Zahlensinn So fühlt sich eine 100 an

Menschen und Tiere verfügen über einen angeborenen Zahlensinn. Er fußt auf einer logarithmischen Skala. Klingt nach fieser Mathematik? Keine Sorge: Intuitiv machen Sie alles richtig.

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Rechenaufgabe in der Schule
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Rechenaufgabe in der Schule


Können Sie im Kopf logarithmieren? Selbst wenn Sie nicht mal genau wissen, was das ist - die Antwort lautet: Ja! Jedes Kindergartenkind beherrscht das Logarithmieren intuitiv, Affen ebenso und sogar Krähen, wie Tübinger Forscher nun in Experimenten nachgewiesen haben.

Dahinter steckt ein fundamentales Erbe der Evolution. Anzahlen von 1 bis 4 können Menschen und Tiere auf einen Blick genau erfassen. Zweifellos eine wichtige Fähigkeit, um schnell zu entscheiden, ob man einer kleinen Gruppe von Angreifern oder Raubtieren schnell aus dem Weg gehen soll oder nicht.

Sobald es aber um Anzahlen größer als 4 geht, schauen wir vor allem auf die Relationen: Sind auf dem rechten Baum mehr Äpfel als auf dem linken? Den Unterschied zwischen 15 und 10 Äpfeln bemerken wir schneller als zwischen 30 und 35 Äpfeln, obwohl die Differenz in beiden Fällen 5 ist.

Anders gesagt: In unserem Kopf liegen die 30 und die 35 näher beieinander als die 10 und die 15 - genau wie auf einer logarithmischen Skala.

Was ist der Logarithmus?

Wer eine Zahl logarithmiert, sucht den Exponenten zu einer bestimmten Basis, etwa zur Basis 10. Dann muss 10 hoch dieser Exponent genau die vorgegebene Zahl ergeben. Ein Beispiel: Der Logarithmus von 100 ist 2, denn 102 ergibt 100. Auf einer logarithmischen Skala sind die Zahlen 10 und 100 genauso weit voneinander entfernt wie 100 und 1000. Denn die Logarithmen der drei Zahlen sind 1, 2 und 3 (101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000).

Das Phänomen der mentalen logarithmischen Skala war bislang nur von Menschen und Affen bekannt, sagt Andreas Nieder von der Universität Tübingen. Nun sei der Nachweis erstmals auch bei Vögeln geglückt.

Verräterische Fehler

Sein Team hatte zwei Aaskrähen beigebracht, Anzahlen zwischen 1 und 30 miteinander zu vergleichen. Zuerst erschien auf dem Touchscreen eine Punktmenge, zum Beispiel 12. Nach einer kurzen Pause zeigte das Display eine zweite Punktmenge an - entweder dieselbe Anzahl oder eine andere. Die Krähen waren so trainiert, dass sie bei gleicher Punktanzahl den Touchscreen berührten und eine Belohnung bekamen.

Krähe beim Experiment der Tübinger Forscher: Die Vögel hatten gelernt, Anzahlen zwischen 1 und 30 miteinander zu vergleichen.

Zuerst erschien auf dem Touchscreen eine Punktmenge, zum Beispiel 12 - der Standardreiz. Nach einer kurzen Pause zeigte das Display eine zweite Punktmenge an (Kontrollreiz) - entweder dieselbe Anzahl oder eine andere.

Die Krähen waren so trainiert, dass sie bei gleicher Punktanzahl den Touchscreen berührten und eine Belohnung bekamen.

Oft lagen die Vögel richtig - aber immer wieder machten sie auch Fehler. Diese Fehler zeigten den Forschern, dass auch die Krähen Anzahlen logarithmisch sortieren. Beispielsweise wurden die Anzahlen 1 und 2 ähnlich selten miteinander verwechselt wie 2 und 4. Bei 20 und 30 war die Fehlerrate hingegen höher.

