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Numerator: Apfelmännchen erobert die dritte Dimension

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Der Fraktal-Hype liegt schon 20 Jahre zurück, doch Mathematikern lässt das Thema keine Ruhe. Jetzt erlaubt ein britischer Programmierer faszinierende Einblicke in eine seltsam vertraute Kunstwelt, die das Apfelmännchen in die dritte Dimension bringt.

Fotostrecke

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Bizarre Welten: Mandelbrot in 3D

Was waren das für Zeiten! Anfang der neunziger Jahre saß ich vor einem 386er-PC mit Farbmonitor und schaute dem Programm Fractint bei der Arbeit zu. Zeile für Zeile rechnete das Programm die Farbe der Bildpunkte aus - und nach wenigen Minuten war das Apfelmännchen in knallig bunten Farben fertig. Wollte man in die sogenannte Mandelbrot-Menge hineinzoomen, dann dauerte die Berechnung wieder ein paar Minuten.

Im Angesicht des Apfelmännchens mussten sogar Rechenmuffel einräumen, dass Mathematik einiges mit Kunst und Ästhetik zu tun hat. Die Suche nach Schönheit, die auf Gleichungen beruht, treibt bis heute Menschen an und lässt sie nach neuen Formeln suchen. Daniel White, ein 32-jähriger Programmierer aus Bedford in England, ist einer von ihnen. Schon seit mehreren Jahren versucht er, das Apfelmännchen in die dritte Dimension zu übertragen - und jetzt ist ihm das zumindest in Ansätzen gelungen.

Auf der Website Skytopia präsentiert er die faszinierenden Aufnahmen des Objekts, das er Biest und auch Mandelknolle nennt - eine Reverenz an den Mathematiker Benoît Mandelbrot, Autor des Bestsellers "Die fraktale Geometrie der Natur". Die Knolle erinnert entfernt an Brokkoli, Nahaufnahmen zeigen organisch wirkende Strukturen, die an manchen Stellen aussehen, als hätte man sie wie Kaugummi auseinander gezogen. Meist sind die Strukturen hochfiligran, doch es gibt auch geradezu profan wirkende Bereiche, die aussehen wie ein Stück Vanilleeis.

"Manche sagten, das geht nicht"

Schon seit längerem haben Mathematiker versucht, die berühmte Mandelbrot-Menge in die dritte Dimension zu bringen. Den Anfang machte vor 20 Jahren der US-Amerikaner Rudy Rucker, Autor diverser Science-Fiction-Romane. In Internetforen wie fractalforums.com wurden verschiedene Ansätze diskutiert und Hunderte Grafiken hochgeladen. Daniel Whites Mandelknolle gehört ohne Zweifel zu den gelungensten Arbeiten.

Dabei war anfangs sogar unklar, ob überhaupt so etwas wie eine dreidimensionale Mandelbrot-Menge existiert. "Manche sagten, das geht nicht", schreibt White auf seiner Website. Tatsächlich gebe es keine 3D-Version der komplexen Zahlenebene, in der die Mandelbrot-Menge liegt. Das Ganze könne enden wie die Suche nach dem Monster von Loch Ness, schwante dem Programmierer.

Warum ist der Sprung in die dritte Dimension überhaupt so schwierig? Die Mandelbrot-Menge ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Diese haben die Form a + b*i, wobei a die reale Komponente und b*i die imaginäre Komponente ist. Dabei sind a und b reelle Zahlen und i ist die Quadratwurzel aus -1 (i2 = -1).

Chaos in der Ebene komplexer Zahlen

Ob eine komplexe Zahl c zur Mandelbrot-Menge gehört oder nicht, entscheidet sich bei einer Rekursion, also der wiederholten Berechnung mit einer Formel, in die immer wieder das Ergebnis der vorherigen Berechnung eingesetzt wird. Die Zahl c gehört zur gesuchten Menge, wenn die Folge mit der Bildungsregel

zn+1 = zn 2 + c

nicht divergiert, also die Werte nicht Richtung unendlich laufen. Ist dies der Fall, dann wird der Punkt der Zahl c in der komplexen Zahlenebene schwarz gezeichnet. Die x-Achse repräsentiert dabei den Realteil der Zahl c, die y-Achse den imaginären Teil. Auf diese Weise entsteht das bekannte Apfelmännchen, das immer feinere Strukturen aufweist, je genauer man rechnet.

