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Mathematisches Gesetz verletzt: Zahlenforscher findet Hinweise auf Wahlmanipulation in Iran

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Kann man den iranischen Wahlergebnissen ansehen, dass sie gefälscht sind? Ein Astronom hat nachgerechnet - und herausgefunden: Bei angeblich für Ahmadinedschad abgegebenen Stimmen taucht die Ziffer 2 auffällig häufiger auf, als es die Gesetze der Mathematik erwarten lassen.

Wer ein Buch ein bisschen zu oft in die Hand nimmt, hinterlässt darin Spuren. Abgegriffene Seiten, Eselsohren, das Papier wird abgenutzt. Der US-Mathematiker und Astronom Simon Newcomb kam dank eines solch abgewetzten Buches 1881 auf die Spuren eines verblüffenden Gesetzes - das jetzt plötzlich im Zusammenhang mit der iranischen Präsidentschaftswahl Beachtung findet.

Newcomb hatte viel mit Zahlen zu tun und brauchte damals Logarithmentafeln zum Rechnen. Vor hundert Jahren, als es weder Computer noch Taschenrechner gab, waren diese Bücher der schnellste Weg, um komplizierte Berechnungen durchzuführen. In den Tafeln befinden sich Zahlen, die mit 1 beginnen, auf den ersten Seiten. Jene, die mit 9 anfangen, stehen ganz hinten. Newcomb fiel eines Tages auf, dass die vorderen Seiten in dem Rechenbuch deutlich stärker abgegriffen waren als die hinteren. Dafür gab es nur eine Erklärung: Newcomb rechnete häufiger mit Zahlen, die mit 1 begannen. Er fragte sich: Gibt es in der Welt viel mehr 100er- und 1000er- als 800er- und 8000er-Zahlen?

Benfordsches Gesetz: Erst 1, dann 2, ganz selten nur 9
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Benfordsches Gesetz: Erst 1, dann 2, ganz selten nur 9

Die Antwort gab Jahrzehnte später der US-Elektroingenieur Frank Benford. 1938 berichtete er in einer Fachzeitschrift über eine Analyse von mehr als 20.000 Zahlen. Ergebnis: Ob es sich um Einwohnerzahlen von Städten, physikalische Konstanten aus einem Tabellenwerk, die Auflagen von Zeitungen, Zahlen aus dem "Reader's Digest" oder die Entwässerungsgebiete von Flüssen handelte - stets waren die Zahlen nach einer verblüffenden Regel verteilt. 30 Prozent begannen mit der Ziffer 1, etwa 17 Prozent mit 2, 12 Prozent mit 3. Die Ziffer 9 sollte hingegen nur bei 4 Prozent aller Ergebnisse auftauchen (siehe Grafik).

118 Jahre nach Newcombs Erkenntnis ist es nun erneut ein Astronom, dem in einem Zahlenwust auffällt, dass etwas anders ist als zu erwarten wäre. Der Franzose Boudewijn Roukema von der Nicolaus-Copernicus-Universität im polnischen Torun hat sich die umstrittenen Ergebnisse der iranischen Präsidentschaftswahlen genauer angesehen.

Er hat die Einzelergebnisse von 366 Wahlkreisen von einem Server des iranischen Innenministeriums als Excel-Tabelle heruntergeladen und überprüft, ob sie dem sogenannten Benfordschen Gesetz genügen. Doch ausgerechnet bei den Stimmen für den umstrittenen angeblichen Wahlsieger Mahmud Ahmadinedschad (Spalte C in der Excel-Tabelle) entdeckte Roukema auffällige Abweichungen vom Benfordschen Gesetz - im Gegensatz zum Ergebnis von Oppositionsführer Hossein Mussawi.

In einer 14-seitigen Arbeit, eingereicht bei den "Annals of Applied Statistics" und vorab auf arxiv.org veröffentlicht, legt Roukema seine Ergebnisse im Detail dar. Demnach gehorchen die Stimmenzahlen aus den 366 Wahlkreisen im Grundsatz durchaus dem Benfordschen Gesetz - allerdings mit zwei Ausnahmen. Beim weit abgeschlagenen Kandidaten Mahdi Karrubi (offizielles Ergebnis 0,85 Prozent, Spalte E) taucht die Ziffer 7 wesentlich häufiger auf als erwartet. Und bei Ahmadinedschad ist die Ziffer 1 unterrepräsentiert, zugunsten der Ziffer 2.

Forscher Roukema ist vorsichtig, was aus dieser unerwarteten Verteilung zu folgern ist. "Die Anwendung des Benfordschen Gesetzes als Abschätzung für die Verteilung der Wählerstimmen bleibt spekulativ", schreibt er. Tatsächlich kann der Zufall hinter dem Phänomen der fehlenden Einsen stecken, das ist nie ausgeschlossen.

Es ist ohnehin verblüffend, dass die Stimmenzahlen der Wahlkreise Benford-verteilt sind. Wären alle Wahlkreise ähnlich groß, etwa zwischen 100.000 bis 500.000, dann würde dies nicht zutreffen. Roukema verweist ausdrücklich darauf, dass die Stimmenzahlen der Wahlkreise zwischen mehreren Zehnerpotenzen schwanken - eine wichtige Voraussetzung für die Benfordsche Verteilung.

Falls aber doch Manipulationen für die Abweichungen verantwortlich sind, dürfte es sich nach Roukemas Berechnungen um etwa 20 Eingriffe in Ahmadinedschads Stimmstatistiken handeln. Auf diese Weise könnten jeweils 15.000 bis 150.000 Stimmen hinzugekommen sein - macht zusammen ein Plus von etwa drei Millionen für Ahmadinedschad.

Langer Weg von der 100 zur 200

Das Benfordsche Gesetz liefert übrigens nicht nur Hinweise auf Manipulationen von Präsidentschaftswahlen, auch Bilanztricksereien lassen sich damit aufspüren. Denn selbst Aktienkurse und Zahlen aus Unternehmensbilanzen gehorchen der Verteilung.

Gerade an Aktienkursen lässt sich gut erklären, warum sich Zahlen mit einer 1 am Anfang so häufen. Ein Beispiel: Nehmen wir an, ein Unternehmen wächst jedes Jahr um zehn Prozent. In derselben Größenordnung soll auch der Kurs des Wertpapiers steigen. Wenn das Papier am Anfang des ersten Jahres bei 100 steht, liegt der Kurs ein Jahr später bei 110, noch ein Jahr später bei 121, dann bei 133, danach bei 146 und so weiter. Es dauert fast acht Jahre, bis das Papier die Marke von 200 erreicht. Danach geht es allerdings deutlich schneller voran. Auf 200 folgen ein Jahr später 220 und noch ein Jahr danach 242. Bei einem Kurs von 900 vergeht nur etwas mehr als ein Jahr, bis die 1000er Marke geknackt ist - denn 900 plus zehn Prozent sind schon 990.

Fazit: Der Kurs benötigt viele Jahre, bis er die 100er Werte verlässt. Je größer die erste Ziffer, umso schneller wechselt diese zur nächsthöheren. Und bei einem Kurs von 1000 geht das Spiel dann wieder von vorne los.

Das Benfordsche Gesetz ist also dadurch zu erklären, dass Zahlen relativ zu ihrer eigenen Größe wachsen oder schrumpfen. Bei den Wählerstimmen in Iran würde die Verteilung dann schlicht das Bevölkerungswachstum der vergangenen Jahrhunderte widerspiegeln.

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