Fund im Garten Wie wahrscheinlich ist eine Ring-Möhre? 

Vor 13 Jahren verlor eine Kanadierin ihren Verlobungsring im Garten - nun hat ihn eine Karotte zutage gefördert. Eine Berechnung zeigt, dass ein solcher Zufall gar nicht so selten ist.

Möhre mit lange vermisstem Ring
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Möhre mit lange vermisstem Ring

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Ein Ring liegt 13 Jahre unter der Gartenerde - und plötzlich taucht er wieder auf! Durchwachsen von einer Möhre. Die verblüffende Geschichte widerfuhr der Kanadierin Mary Grams, die in der Provinz Alberta lebt.

Sie könne diesen Zufall kaum glauben, sagte Grams. Ihrem vor fünf Jahren verstorbenen Mann Norman habe sie nie erzählt, dass sie den Ring bei Gartenarbeiten auf der heimischen Farm verloren habe. "Ich bin erleichtert und glücklich", sagte sie nun. "Ich kapiere es noch immer nicht."

Die Kanadierin ist nicht die Erste, die einen einst im Garten verloren gegangenen Ring über eine Karotte zurückbekommen hat. Im November 2016 hatte ein Mann im nordrhein-westfälischen Bad Münstereifel auf diese Weise einen Ring wiedergefunden, der drei Jahre lang verschollen war.

Die Geschichten der wiederentdeckten Ringe klingen rührend - aber sind sie vielleicht ein bisschen zu schön, um wahr zu sein? Es wäre ja nicht allzu schwierig, einen Ring auf eine noch junge Möhre zu schieben, um ein paar Wochen später über einen wunderbaren Fund zu berichten.

Total unwahrscheinlich?

Wie groß das Glück der beringten Möhren war, lässt sich zumindest grob abschätzen. Mit ein paar Formeln aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Grundkenntnissen aus Geometrie und Integralrechnung hat man schnell eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit berechnet. Und der Wert ist verblüffend groß!

Die meisten Gärtner säen Karotten in Reihen von 15 bis 20 Zentimeter Abstand. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass die Möhren im Abstand von 10 Zentimetern zueinander stehen. Sie bilden dann ein quadratisches Muster - siehe Skizze unten. Zudem nehmen wir an, dass die Möhren 10 Zentimeter lang werden und der Boden regelmäßig bis in eine Tiefe von 30 Zentimetern umgegraben wird, ohne dass der Ring dabei entdeckt wird.

Der Ring soll einen Innendurchmesser von d = 1,5 Zentimetern haben. Die Ringe in der Skizze sind etwas größer, damit man sie besser erkennen kann.

Wir gehen davon aus, dass der Ring in der Erde eines Karottenbeetes in höchstens 30 Zentimeter Tiefe liegt. Eine Karotte wächst durch den Ring, sofern sich der Samen oberhalb des Ringinnern befindet und der Ring maximal 10 Zentimeter tief liegt.

Die Karotten stehen im Abstand von 10 Zentimetern im Beet - und der Ringmittelpunkt befindet sich in irgendeinem der Quadrate, die von den Karotten gebildet werden. Oder auch auf dem Rand des Quadrates. Wir schauen uns dieses Quadrat nun genauer an.

Möhren Wildwuchs/ Grafik
SPIEGEL ONLINE

Möhren Wildwuchs/ Grafik

Weil die genaue Position des Ringes Zufall ist, können wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Ring in einem bestimmten Bereich liegt, über die Fläche ausrechnen. Zu 100 Prozent befindet sich der Ring im Quadrat einschließlich des Randes, zu 50 Prozent in der linken Hälfte, zu 25 Prozent in einem Viertel der Fläche und so weiter.

Ist der Mittelpunkt des Rings mehr als 0,75 Zentimeter von den Karotten entfernt, wird er niemals durchwachsen werden. Das Gleiche gilt für Tiefen größer als zehn Zentimeter. Dann liegt der Ring zu tief.

Senkrecht liegender Ring? Wahrscheinlichkeit null!

Wie groß aber ist der Bereich um die Karotten, in dem das Durchwachsen gelingt? Man könnte glauben, dass ein Abstand des Ringmittelpunkts von weniger als 0,75 Zentimetern reicht. Doch das stimmt nicht ganz, weil der Ring ja nicht unbedingt parallel zur Erdoberfläche in der Erde liegt.

Er kann auch schräg im Erdreich stecken - von oben gesehen sieht die von der Möhre zu treffende Fläche dann aus wie eine Ellipse. Und steckt der Ring gar senkrecht im Beet, ist die Durchwachswahrscheinlichkeit sogar null!

Mary Grams
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Mary Grams

In welchem Winkel (in Relation zur Erdoberfläche) der Ring unter der Erde liegt, ist Zufall. Mit einer Integralrechnung lässt sich berechnen, welche Fläche der Ring im Durchschnitt mindestens zum Durchwachsen bietet - als Mittelwert über alle Lagewinkel von 0 bis 90 Grad.

Das Ringinnere selbst hat eine Fläche von Pi*r2 (r = 0,75 cm). Schaut man sich die vom Ring gebildete Ellipse genauer an, dann klappt das Durchwachsen des Rings auf jeden Fall, sofern der Mittelpunkt des Ringes nicht weiter als die Hälfte der Ellipsennebenachse von einer Möhre entfernt ist. Das ist die schmale Seite der Ellipse.

