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Mathematik: Keplers Problem für achtdimensionale Kugeln gelöst

Kepler vermutete richtig: So lassen sich Kugeln optimal im Raum stapeln. Zur Großansicht
Andreas Loos / FU Berlin

Kepler vermutete richtig: So lassen sich Kugeln optimal im Raum stapeln.

Einst rätselte der Astronom Johannes Kepler, wie man Kugeln stapeln muss, damit möglichst viele in eine Kiste passen. Nun will eine Mathematikerin das Problem für achtdimensionale Kugeln gelöst haben.

Wie muss man Kugeln schichten, damit der Raum optimal genutzt wird? Vor mehr als 400 Jahren formulierte der Astronom Johannes Kepler eine Vermutung dazu. Der Beweis gelang allerdings erst 1998 - und nur mithilfe eines Computers.

Jeder kennt die dichteste Kugelpackung aus dem Supermarkt: Wenn Orangen zu großen Pyramiden gestapelt werden, geschieht das intuitiv genau wie von Kepler vorgeschlagen. In der ersten Lage bilden drei einander berührende Orangen regelmäßige Dreiecke. Die Orangen der nächsten Schicht werden in die Lücken der Schicht darunter gelegt.

Diese Schichtung füllt den Raum zu 74,5 Prozent. Eine Orangenpyramide besteht deshalb zu knapp drei Vierteln aus Orangen und zu etwas mehr als einem Viertel aus Luft.

Das Kugelpackungsproblem gibt es aber nicht nur im dreidimensionalen Raum, sondern auch für höhere Dimensionen. Wir können uns zwar keine vier- oder fünfdimensionale Kugel vorstellen - Physiker wie Mathematiker rechnen aber problemlos in höherdimensionalen Räumen.

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Keplersche Vermutung: 400 Jahre altes Problem gelöst
Maryna Viazovska, eine Postdoktorandin an der Berlin Mathematical School, will nun das Packungsproblem für achtdimensionale Kugeln gelöst haben. Laut ihrer Arbeit lässt sich der Raum dann höchstens zu etwa 25,4 Prozent mit Kugeln füllen.

Viazovskas Beweis gilt allerdings als noch nicht offiziell anerkannt. Die Mathematikerin hat ihn bislang nur auf der Plattform arxiv.org veröffentlicht, auf die Forscher Arbeiten hochladen, auch wenn sie noch nicht das Prüfungsverfahren von Fachzeitschriften (Peer Review) durchlaufen haben.

Kreise bedecken Fläche zu rund 90 Prozent

Das Lesen von Viazovskas Arbeit erfordert mathematisches Spezialwissen. An der Berlin Mathematical School ist man sich aber "ziemlich sicher", dass der Beweis stimmt, sagt Andreas Loos von der Deutschen Mathematiker Vereinigung (DMV). Bisher habe man nur Lösungen des Problems für die Dimensionen zwei und drei gekannt. Jetzt habe Viazovska das Problem für Dimension acht gelöst, vollständig und exakt.

Kugelpackung in zwei Dimensionen: Maximale Bedeckung der Ebene Zur Großansicht
Freie Universität Berlin

Kugelpackung in zwei Dimensionen: Maximale Bedeckung der Ebene

Schon seit Jahrhunderten beschäftigen sich Mathematiker mit der dichtesten Kugelpackung des zwei- und dreidimensionalen Raums. Keplers unbewiesene Vermutung für die Dimension drei stammt aus dem Jahr 1611.

Optimale Lösung: Kreisflächen bedecken Ebene zu rund 90 Prozent Zur Großansicht
Freie Universität Berlin

Optimale Lösung: Kreisflächen bedecken Ebene zu rund 90 Prozent

Der Ungar László Fejes Tóth löste das Problem für Dimension zwei in den Vierzigerjahren. Er konnte beweisen, dass identisch große Kreise eine Fläche nur zu rund 90 Prozent bedecken können - siehe Abbildung oben. Dazu muss man sie in einem regelmäßigen Gitter anordnen - so wie die Orangen in einer Schicht einer Orangenpyramide.

Beim Beweis von Keplers Vermutung für die Dimension drei musste der US-Mathematiker Thomas Hales im Jahr 1998 Computer bemühen. Das gefiel freilich nicht allen Kollegen, weil die Beweisführung für sie praktisch nicht nachvollziehbar war. Um die letzten Zweifler zu überzeugen, ließ Hales seinen Computerbeweis schließlich 2014 von einer speziellen Software auf logische Konsistenz überprüfen - mit Erfolg!

Dass die übliche Art, Orangen zu einer Pyramide zu schichten, den Raum tatsächlich optimal ausnutzt, erscheint plausibel. Dies wasserdicht zu beweisen, ist allerdings sehr schwierig. Denn es könnte ja sein, dass eine minimale Abweichung einer Orange von der regelmäßigen Anordnung zwar an einer Stelle den Raum schlechter nutzt, an anderer Stelle aber eine dichtere Packung ermöglicht.

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Zahlen, Formeln und Vektoren: Wunderwelt der Mathematik
Die dichteste Kugelpackung des Raumes ist sicher zuallererst Grundlagenforschung. Aber selbst das nun offenbar in der Dimension acht gelöste Rätsel ist von gewisser praktischer Relevanz, wie der Mathematiker Andreas Loos berichtet. Die spezielle Anordnung der Kugeln spiele eine wichtige Rolle in der Stringtheorie, die als möglicher Nachfolger der Relativitätstheorie gilt.

hda

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insgesamt 94 Beiträge
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    Seite 1    
1. Anekdote
Ossifriese 22.03.2016
Irgendwo meine ich mal gelesen zu haben, dass das Problem ursprünglich von der britischen Flotte erkannt und zur Lösung in Auftrag gegeben wurde, weil man Kanonenkugeln auf möglichst kleinem Raum in den Schiffen stapeln wollte. Keine Ahnung, ob das wirklich stimmt, wäre aber eine hübsche Anekdote zum Thema.
2. ...
Newspeak 22.03.2016
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber soweit ich weiß ist das Problem nicht nur für Dimension 2, 3, und jetzt 8 gelöst, sondern auch für weitere Dimensionen. Es kann aber sein, daß sich das auf Kugelpackungen bezieht, die gleichzeitig auf einem Gitter leben. Dafür hat, denke ich, Gauß schon Fälle bewiesen (vielleicht sogar ganz allgemein?). Müsste im Buch von Conway und Sloane stehen "Sphere packings, lattices and groups".
3.
TS_Alien 22.03.2016
Rechnen kann man viel. Man kann auch physikalische oder mathematische Begriffe in andere Räume mit mehr Dimensionen übertragen. Sinnvoll ist vieles davon nicht. Manchmal kommt sogar regelrechter Unsinn heraus. Man kann seine Zeit wirklich sinnvoller nutzen, auch als Mathematiker.
4. #1, ossifriese
permissiveactionlink 22.03.2016
Das ist sehr wahrscheinlich, wenn man Heraklit Glauben schenkt :"Polemos pantõn men patêr esti", lateinisch "Bellum omnium pater" , "Der Krieg ist aller Dinge Vater".
5.
OlafKoeln 22.03.2016
Zitat von TS_AlienRechnen kann man viel. Man kann auch physikalische oder mathematische Begriffe in andere Räume mit mehr Dimensionen übertragen. Sinnvoll ist vieles davon nicht. Manchmal kommt sogar regelrechter Unsinn heraus. Man kann seine Zeit wirklich sinnvoller nutzen, auch als Mathematiker.
Erfrischend, dass wenigstens Sie den Überblick haben ...
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