Aber die Tiere machten immer wieder auch Fehler - und diese Fehler zeigten den Forschern, dass auch die Krähen Anzahlen logarithmisch sortieren. Beispielsweise wurden die Anzahlen 1 und 2 ähnlich selten miteinander verwechselt wie 2 und 4. Bei 20 und 30 war die Fehlerrate hingegen höher.

Die Verarbeitung von Zahlen bei Krähen zu erforschen erfordert raffiniert konzipierte Experimente. Schließlich kann man ihnen weder Dinge erklären, noch können sie uns von ihrer Wahrnehmung berichten. Beim Menschen sind Experimente leichter, weshalb Psychologen unseren Zahlensinn auch schon ziemlich gut verstanden haben.

Da ist zum Beispiel der Distanzeffekt. In Studien wurden Erwachsenen immer wieder zwei unterschiedlich große einstellige Zahlen gezeigt, beispielsweise 3 und 5. Die Probanden sollten dann so schnell wie möglich entscheiden, welche der beiden Ziffern die größere ist, und den entsprechenden Knopf drücken. Dabei wurde ihre Reaktionszeit gemessen.

Zahlenstrahl im Kopf

Bei weit voneinander entfernten Zahlen brauchten die Probanden etwa eine halbe Sekunde für ihre Entscheidung. Sie machten bei Paaren wie 9 und 2 auch kaum Fehler. Ganz anders bei benachbarten Zahlen wie 5 und 6: In diesen Fällen drückten die Testpersonen nicht nur erstaunlich oft den falschen Knopf, sie brauchten im Schnitt auch eine Zehntelsekunde länger als bei Paaren wie 9 und 2.

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Unser Gehirn nutzt beim Vergleich zweier Zahlen offenbar keine abgespeicherte Tabelle, in der beispielsweise steht, dass 6 größer als 5 ist. Wäre dies der Fall, würden die Entscheidungszeiten nämlich nicht vom Abstand der Zahlen abhängen.

Der Franzose Stanislas Dehaene brachte als Erklärung schließlich eine Art Zahlenstrahl im Kopf ins Spiel. Diesen muss man sich vorstellen wie ein schon etwas abgegriffenes Maßband eines Schneiders. Um zu entscheiden, ob 9 größer ist als 1, reicht ein kurzer Blick darauf. Bei 5 und 6 muss man schon genauer hinschauen, welche Zahl weiter rechts auf dem Band steht - unter Umständen kann man das auch nicht mehr gut erkennen.

Weber-Fechner-Gesetz

Der Zahlenstrahl in unserem Kopf hat aber eben auch die bereits erwähnte Eigenschaft, nicht linear zu sein. Seine Skala ist vielmehr logarithmisch. Das heißt, der Abstand zwischen 1 und 10 wird als ähnlich groß empfunden wie der zwischen 10 und 100 oder 100 und 1000. Diese verzerrte Wahrnehmung wird auch Weber-Fechner-Gesetz genannt.

"Die logarithmische Skala ist offenbar die beste Art und Weise, Zahlen mental abzubilden", sagt der Tübinger Forscher Andreas Nieder. Das sei auch sinnvoll: "Kleine Zahlen werden sehr genau abgebildet, große nur relativ ungenau."

Die neuen Experimente hätten gezeigt, dass der mentale Zahlenstrahl auch bei Krähen logarithmisch komprimiert sei. Forscher Nieder geht davon aus, dass die logarithmische Skala Vorteile für die Tiere bietet, etwa beim Abschätzen von Futtermengen oder beim Anblick von Räubern.

Tiere können nicht zählen

Alle Menschen ohne mathematische Ausbildung nutzen intuitiv eine logarithmische Abbildung, zum Beispiel Vorschulkinder oder im Dschungel Südamerikas lebende Völker. Die logarithmische Skala werde erst durch den Mathematikunterricht linearisiert, erklärt Nieder. Das geschehe meist in der zweiten und dritten Klasse.

Doch ganz verschwunden ist die nichtlineare Skala nicht aus unserem Kopf. Experimente von Psychologen zeigen, dass wir den komprimierten Zahlenstrahl nach wir vor nutzen, wenn wir Mengen schnell abschätzen müssen.

