Mathematik bizarr Summe aller natürlichen Zahlen ist minus 1/12

Mathematik kann unlogisch wirken. Das demonstrieren zwei Physiker in einem Video: Sie addieren unendlich viele natürliche Zahlen - und kommen auf ein negatives Ergebnis. So absurd das klingt, in der Stringtheorie wird mitunter genau so gerechnet.

Jonglieren mit Zahlen (Archivbild): Absurde Ergebnisse möglich
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Jonglieren mit Zahlen (Archivbild): Absurde Ergebnisse möglich

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Wussten Sie, dass eine Katze neun Schwänze hat? Das lässt sich sogar mathematisch sauber beweisen - in nur drei Sätzen: Keine Katze hat acht Schwänze. Eine Katze hat einen Schwanz mehr als keine Katze. Daraus folgt sofort: Eine Katze hat 8 + 1 = 9 Schwänze.

Auf dieselbe Art ließe sich "beweisen", dass eine Katze sieben oder auch zwölf Schwänze hat. Doch absurde Beweise finden sich nicht nur auf Webseiten, die Mathe-Witze sammeln. Sie stehen auch in seriösen Fachbüchern, wie zwei Physiker der University of Nottingham berichten. In einem Video liefern Edmund Copeland und Tony Padilla auch gleich selbst solch einen bizarren Beweis: Wenn man positive Zahlen addiert, erhält man als Ergebnis eine negative Zahl.

Den beiden Forschern macht es sichtlich Spaß, das absurde Ergebnis auf überzeugende Weise herzuleiten. Sie zeigen, dass die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis unendlich nicht etwa unendlich, sondern minus 1/12 ist. Hier noch einmal ausgeschrieben:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -1/12

"Dieses Ergebnis wird in vielen Gebieten der Physik benutzt", erklärt Copeland. Es sei entscheidend, um beispielsweise auf die 26 Dimensionen der Stringtheorie zu kommen, in der Forscher versuchen, alle physikalischen Theorien zusammenzuführen.

Drei Summen führen zum absurden Ergebnis

Die Beweisführung ist etwas länger als bei der Katze mit neun Schwänzen - aber kaum komplizierter. Sie basiert auf drei Summen, die nacheinander berechnet werden. Alle drei Summen bestehen aus unendlich vielen Summanden:

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

Beginnen wir mit A. Wie groß ist diese Summe? Mathematiker würden vielleicht sagen, dass man das nicht ausrechnen kann. Denn wenn wir das Aufsummieren an einer beliebigen Stelle unterbrechen, kommt entweder 0 oder 1 heraus. Das Problem lässt sich jedoch pragmatisch umschiffen, wie es Physiker gern tun: A kann 0 oder 1 sein, beide Varianten sind quasi gleich wahrscheinlich. Also ist die Summe der Mittelwert aus 0 und 1: A = 1/2.

Weiter geht es mit B: Man addiert zu B sich selbst und erhält 2*B. Wenn man die beiden Summen geschickt untereinander schreibt und dabei die Summanden in der unteren Zeile um eine Position nach rechts schiebt, vereinfacht das die Rechnung: Addieren Sie die untereinander stehenden Zahlen, wie -2 und +1 oder rechts daneben +3 und -2 - das Ergebnis ist entweder +1 oder -1:

2*B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …
            + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + …
       = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …
       = A

Man sieht sofort, dass 2*B = A = 1/2 und damit B = 1/4 ist.

