Mathe-Rätsel-Erfinder Herr der Kopfnüsse

Viele Menschen gehen Problemen aus dem Weg, Elias Wegert freut sich über jedes: Seit mehr als 30 Jahren entwickelt der Freiberger Professor Mathe-Rätsel, die allenfalls Hochbegabte lösen können. SPIEGEL ONLINE stellt eine seiner kniffligsten Kopfnüsse vor - und die Lösung.

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Was immer Elias Wegert auch tut - stets läuft in seinem Hinterkopf ein Programm ab: der Problemscanner. Beim Weg ins Büro an der Bergakademie Freiberg, abends zu Hause oder beim Handwerken - überall sucht der Matheprofessor unbewusst nach Problemen, die sich vielleicht für eine Aufgabe eignen, an der sich sogar die weltbesten Talente die Zähne ausbeißen.

1986 hatte Wegert eine solche Kopfnuss gefunden. An die Ecken eines Fünfecks werden fünf ganze Zahlen geschrieben. Ihre Summe ist positiv, einige der Zahlen können aber auch negativ sein. Wenn es darunter eine negative gibt, dann addiert und subtrahiert man diese von den Nachbarzahlen nach einer einfachen Regel (siehe Kasten). Irgendwann, so scheint es, gibt es unter den fünf Zahlen keine negative mehr. Aber gilt das auch für alle erdenklichen Ausgangszahlen?

Tückisch auf den zweiten Blick

Das Fünfeck-Problem wurde im Jahr 1986 auf der Internationalen Mathematikolympiade in Warschau gestellt. Von den anwesenden 210 Schülern, den weltbesten Talenten im Alter bis zu 19 Jahren, konnten gerade mal elf die Aufgabe lösen. "Die Aufgabe erscheint auf den ersten Blick ganz harmlos", sagt Wegert im Gespräch mit SPIEGEL ONLINE. Die Tücke des Problems sei ohne weiteres nicht zu erkennen.

In dieser Woche findet die nächste Internationale Mathematikolympiade (IMO) statt - in Bremen. Und Wegert ist auf jeden Fall dabei, um die Lösungen der Mathe-Genies zu bewerten. Vielleicht müssen Schüler sogar ein von Wegert entwickeltes Rätsel lösen - aber darüber darf der Professor nicht sprechen. Das verbietet das strenge Reglement des Wettbewerbs der Superrechner.

"Ich habe schon viele Aufgaben entwickelt", erzählt Wegert. "Oft nimmt man ein bekanntes Problem und ändert es. Man denkt in eine andere Richtung." Seit DDR-Zeiten ist Wegert Mitglied der Matheolympiaden-Aufgabenkommission für die Abiturstufe. Nach der Wende kam noch ein Sitz im Kuratorium des Bundeswettbewerbs Mathematik dazu. Sowohl die DDR-Matheolympiade als auch der westdeutsche Bundeswettbewerb haben sich ins 21. Jahrhundert gerettet - ein Kuriosum im wiedervereinigten Deutschland.

An die Aufgaben für den internationalen Wettbewerb werden ganz besondere Anforderungen gestellt: "IMO-Aufgaben sollen kurz und prägnant sein - und eine kurze, schwer zu findende Lösung haben", sagt Wegert. Jedes der mehr als hundert Teilnehmerländer kann Aufgaben vorschlagen. Eine Kommission wählt daraus dann die sechs aus, welche die Schüler in zwei Klausuren lösen müssen. "Schöne Aufgaben finden - dazu gehört auch ein bisschen Glück", erzählt der Freiberger Forscher. "Man entwickelt im Lauf der Jahre auch ein Gefühl dafür, was lohnend ist."

Die Fünfeck-Aufgabe von 1986 geht auf ein Geometrie-Problem zurück. "Wir saßen Mitte der achtziger Jahre zusammen und haben Aufgaben diskutiert", erinnert sich Wegert. Er und seine Kollegen sammeln das ganze Jahr über Ideen. In einer ging es um ein nicht konvexes n-Eck, dessen Ecken so lange nach innen und außen geklappt wurden, bis es konvex ist. "Das Problem hat mich beschäftigt", sagt Wegert. "Weil mir Geometrie aber nicht so liegt, habe ich es zu einem arithmetischen Problem gemacht."

Schöne und hässliche Probleme

So kamen die Zahlen in die Ecken des magischen Fünfecks. Mathematiker haben das Problem übrigens seitdem wiederholt wieder unter die Lupe genommen. Mehrere wissenschaftliche Arbeiten wurden publiziert, worüber selbst Wegert staunt. Seine Aufgabe hatte sich als äußerst komplexes Problem erwiesen, wenn man sie verallgemeinert.

Die permanente Suche nach mathematischen Rätseln hat Wegert geprägt. Selbst beim Renovieren hat er schon interessante Phänomene entdeckt. "Ich habe vor Jahren eine Wohnung ausgebaut und musste Parkett verlegen und Wände fliesen", sagt er. Wegert arbeitete nicht mit dem heute üblichen Klicksystem - die Parkettstücke waren etwa 30 mal 10 Zentimeter groß und wurden versetzt aneinandergelegt (siehe Fotostrecke oben). "Mir ist dann aufgefallen: Parkettieren ist einfacher als Fliesen. Fliesen werden immer schief, Parkett richtet sich selbst aus. Aber warum bloß?"

Der Mathematik-Professor begann das Problem zu analysieren und stellte dann fest, dass es an der unterschiedlichen Störungsausbreitung liegt. Beim Parkettverlegen werden anfängliche Fehler immer kleiner, beim Fliesen werden sie immer größer.

Wegerts wichtigste Regel als Aufgabenerfinder lautet: "Immer die Augen aufhalten!" Doch nicht alle Probleme des Alltags erweisen sich für den Mathe-Professor als schön und interessant: "Im Leben kann man sich leider nicht aussuchen, welche Aufgaben man lösen soll."

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