Auch wenn man sofort an Selbstähnlichkeit denkt, ist die die Mandelbrot-Menge kein Fraktal im engeren Sinn, denn ihre Strukturen wiederholen sich nicht auf identische Weise wie etwa bei der Koch-Kurve oder dem Sierpinski-Dreieck.

Um in drei Dimensionen rechnen zu können, nutzte White sogenannte Kugelkoordinaten, die jeden Punkt durch zwei Winkel und einen Radius definieren. Mit diesen Koordinaten führte Whites Software dann immer wieder aufs Neue jene Berechnungen durch, die auch bei der Mandelbrot-Menge in zwei Dimensionen zum Einsatz kommen (näheres zur Rechenmethode finden Sie hier). Wie beim Apfelmännchen auch gehört ein Punkt dann zur 3-D-Mandelbrot-Menge, wenn er trotz vielfacher Iteration nicht vom Nullpunkt des Koordinatensystems wegwandert.

Die ersten Ergebnisse waren allerdings ernüchternd: Von einer Ähnlichkeit zum Apfelmännchen keine Spur, auch Änderungen am sphärischen Koordinatensystem brachten keine Besserung. Schließlich probierte es White einfach mit höheren Potenzen in der Formel - eine Idee, die der Mathematiker Paul Nylander hatte. Statt bei der Iteration die Zahlen zu quadrieren, nahm er ihre achte Potenz - eine Methode, die gelegentlich auch in zwei Dimensionen angewandt wird.

Am wichtigsten sind die Schatten

Jetzt sahen die Strukturen schon vielversprechend aus - aber es fehlte noch eine passende Software, die das 3-D-Objekt im richtigen Licht inklusive Schatten erscheinen ließ. Diese musste White selbst programmieren, weil er nichts passendes fand. Er positionierte virtuelle Scheinwerfer im dreidimensionalen Raum und ließ das Licht per Software auf das dreidimensionale Mandelbrot-Gebilde wirken. "Erst die Schatten machten die Feinheiten sichtbar", sagt White. Die Berechnung in achter Potenz habe sich in Bezug auf Details und Schönheit als gute Wahl herausgestellt.

Auch wenn die Kunstwelt der Mandelknolle fasziniert - eine perfekte dreidimensionale Mandelbrot-Menge ist sie noch nicht. Das weiß der Engländer spätestens, seit er sein Biest genauer unter die Lupe genommen hat. "Eiskrem von Neptun" hat White jenen Bereich genannt, in dem plötzlich glatte, ebene Strukturen auftauchen - siehe Fotostrecke.

"Wir warten immer noch auf die Mandelknolle", schreibt der US-Mathematiker Rudy Rucker in seinem Blog. Die Suche nach der perfekten 3-D-Mandelbrot-Menge geht weiter.

