Rätselhafte Kreiszahl In Pi könnte Goethes "Faust" stecken

Die Kreiszahl Pi fasziniert Mathematiker seit Jahrtausenden. Mittlerweile ist sie auf zehn Billionen Stellen genau berechnet, doch eines ihrer größten Geheimnisse hat noch niemand gelüftet: Ist in ihr jeder jemals geschriebene Text kodiert?

CARMA/ UC of Newcastle

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Berlin - Stellen Sie sich vor, es gibt ein Buch, in dem alle je von Menschen geschriebenen Texte vereint sind. Shakespeare, Goethe, der erste Schulaufsatz von Albert Einstein - es gibt keinen Gedanken, der darin fehlt. Mehr noch: Das Buch enthält obendrein auch alles, was in Zukunft geschrieben werden wird.

So ein dickes Buch kann es gar nicht geben, werden Sie sagen und haben damit im Grunde recht. Doch trotzdem existiert dieses Buch wahrscheinlich - virtuell in der unendlich langen Zahl Pi. Sie kennen Pi als das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser - die Zahl beginnt mit 3,1415926535…

Falls die unendlich vielen Ziffern von Pi zufällig verteilt sind, wovon viele Mathematiker ausgehen, steckt in Pi jede beliebige Ziffernfolge, die wir uns ausdenken können. Nehmen wir zum Beispiel 00000000 - also acht Nullen hintereinander. An Position 172.330.850 nach dem Komma tauchen die acht Nullen tatsächlich auf. Und an Position 184.688.988 gleich noch mal. Dort aufgespürt hat sie übrigens die Webseite Pi-Search, die auf Knopfdruck die ersten 200 Millionen Stellen der Kreiszahl durchsucht.

Wir können Buchstaben problemlos mit Zahlen kodieren, ein Computer macht nichts anderes. Wenn in Pi aber jede beliebige Ziffernfolge steckt, ist in Pi auch jeder beliebige Text kodiert. Die Frage ist nur, wie viele Millionen, Milliarden oder Billiarden Stellen wir benötigen, bis wir beispielsweise auf den Text von Goethes "Faust" stoßen.

Der Schauspieler George Takei ("Raumschiff Enterprise") hat dieses verblüffende Phänomen kürzlich auf seiner Facebook-Seite beschrieben - und damit eine Debatte in den sozialen Netzwerken losgetreten. Mittlerweile haben sich auch Mathematiker in die Diskussion eingeschaltet - mit David Bailey und Jonathan Borwein sogar zwei ausgewiesene Experten in Sachen Pi. "Sind die Ziffern von Pi zufällig?", fragen sie in ihrem Blog Math Drudge und liefern die Antwort gleich mit: "wahrscheinlich, vielleicht…".

Ist die Kreiszahl normal?

Mathematisch gesehen geht es um die Frage, ob Pi eine normale Zahl ist oder nicht. Pi wäre laut Definition dann normal, wenn beispielsweise die Ziffer 3 ein Zehntel aller Ziffern von Pi stellt. Gleiches müsste für alle übrigen Ziffern wie 1, 5 oder 7 gelten.

Aber normal sein bedeutet noch mehr: Eine beliebige Folge zweier Ziffern, etwa 27, taucht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/100 auf, wenn wir die Nachkommastellen von Pi in Gruppen aus zwei Ziffern zerlegen. Und Ähnliches muss für Folgen aus vier Ziffern gelten, zum Beispiel 2689: Diese sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10000 anzutreffen, wenn die Nachkommastellen in Gruppen aus vier Ziffern zerlegt werden.

Bislang sind freilich nur die ersten 10 Billionen Nachkommastellen von Pi bekannt. Die aufwendige Berechnung im Jahr 2011 dauerte 191 Tage, durchgeführt haben sie der Japaner Shigeru Kondo und der Amerikaner Alexander Yee mit einem um Dutzende Festplatten erweiterten Highend-PC. Beide stellten einen neuen Rekord für die Pi-Berechnung auf - für die Zufallsverteilung der Ziffern interessierten sie sich nicht.