Integriert man die Flächen über alle Lagewinkel von 0 bis 90 Grad, ergibt sich ein mittlerer Abstand von 0,71*r. Das ist eine Untergrenze. Denn je nach Ausrichtung der Kippachse des Ringes gelingt das Ganze auch dann noch, wenn der Ringmittelpunkt etwas weiter entfernt ist von der Möhre. Der dabei maximal mögliche Abstand liegt bei r.

Was heißt das konkret? Solange der Ringmittelpunkt weniger als 0,71*r = 0,53 Zentimeter von einer der vier Möhren entfernt ist, wächst die Möhre durch den Ring. Diese Segmente sind oben in der Zeichnung blau gekennzeichnet.

Das untersuchte Beetstück hat eine Größe von 10 cm mal 10 cm = 100 cm2. Die vier blauen Viertelkreise, in denen der Ring tatsächlich mit einer Karotte verwächst, haben eine Fläche von rund 1 cm2. Die Wahrscheinlichkeit liegt deshalb bei 1/100 = 1 Prozent.

Weil der Ring aber nur dann von der Möhre getroffen wird, wenn er sich in den oberen 10 Zentimetern der bis auf 30 Zentimeter umgegrabenen Erde befindet, ist der tatsächliche Wert nur ein Drittel davon.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt deshalb 0,3 Prozent. Und das ist ein gar nicht so kleiner Wert. Liegt in 300 Karottenfeldern weltweit je ein Ring, dann sollte man im Durchschnitt jedes Jahr mindestens eine Karotte finden, die in einem Ring steckt. Es können natürlich auch mal zwei oder drei sein, oder ein paar Jahre lang gar keine - das hängt vom Zufall ab. Werden die Möhren mehrmals nacheinander ausgesät, erhöhen sich die Chancen sogar noch.

Die Kanadierin Grams darf sich in jedem Fall glücklich schätzen, den 13 Jahre vermissten Schmuck wieder in den Händen zu halten. Sie ist 84 Jahre alt. Und im Mittel hätte sie mehr als 300 Jahre auf eine Ringmöhre warten müssen.

Korrektur: In der Rechnung steckte ein Fehler, das Ergebnis ist nun auf 0,3 Prozent korrigiert.



insgesamt 19 Beiträge
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Europa! 17.08.2017
1. Puh ...
Wenn das so kompliziert ist, bin ich aber froh, dass Eheringe allmählich aussterben. Übrigens: Freunde von mir hatten eine gute Methode, um ihre Eheringe nicht im Karottenbeet zu verlieren: Sie haben die Dinger an einen Haken unter der Decke gehängt, der eigentlich für eine Lampe gedacht war. Da hat man sie immer gesehen, und sie waren auch schön beieinander.
Ch. Demian 17.08.2017
2. Zwei Annahmen...
... werden einfach stillschweigend gemacht bzw. sind schwach begründet. Eine Gleichverteilung der Kippwinkel ist nicht wahrscheinlich (je nachdem, wie sie sich verhält, ist es zugunsten des "Karottendurchschusses" oder eben nicht), ebenso die Gleichverteilung in der Tiefe. Es ist eher mit einer kovarianten Abhängigkeit der Größen zu rechnen - senkrecht "stehender" Ring könnte etwa beim Umgraben leichter in tiefere Schichten rutschen etc. Eine weitere Annahme ist (#3) ist ebenfalls fraglich, entzieht sich aber meinem gertnärischen "Know-How". Die Wahrscheinlichkeit, dass die Karotte den Ring unterirdisch "auffädelt", hängt gewiss von der Dicke des Gemüses ab. Die Wahrscheinlichkeiten mit denen hier hantiert wird, sind auf einen AuffädelPUNKT gebracht. In der Realität dürfte es anders sein; aber da müssen die Empiristen unter uns ran... Oder mindestens die Gärtner.
marc_grübel 17.08.2017
3. Wie mittlere Zeit, bis ein Ring gefunden wird
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ring in einem Jahr nicht gefunden wird, beträgt 0,99. Die mittlere Wartezeit entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 50%. So, wer mag die Gleichung 0,99^(n-1)=0,5 nach n auflösen?
Ch. Demian 17.08.2017
4. Karotte im Jahr n
Zitat von marc_grübelDie Wahrscheinlichkeit, dass ein Ring in einem Jahr nicht gefunden wird, beträgt 0,99. Die mittlere Wartezeit entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 50%. So, wer mag die Gleichung 0,99^(n-1)=0,5 nach n auflösen?
Ungern, aber bitte: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+0,99^(n-1)=0,5
tuqa 17.08.2017
5.
Mein Gott. Puh ist das kompliziert ! Mit Integralrechnung. Ohje! Wie war das noch einmal ? Hoert sich kompliziert an. Zum Glueck haben wir spiegel online, wo auch jeder Idiot von Redakteur was posten darf "Doch, so ist es ja gar nicht - Wir WIssen Es (und zeigen euch, wo's langgeht) " gell. Vielleicht sollte man das noch mit der Wahrscheinlickeit mulziplitieren, dass ein Ring ueberhaupt anwesend ist, bzw verloren geht...Sonst haette man naemlich dauernd Ringe in den Moehren. Hahahahahha Mein gott. die Spiegel, unsere - HERRSCHER -. Ohne Worte. Schon mal ueberlegt, warum's nicht zum Mathe oder Physikstudium gereicht hat, und jetzt stattdessen dumme Sprueche fabriziert werden ?.........
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