Mathe-Olympiade 2009: Universal-Formel gegen peinliche Geschenke

Von Holger Dambeck

Es gibt immer eine einfache Aufgabe bei der Internationalen Matheolympiade. Aber was heißt schon einfach? In diesem Jahr ging es um Clubmitglieder, die Hässliches gern an andere verschenken, es aber auf keinen Fall zurückhaben wollen. Eine Lösung dafür kann nur Mathematikern einfallen.

Es ist eine Prüfung der Superlative: Fast 600 Schüler brüten in einer Bremer Messehalle konzentriert über kniffligen Problemen. Aufstehen ist verboten, das würde die Konzentration der anderen stören. Und so gelten bei der Internationalen Mathematikolympiade (IMO) während der zwei Klausuren strenge Regeln: Jeder Schüler hat fünf farbige Karten auf seinem Tisch liegen - und wenn es ein Problem gibt, dann muss er die entsprechende Karte in die Höhe halten, damit Hilfe kommt.

Blau bedeutet "Ich möchte Wasser zum Trinken", weiß "Mehr Papier, bitte" und gelb "Ich habe eine Frage". Wer auf die Toilette muss, hebt das grüne Kärtchen - und wird anschließend dorthin eskortiert, damit auch ja kein Kontakt zu anderen Schülern möglich ist. "Ich musste einmal aufs Klo", erzählt ein Teilnehmer aus dem sechsköpfigen deutschen Team. Die Zeit auf dem stillen Örtchen gelte als Klausurzeit, "weil man ja dort auch weiter über die Aufgaben nachdenken kann".

Jeweils drei Aufgaben mussten die Schüler in Klausuren am Mittwoch und Donnerstag lösen. Es sind keine Aufgaben, wie man sie aus der Schule kennt. Sogar viele Mathematikstudenten würden daran scheitern - aber bei den IMO-Teilnehmern handelt es sich um Ausnahmetalente, die mitunter schon mit 14 Jahren Dinge wissen, die normalerweise an Universitäten gelehrt werden. Vor allem aber beherrschen sie das schnelle, kreative Finden von Lösungen für Aufgaben, die Laien auf den ersten Blick unlösbar erscheinen.

Der Club der Leute mit hässlichen Geschenken

Ein schweres Problem, für das eine kurze, elegante Lösung existiert - von dieser Art sollten die Aufgaben sein, welche die IMO-Jury aus etwa hundert eingereichten Vorschlägen auswählt. Um den Mathe-Assen einen guten Einstieg in die 4,5-Stunden-Klausur zu verschaffen, ist die erste Aufgabe immer die leichteste.

Das wissen die Teilnehmer natürlich und lösen diese zum Warmrechnen mitunter in wenigen Minuten, um sich danach den schweren Brocken zuzuwenden. Die erste, vermeintlich leichteste Aufgabe des Jahres 2009 besitzt in ihrer ursprünglichen Version sogar einen gewissen praktischen Nutzen. Eingereicht wurde sie von einem australischen Mathematiker.

Christian Reiher, ein 25-jähriger Doktorand von der Universität Rostock, erklärt das Problem (siehe auch Video-Kasten):

"Stellen Sie sich vor, sie haben einen Club mit n Mitgliedern." Jedes Mitglied habe eine Nummer, angefangen bei 1, 2, 3 und so weiter bis n. "Die Leute in diesem Club machen sich sehr gern untereinander Geschenke, allerdings sind darunter häufig auch Dinge, die man einfach nur loswerden will", sagt er im Gespräch mit SPIEGEL ONLINE. So komme es immer wieder zu der peinlichen Situation, dass ein Mitglied geschenkt bekomme, was es zuvor selbst verschenkt habe.

Bis hierhin ist alles wie im normalen (Club-)Leben, aber offenbar gibt es unter den n Mitgliedern eines mit einem Faible für Mathematik. Denn um zu verhindern, dass lästige Geschenke nach einer Weile wieder beim ursprünglichen Schenker ankommen, wird eine Regel aufgestellt: Das Mitglied mit der Nummer a darf dem Mitglied mit der Nummer b nur dann etwas schenken, wenn das Produkt a*(b-1) durch n teilbar ist.

Aufgabe der IMO-Teilnehmer war es, zu beweisen, dass mit dieser Regel tatsächlich hässliche Geschenke nie mehr zum ursprünglichen Verschenker zurückkommen können.

Die Jury hat vor den Klausuren übrigens fünf verschiedene Lösungswege für die Aufgabe ermittelt. "Die sind auch alle in den Lösungen der Schüler aufgetaucht", berichtet Christian Reiher, der von 2000 bis 2003 Jahren selbst vier Goldmedaillen bei der IMO geholt hat und in diesem Jahr die Lösungen der Schüler bewertet. Die Teilnehmer seien eben sehr kreativ, betont er. Eine Lösung dieser Aufgabe finden Sie hier.

Von einem ganz anderen Kaliber ist dagegen die Aufgabe sechs - die letzte, die am zweiten Tag gestellt wird. Die Jury wählt dafür ein ganz besonders schweres Problem aus, bei der die absoluten Spitzentalente zeigen können, was sie draufhaben. "Wer die lösen kann, ist Weltklasse", sagt Reiher. Für Unerschrockene: Den Aufgabentext finden Sie in der Pdf-Datei auf Seite zwei ganz unten (siehe Kasten) - allerdings ohne Lösung!

Am Donnerstagabend war der knifflige Teil der IMO zumindest für die Schüler vorbei. Die meisten wussten dann schon ziemlich genau, wie viele der maximal 42 Punkte sie wohl erreichen würden. Die Korrektur nimmt mehrere Tage in Anspruch, auch weil die Lösungen aus diversen Sprachen erst ins Englische übersetzt werden müssen.

Im deutschen Team herrschte Zuversicht. Top-Favoritin Lisa Sauermann, die schon 2008 Gold gewann, hat wohl alle sechs Aufgaben richtig gelöst, Bertram Arnold und Jens Reinhold jeweils vier. Die anderen drei aus der Mannschaft dürften genug Punkte gesammelt haben, um zumindest eine Bronzemedaille zu bekommen.

Am Donnerstagabend nach der letzten Klausur trafen sich fast alle Teilnehmer zum IMO-Fußballturnier auf dem Campus der Bremer Jacobs University. Das deutsche Team bildete gemeinsam mit Österreich, der Schweiz und Liechtenstein eine Mannschaft, die allerdings auf Anhieb gleich zwei Spiele verlor.

Erstaunliche Allianzen gab es bei zwei anderen Teams: Nord- und Südkorea bildeten eine Mannschaft, ebenso Serbien, Bosnien und Montenegro. Auch wenn ihre Regierungen kaum miteinander reden, unter Mathematikern scheint es keine Berührungsängste zu geben.

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