"Für ein intuitives Zahlenverständnis hat eine logarithmische Skala zweifellos Vorteile", meint Nieder. Um ernsthaft Mathematik betreiben zu können, benötige der Menschen allerdings ein symbolisches Zahlenverständnis, das man bei Tieren nicht finde. "Wir können echt zählen, Tiere hingegen nicht."

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insgesamt 31 Beiträge
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Seite 1
Layer_8 26.03.2016
1.
Wird ja auch in den Naturwissenschaften/Physik so gehandhabt. Da geht es ja auch sehr oft nur um Größenordnungen. Wichtig ist, was im Exponenten steht. Gerade im sehr Kleinen (Teilchenphysik) oder im sehr Großen (Kosmologie).
augu1941 26.03.2016
2. Was anderes wär auch höchst verwunderlich !
"Menschen und Tiere verfügen über einen angeborenen Zahlensinn. Er fußt auf einer logarithmischen Skala" Diese logarithmische Skala ist nicht nur die Basis bei der intuitiven Größenbewertung von Mengen, sondern darauf basiert auch unsere Sinneswahrnehmung z.B. der Lautstärke einer Schallquelle: die wahrgenommene Lautstärke ist nicht der Schallstärke (physikalisch gemessene Schallamplitude), sondern deren Logarihtmus proportional, d.h. ein Schallereignis mit 120 decibel trifft nicht nur mit der doppelten Schallstärke auf unser Ohr wie ein Ereignis ,das wir mit 60 decibel wahrnehmen (sondern die Schallstärke unterscheiden sich um Größenordnungen). Da dies so ist, wäre es mehr als verwunderlich, wenn die Evolution bei der intuitiven Bewertung von wahrgenommenen Mengen eine andere Bewertungsgrundlage hervorgebracht hätte und wir den Unterschied zwischen zwei Herden von 100 und 1000 Tieren als sehr viel größer wahrnehmen würden als den Unterschied zwischen zwei Herden von 10 und 100 Tieren.
marcuro 26.03.2016
3. Tiere können nicht zählen?
Die merken also nie, ob ihre Gruppen "vollzählig" sind oder nicht? Eigener Nachwuchs, Herde, etc. Ist ja schön, dass hier hin und wieder Artikel erscheinen, die sich nicht um Fußball drehen, aber ich würde trotzdem etwas mehr Tiefe verlangen. Ach...Eigentlich auch nicht.
permissiveactionlink 26.03.2016
4. Alex
Vor Jahren lief einmal ein Beitrag von Volker Arzt über die Intelligenz von Tieren. Dabei wurde (mittlerweile verstorbene) Graupapagei Alex gezeigt, der nicht nur die Farben und Formen von Gegenständen benennen (!) konnte, sondern auch ihre Anzahl, ich glaube bis fünf oder sechs. Ob das schon echtes Zählen ist ? Vermutlich nur ein Vergleichen auf dem logarithmischen Zahlenstrahl, aber dennoch höchst beeindruckend. In dem Zusammenhang sollten wir uns ernsthaft fragen, ob wir es nicht besser sofort unterlassen sollten, solche Mit"geschöpfe" kurz nach dem Schlüpfen zu vergasen oder in den Schredder zu werfen. Und noch eine Frage ist interessant: Zählen wir möglicherweise im Zehnersystem, weil die logarithmische Zahlen gerade in unseren Köpfen auf die Basis 10 festgelegt ist, oder liegt es doch eher an der Anzahl unserer Finger?
ede-wolff 26.03.2016
5. Nicht nur der Zahlensinn
Alle unsere Sinne sind logarithmisch! Gehör (Lautstärke, dB-Skala), Augen (Lichtempfindlichkeit, ASA). Es ist die notwendige Voraussetzung, um die riesige Variationsbreite der Natur auf unsere eng beschränkte Wahrnehmungsbreite abzubilden. Leider ist das auch wieder kein schlagendes Argument für oder gegen Evolution oder "intelligent design" (Ironie aus).
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