Bislang scheint alles dafür zu sprechen, dass die Kreiszahl Pi tatsächlich eine normale Zahl ist, ebenso übrigens wie die Eulersche Zahl e (=2,7182818…) und die Quadratwurzel aus 2 (=1,4142135…). Nur ist es bislang keinem Mathematiker gelungen, dies zu beweisen. Die Normalität von Pi und e ist auch deshalb kurios, weil jede einzelne ihrer Ziffern vorherbestimmt ist, man kann sie mit Computerhilfe berechnen.

Normale Zahlen konstruieren

Es gibt immerhin einige unendlich lange reelle Zahlen, für die man zeigen kann, dass sie normal sind. Zum Beispiel die sogenannte Champernowne-Zahl. Der Mathematiker David Champernowne konstruierte sie im Jahr 1933, indem er die natürlichen Zahlen, beginnend bei Null, fortlaufend als Nachkommastellen hintereinander schrieb. Die Zahl lautet:

0,12345678910111213141516171819202122…

Ebenfalls nachgewiesen normal ist die sogenannte Copeland-Erdös-Zahl. Sie entsteht, wenn man sämtliche Primzahlen beginnend bei 2 der Größe nach als Nachkommastellen aneinanderreiht. Vor dem Komma steht wie bei der Champernowne-Zahl eine Null:

0,2357111317192329313741434753596167…

David Bailey vom Lawrence Berkeley National Laboratory hat kürzlich gemeinsam mit Kollegen interessante Visualisierungen der Zahlen Pi, e und Logarithmus(2) veröffentlicht. Diese zeigen Milliarden Nachkommastellen als bunte Wolke in einem Diagramm. Eine unregelmäßige Form einer Wolke gilt als Indiz dafür, dass die ihr zugrundeliegende Zahl normal ist.

Für die Wolkendarstellung mussten die Mathematiker Pi allerdings in ein anderes Zahlensystem umrechnen. Wir nutzen im Alltag bekanntlich das Zehnersystem mit den Ziffern von 0 bis 9. Computer arbeiten intern mit Dualzahlen, die nur aus den Ziffern 0 und 1 bestehen. Dabei werden Zahlen als Vielfache von Zweierpotenzen dargestellt. Die uns bekannte 13 entspricht beispielsweise der Dualzahl 1101 (=1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20).

Random Walk auf dem Gitter

Baileys Team rechnete Pi in das Zahlensystem mit der Basis 4 um, das vier Ziffern besitzt - und zwar 0, 1, 2 und 3. Die Beispielzahl 13 wird darin zu 31 (=3*41 + 1*40). Pi = 3,14159... entspricht im 4-er System der Zahl 3,0210033... (Umrechnung bei Mathisfun.com).

Der Hintergedanke dabei: In einer solchen Darstellung lässt sich die Zahl sehr gut als Wanderung in einem Diagramm darstellen (Random Walk). Man startet in einem zweidimensionalen Gitter an dem Punkt mit den Koordinaten (0,0). Wenn die folgende Nachkommastelle eine Null ist, bewegt man sich auf dem Gitter ein Kästchen nach rechts, bei einer Eins ein Kästchen nach oben, bei einer Zwei eins nach links und bei einer Drei eins nach unten. Diese Bewegung wird Schritt für Schritt ausgeführt - von einer Nachkommastelle zur nächsten.

Das Ergebnis ist eine Wanderung in Form einer Zickzacklinie - daher der Name Random Walk. Färbt man die dabei erreichten Punkte auch noch entsprechend ihrer Position in der Ziffernfolge ein, erhält man eine in den Regenbogenfarben schillernde Wolke.

Auf der Webseite gigapan.com können Sie sich durch die ersten 100 Milliarden Stellen von Pi (zur Basis 4) zoomen. Die Grafik hat eine Auflösung von 372.224 mal 290.218 Pixeln. Die Stellen unmittelbar hinter dem Komma sind rot gefärbt, dann folgen orange und grün. Die kurz vor Position 100 Milliarden erreichten Punkte sind blau, violett und schließlich wieder rot gefärbt.