Zahlen geschickt untereinander setzen

Im letzten Schritt muss von C - der Summe, die wir berechnen wollen - die Summe B abgezogen werden. Auch hier ist das geschickte Untereinanderschreiben und Addieren der Zahlen entscheidend. Beachten Sie dabei auch das Minuszeichen vor der Klammer in der zweiten Zeile:

C - B = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …
         -(1  - 2 + 3  - 4 + 5  - 6 + …)
        = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + …

Beim Ergebnis 4 + 8 + 12 + ... können wir nun den Faktor 4 ausklammern:

C - B = 4*(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …)

Der Ausdruck in der Klammer entspricht genau der gesuchten Summe C. Damit erhalten wir:

C - B = 4*C

Nach dem Umstellen nach C ergibt sich:

3*C = -B

C = -B/3

Wir wissen bereits, dass B = 1/4 ist, und damit steht fest:

C = -1/12

Wer immer noch glaubt, dass es sich um einen cleveren Scherz handelt, werfe einen Blick auf die Webseite von Terence Tao, einem der besten Zahlentheoretiker weltweit. "Die Formel ergibt keinen Sinn, wenn man unendliche Summen auf traditionelle Weise berechnet", schreibt Tao. Aber hier wird ja auch anders gerechnet.

Der Physiker Tony Padilla wird noch deutlicher: "Das sieht aus wie mathematischer Hokuspokus - aber es ist keiner. Wir wissen es, weil diese Art von Summen in der Physik auftaucht."

Padilla weiß natürlich, was passiert, wenn man die Summe aller natürlichen Zahlen auf einem Supercomputer berechnet: Das Ergebnis sei "eine sehr große Zahl", weil man ja nicht unendlich viele Zahlen addieren könne. Wenn man jedoch unendliche Summen nur für endlich viele Summanden berechne, komme man auf kontraintuitive Ergebnisse wie minus 1/12.

In jedem Fall sorgt das Video von Copeland und Padilla für lebhafte Diskussionen zwischen Mathematikern, Physikern und interessierten Laien - nachzulesen unter anderem in diesem Posting auf Slate.com.

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insgesamt 205 Beiträge
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Seite 1
sok1950 21.01.2014
1. mal ein paar Vorlesungen Logik besuchen
Zitat von sysopddpMathematik kann unlogisch wirken. Das demonstrieren zwei Physiker in einem Video: Sie addieren unendlich viele natürliche Zahlen - und kommen auf ein negatives Ergebnis. So absurd das klingt, in der Stringtheorie wird mitunter genau so gerechnet. http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html
Eine klassische Logikaufgabe wäre z.B.: Eine Katze hat 9 Schwänze. Aufgabe der logischen "Analyse" ist es nun, die Aussage als wahr oder unwahr zu bestätigen.
Tom Joad 21.01.2014
2. Schnick schnack schnuck
Ohne Mathematiker zu sein ... ... behaupte ich, den Gedanken widerlegen zu können. Natürliche Zahlen sind ganze positive Zahlen. Eine Summe entsteht durch Addition. ---Zitat--- A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + … ---Zitatende--- ... ist keine Summe. Und egal, wo man aufhört, das Ergebnis ist 0 oder 1 und nicht wie behauptet 1/2, und das ist auch schon keine natürliche Zahl mehr. Damit ist der ganze "Beweis" schon im Ansatz hinfällig. *qned* Die Summe aller natürlichen Zahlen ist sehr wahrscheinlich unendlich. Aber das Wort "kontraintuitiv" war mir tatsächlich neu und hat mir sehr gut gefallen!
hirschornsalz 21.01.2014
3.
Der Fehler in dem "Katzenbeweis" liegt darin, dass hier die Ungenauigkeit der Umgangssprache genutzt wird. Das Wort "keine" wird in zwei unterschiedlichen Bedeutungen gebraucht. Das erste "keine" ist ein negativer Existenzquantor (es gibt etwas nicht), das zweite eine Anzahl (null). Beides kann man nicht vergleichen, da es sich um unterschiedliche Kategorien handelt.
michaelXXLF 21.01.2014
4.
Numberphile ist überhaupt ein überaus sehenswerter Kanal! Hier wird in bester britischer Manier anspruchsvollste Wissenschaft spannend und für alle verständlich erklärt.
dipl-inge 21.01.2014
5.
Es gibt 10 Arten von Menschen. Die die binäre Zahlen verstehen und die die es nicht tun :-)
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