesliga ganz deutlich zeigt.

Während in den Anfangsminuten bisher insgesamt etwa 300 Tore pro Minute gefallen sind, steigt diese Zahl sehr gleichmäßig auf 600 gegen Ende des Spiels. Für die Torrate der gegnerischen Mannschaft im Spiel gegen elf Mann setzen wir daher nun an: A(t) = ? x t + ß.

Entsprechend gilt für die Torrate der gegnerischen Mannschaft im Spiel gegen nur zehn Mann: ANot(t) = Not × t + Not.

?, ?Not und ß, ßNot sind hierbei Zahlen, die sich durch einen Vergleich mit Daten aus der Bundesliga oder für Länderspiele berechnen lassen. Beide Torraten steigen also linear mit der Spielzeit t an. Dabei ist hier mit der Torrate wieder die Zahl der Tore pro Minute gemeint. Die Gesamtzahl der Tore in einem Spiel ist bei einer konstanten Torrate einfach 90-mal die Torrate. Nun ist die Torrate aber nicht konstant, sondern steigt mit der Zeit an. Um die Gesamtzahl a bzw. aNot der Tore zu berechnen, müssen die Torraten der jeweiligen Minuten von der 1. bis zur 90. Minute aufaddiert werden.

Eine ähnliche Rechnung wie vorher, die nun allerdings wegen der nicht-konstanten Torraten etwas komplizierter ist, führt auf die folgende Ungleichung für die Spielminute tNot, ab der sich eine "Notbremse" lohnen würde:

tNot > 90 × Wurzel(1-1/ ?a)

Was bei der Berechnung herauskommt

Jetzt können wir unser Modell noch um ein weiteres wichtiges Detail verfeinern. Erstens Es ist ja gar nicht gesagt, dass der auf das Tor zulaufende Angreifer dieses auch wirklich trifft. Man hat hier schon die kuriosesten Szenen und Spieler erlebt, die das Leder aus kürzester Distanz nicht im Tor unterzubringen vermochten. Wir nehmen daher an, dass ein Tor nicht mit Sicherheit, sondern nur mit einer Wahrscheinlichkeit w fällt. Dann ergibt sich für die Zeit tNot, ab der sich eine "Notbremse" im Spiel lohnen würde:

tNot > 90 × Wurzel(1-w/ ?a)

Und was kommt nun bei der Berechnung heraus? Nehmen wir zuerst den Fall eines außerhalb des Strafraums gefoulten Angreifers, der aber nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % das Tor wirklich erzielt hätte. Dann ist w = 0,8. Wenn wir zudem annehmen, dass ?a = 2 ist, also elf Spieler gegen zehn Spieler über 90 Minuten im Schnitt zwei Tore mehr schießen als gegen elf, dann ergibt sich:

tNot > 70 Minute.

Wird der Spieler im Strafraum von den Beinen geholt, verkompliziert das die Rechnung etwas. Denn es gibt dann ja in der Regel nicht nur eine rote Karte, sondern zusätzlich einen Elfmeter, der zumindest in der Bundesliga in 75 Prozent aller Fälle zum Tor führt. In diesem Fall gilt dann tNot > 84 Minute.

So moralisch bedenklich es auch sein mag, kann es sich ab einem bestimmten Zeitpunkt im Spiel durchaus für eine Mannschaft lohnen, einen Angreifer mit einer "Notbremse" brutal zu stoppen. Der anschließende Platzverweis des Missetäters kann mit zunehmender Spielzeit nicht mehr durch eine erhöhte Torrate der gegnerischen Mannschaft ausgeglichen werden. Wir haben gesehen, dass man sogar die genaue Spielminute ausrechnen kann, ab der sich eine "Notbremse" in diesem Sinne lohnt.

In der Praxis kaum umzusetzen

Allerdings ist der praktische Nutzen unserer Formel recht eingeschränkt. Erstens müssten die Spieler kurz vor einem Foul blitzschnell die Berechnung 90 × (1 - w/?a) im Kopf durchführen können und dann daraus noch die Quadratwurzel ziehen, was selbst für geschulte Köpfe recht schwierig sein dürfte. Auch ein mit einem Taschenrechner bewaffneter Trainer an der Seitenlinie kann hier nicht wirklich weiterhelfen. Zweitens hängt das Ergebnis ganz entscheidend von Parametern wie der Erhöhung der Gesamttoranzahl gegen zehn Spieler oder der Wahrscheinlichkeit für einen Treffer in der konkreten Spielsituation ab, die für eine Mannschaft nicht einfach zu bestimmen sind.