Die Form der Pi-Wolke spricht übrigens dafür, dass Pi in der Darstellung zur Basis 4 eine normale Zahl ist. Wäre sie das nicht, würde beim Random Walk eine Richtung bevorzugt werden - die Kurve müsste in diese Richtung laufen. Bailey und seine Kollegen haben die Normalität von Pi auch mit einer anderen Methode untersucht - in der Darstellung als Hexadezimalzahl auf rund vier Billionen Stellen. Auch dabei fanden sie keine Indizien dafür, dass Pi nicht normal ist. Bewiesen ist die Normalität von Pi damit freilich nicht, schließlich hat die Zahl unendlich viele Nachkommastellen.

Mathematiker wissen, dass in der Zahlentheorie kuriose Dinge möglich sind: Beispielsweise gibt es mit der sogenannten Stoneham-Konstante eine Zahl, die in der Darstellung als Dualzahl (nur Ziffern 0 und 1) nachweisbar normal ist. Schreibt man sie jedoch mit Sechserpotenzen auf (Ziffern 0 bis 5), ist sie nicht mehr normal, was sich sogar mathematisch exakt zeigen lässt.

Für die Zahl Pi ist ein solcher Beweis bislang nicht in Sicht. "Wir haben ein paar Ansätze, aber wir wissen nicht, wie nah wir der Lösung sind", sagt David Bailey. Das Ganze bleibe ein sehr schwieriges Problem. "Vielleicht können wir aber die Normalität einiger anderer Konstanten beweisen."

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insgesamt 343 Beiträge
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Seite 1
machmud 29.04.2013
1.
ich hab zwar alles bis zum ende gelesen aber verstanden hab ich trotzdem zu wenig
felisconcolor 29.04.2013
2. Um es mit einer
Zitat von sysopCARMA/ UC of NewcastleDie Kreiszahl Pi fasziniert Mathematiker seit Jahrtausenden. Mittlerweile ist sie auf zehn Billionen Stellen genau berechnet, doch eines ihrer größten Geheimnisse hat noch niemand gelüftet: Ist in ihr jeder jemals geschriebene Text kodiert? http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html
anderen bekannten Person auszudrücken. Faszinierend Mathematik ist schon was tolles. Schade das es immer mehr Menschen gibt die nicht einmal eins und eins zusammen zählen können und einem dann die Welt erklären wollen.
Mindbender 29.04.2013
3. ...
Zitat von sysopCARMA/ UC of NewcastleDie Kreiszahl Pi fasziniert Mathematiker seit Jahrtausenden. Mittlerweile ist sie auf zehn Billionen Stellen genau berechnet, doch eines ihrer größten Geheimnisse hat noch niemand gelüftet: Ist in ihr jeder jemals geschriebene Text kodiert? http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html
Und wenn ein Affe, der wahrlos Buchstaben auf ein Papier kritzelt unendlich viel Zeit hätte, würde er auch irgendwann Schillers Wilhelm Tell fabrizieren... dieses Gedankenspiel ist alt.
mcmercy 29.04.2013
4.
Zitat von sysopCARMA/ UC of NewcastleDie Kreiszahl Pi fasziniert Mathematiker seit Jahrtausenden. Mittlerweile ist sie auf zehn Billionen Stellen genau berechnet, doch eines ihrer größten Geheimnisse hat noch niemand gelüftet: Ist in ihr jeder jemals geschriebene Text kodiert? http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html
Wenn die Nachkommastellen von pi zufällig verteilt sind, dann wüde das doch gerade gegen den Faust sprechen, denn der ist ja keienswegs zufällig. Keine echte Sprache weist eine zufällige Verteilung der Buchstaben auf, es gibt immer Häufungen bestimmter Buchstaben und Wortfolgen. Es ist also im Grunde ausgeschlossen, dass ein vollständiger Text in der gleichen Reihenfolge in pi vorkommt. man wird sicherlich einzelne Worte dort finden können aber in wahlloser Reihenfolge.
komodus 29.04.2013
5. ?
Habe nur Bahnhof verstanden.
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