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Forum - Diskussion über diesen Artikel
insgesamt 11 Beiträge
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1. Die Korrekturen
alaunemad 30.12.2009
Schön, dass die Fehler und Unstimmigkeiten behoben wurden, z.B. Bindestriche weg und Website zu Webseite. Aber warum wurde aus Jetzt erlaubt ein britischer Programmierer faszinierende Einblicke in eine fremdartig und zugleich vertraute Kunstwelt, die das Apfelmännchen in die dritte Dimension bringt. Jetzt erlaubt ein britischer Programmierer faszinierende Einblicke in eine seltsam vertraute Kunstwelt, die das Apfelmännchen in die dritte Dimension bringt. ?
2. ..
tylerdurdenvolland 30.12.2009
Na endlich tut mal ein Wissenschaftler etwas gegen Umweltverschmutzung, Klimawandel und Atom Waffen. Dank sei Ihm, und dem Spiegel der uns bei den wesentlichen Dingen immer auf dem laufeneden hält!!
3. Sieht huebsch aus, keine Frage!
pu_king81, 30.12.2009
Sieht huebsch aus, keine Frage! Was ist aber jetzt die mathematische Aussage? Hier wurde ja nicht versucht eine Loesung fuer ein streng mathematisches sondern "nur" fuer ein aestetisches Problem zu finden (soweit ich den Artikel verstehe, die Formeln von der entsprechenden HP habe ich mir nicht angeguckt). In den Naturwissenschaften laeuft dies aber meiner Erfahrung nach andersherum ab: erst kommt die Mathe und dann die Andwendung in der Realitaet. Nun gut, warum soll die Rueckkopplung nicht mal andersrum laufen? Gruessle, pu
4. Phänomenal - aber ohne "Komplexe"
Paul Panda 30.12.2009
In der Tat: sehr beeindruckend! Ich kenne das erwähnte Programm zum Erzeugen von Fraktalmustern ebenfalls noch von früher und bin heute noch begeistert darüber, wie aus einfachen Gleichungen solch hochkomplexe Muster entstehen können. Auch der erwähnte Rudi Rucker ist mir mit seinem Buch über die Geheimnisse der vierten Dimension, das ich besitze, noch in guter Erinnerung. Zu meinem Erstaunen geistern jedoch immer noch die komplexen Zahlen durch alle Artikel, die sich mit dieser Materie befassen. Das halte ich für blanken Unsinn: Ich habe früher selbst einige Programme in Basic geschrieben, die in der Lage waren, anhand einfacher Grundformeln Mandelbrodtfiguren zu erzeugen. Diese (wirklich sehr einfachen) Formeln wurden in den Achtzigern einmal in "Spektrum der Wissenschaft" veröffentlicht. Komplexe Zahlen kommen in Basic jedoch nicht vor (und dennoch funktionierte das Programm wunderbar): Man setzt ganz einfach nur Zahlenpaare aus allen vier Quadranten des Koordinatensystems in eine relativ einfache Formel ein, die außer den Grundrechenarten keine Besonderheit zu bieten hat (das bedeutet also: x,y / -x,y / -x,-y/ x,-y). Für x und y verwendet man Zahlen mit möglichst vielen Nachkommastellen. Das Ergebnis der Berechnung wird wiederum in die Formel eingesetzt (Iteration). Manche Zahlenpaare aus den vier Quadranten werden mit jedem Schritt immer größer - und andere wiederum bleiben nach noch so vielen Schritten konstant. Man legt nun eine (willkürliche) Grenze fest und zählt die Iterationsschritte, die benötigt werden, um diese Grenze zu überschreiten. Dann verknüpft man die Schrittzahl mit Farben und setzt diese Farbe als Pixel genau an den Koordinaten ein, die man für die Berechnung (per Abscannen) gewählt hat - und fertig ist die 2D-Mandelbrodtfigur. Von komplexen Zahlen keine Spur! Da komplexe Zahlen auch etwas mit den Quadranten im Koordinatensystem zu tun haben, hat wohl irgend ein Autor dies einmal verwechselt, und seither wurde es ohne Hinterfragung immer wieder abgeschrieben.
5. Quaternionen
tglimm 30.12.2009
Frage an Forumsteilnehmer, die sich hier auskennen (unten mit LaTeX Notation): Die "offensichtliche" Methode der Veralgemeinerung von 2D auf 3D ist es doch, die Iterationsformel z_{n+1}=z_n+c ueber die Quaternionen \mathbb{H} zu betrachten, und dann die natuerliche Identifizierung \mathbb{H} ~ \mathbb{R}^4 der Quaternionen mit dem 4-dim. Raum zu nutzen. (Wenn man nur an 3D interessiert ist, beschraenkt man sich eben in den entsprechenden Unterraum der Quaternionen.) Gibt's dabei irgendwelche Probleme??
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