Aus allen Berechnungen und Statistiken können aber die folgenden groben, recht einfachen Aussagen abgeleitet werden: Im Strafraum lohnt sich eine "Notbremse" wegen des folgenden Elfmeters erst in den letzten Minuten eines Spiels. Außerhalb des Strafraums sollte man eine "Notbremse" in der ersten Halbzeit vermeiden. Die Torwahrscheinlichkeit des gegnerischen Teams wird ansonsten um mehr als einen Treffer erhöht, was den Effekt der "Notbremse" überkompensiert. Dies gilt zumindest, wenn Profimannschaften gegeneinander spielen, die ungefähr gleich stark sind.

Diese beiden Regeln sind so einfach, dass unsere Jungs sie bei der Weltmeisterschaft 2014 in Brasilien im Eifer des Gefechts sicher leicht beherzigen können.

Dieser Text ist ein gekürzter Auszug aus Metin Tolans Buch "So werden wir Weltmeister". Es erscheint demnächst in überarbeiteter Version als Taschenbuch.

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insgesamt 7 Beiträge
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1. Schwache Analyse
Hindemith 15.03.2011
Das ist ja ein nettes Thema, zu dem man nett modellieren kann. In der Realitaet ist es dann immer wieder anders, trotzdem ist es lustig solche Berechnungen anzustellen. Was mich allerdings schwer verwundert hat ist die Tatsache, dass die Antwort auf die Frage "Soll ich foulen oder nicht" unabhaengig von dem gegenwaertigen Spielstand sein soll.
2. Formel unvollständig!
Emmi 15.03.2011
Die ganze Berechnung ist unvollständig, da sie sich nur auf 1 Spiel beschränkt. In der Regel zieht aber eine rote Karte eine Sperre für den betroffenen Spieler nach sich und selbst eine gelbe Karte könnte - wenn es die 5. ist - zu einer Sperre führen. Die Nichteinsatzfähigkeit des Spielers in darauffolgenden Spielen stellt eine Schwächung der Mannschaft dar, die ebenfalls mit bedacht werden muss, wenngleich sie noch schwerer zu berechnen sein dürfte. Wenn zum Beispiel ein Führungsspieler sich in einem Halbfinalspiel einer WM eine Karte einhandeln würde, die zu seiner Sperre im Finale führt, das dann deshalb verloren wird, wäre das ziemlich dumm... Ääh... Wieso kommt mir das Szenario so bekannt vor...!?
3. Es fehlt noch was in der Formel:
stephenmaturin 15.03.2011
Die Formel berücksichtigt nicht, dass der rotgesperrte Notbremser im nächsten Spiel nicht eingesetzt werden kann. Aus diesem Grund könnte es sich also lohnen, einen verzichtbaren Spieler als Notbremser einzusetzen. Das Fehlen im nächsten Spiel sowie der Verzichtbarkeitsfaktor des foulenden Spielers müssten in die Formel noch integriert werden.
4. Sch... Titelzwang
Mimimat 15.03.2011
Zitat von EmmiDie ganze Berechnung ist unvollständig, da sie sich nur auf 1 Spiel beschränkt. In der Regel zieht aber eine rote Karte eine Sperre für den betroffenen Spieler nach sich und selbst eine gelbe Karte könnte - wenn es die 5. ist - zu einer Sperre führen. Die Nichteinsatzfähigkeit des Spielers in darauffolgenden Spielen stellt eine Schwächung der Mannschaft dar, die ebenfalls mit bedacht werden muss, wenngleich sie noch schwerer zu berechnen sein dürfte. Wenn zum Beispiel ein Führungsspieler sich in einem Halbfinalspiel einer WM eine Karte einhandeln würde, die zu seiner Sperre im Finale führt, das dann deshalb verloren wird, wäre das ziemlich dumm... Ääh... Wieso kommt mir das Szenario so bekannt vor...!?
Keine Ahnung. Ich überlege immer noch, warum mir plötzlich Brasilien einfällt. ;-)
5. Und was lernen wir daraus?
ploko 15.03.2011
Einfach den Ball absichtlich mit der Hand spielen. Gibt nur Gelb und das Spiel wird auch unterbrochen. Wie sich eine Notbremse im Strafraum (statistisch) lohnen soll, ist mir leider entgangen. Wenn man nicht gerade Butt im Tor hat und gegen die Schweiz spielt, erhöht man die Chance auf ein Tor durch den folgenden Elfmeter. Das ergibt wirklich nur in den letzten Minuten eines Ausscheidungsspiels Sinn.
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Zur Person
Metin Tolan, 1965 in Oldenburg geboren, lehrt Experimentalphysik an der Technischen Universität Dortmund. Er ist manchmal BVB-, bisweilen VfB-, aber immer Fußball-Fan. Seit Jahren macht sich Tolan einen Namen als Deutschlands verwegenster Physik-Erklärer. Von ihm stammt auch das Buch "Geschüttelt, nicht gerührt" über die Physik in James-Bond-Filmen.

Buchtipp

Metin Tolan:
"So werden wir Weltmeister"
Die Physik des Fußballspiels.

Piper Verlag; 367 Seiten; 16,95 Euro.

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