Numerator Rätsel des Möbiusbands gelöst

Welche Form hat eine Schleife, wenn man sie mit verdrehten Enden zusammenklebt? Das sogenannte Möbiusband fasziniert Mathematiker und Künstler seit Jahrzehnten, niemand konnte bisher seine genaue Form berechnen. Jetzt haben zwei Forscher das Rätsel gelöst.

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Fast jeder kennt sie: die Ameisen des M.C. Escher, die der Künstler auf einer Endlosschleife hintereinander herkrabbeln lässt. Sie laufen auf der einen Seite des Bandes - und tauchen dann plötzlich auf der anderen auf, um nach einer weiteren Runde wieder ihren Startpunkt zu erreichen. Die wundersame Schleife trägt den Namen Möbiusband und wurde bereits 1858 unabhängig von zwei deutschen Mathematikern entdeckt.

Das verschlungene Band entsteht, wenn man einen längeren Streifen entlang der Längsachse um 180 Grad dreht und die beiden Enden zusammenklebt. Die verblüffenden Eigenschaften der Schleife haben nicht nur Künstler wie Escher inspiriert. Ingenieure montieren Förderbänder und Antriebsriemen als Möbiusband, damit sich beide Seiten des Bandes gleichmäßig abnutzen. Sie nutzen die Tatsache, dass es bei der Schleife weder oben und unten noch innen und außen gibt.

Erstaunliches geschieht, wenn man einem Möbiusband mit einer Schere zu Leibe rückt. Was passiert zum Beispiel, wenn ein Band entlang der Mittellinie in Längsrichtung zerschnitten wird? Zerfällt es in zwei Hälften? Mitnichten: Es entsteht ein neues Band doppelter Länge. Noch verrückter ist das Ergebnis beim Dritteln des Streifens entlang der Längsachse: Jetzt zerfällt das Band tatsächlich - aber in zwei ineinander verschlungene Schleifen, eines davon ist wieder ein Möbiusband. Probieren Sie es selbst aus - mit der PDF-Vorlage zum Ausdrucken.

Wie siehts's aus?

Trotz seiner großen und langen Bekanntheit bereitete das Möbiusband Mathematikern bislang einiges Kopfzerbrechen. Seine Eigenschaften hatte man zwar gut verstanden. Aber niemand war in der Lage zu berechnen, wie eine verschlungene Schleife genau aussieht, wenn man die Enden zusammenklebt.

"Es scheint eine einfache Frage zu sein - Kinder spielen damit", sagte Eugene Starostin vom University College London. Aber wenn man Experten frage, wie man das modellieren könne, gebe es keine Antworten. Die ersten Versuche, Möbiusbänder mathematisch zu beschreiben, gab es in den dreißiger Jahren - jedoch vergeblich.

Starostin und sein Kollege Gert van der Heijden haben das Rätsel nun gelöst. Die beiden Forscher bedienten sich einer einer relativ jungen, nicht einmal 20 Jahre alten Theorie, dem variationellen Bikomplex. "Die ist außerhalb von Mathematikerkreisen kaum bekannt", sagte van der Heijden im Gespräch mit SPIEGEL ONLINE.

Ausgangspunkt der Überlegungen von Starostin und van der Heijden war eines der wichtigsten Prinzipien der Physik: Systeme streben stets den energieärmsten Zustand an - so auch das Möbiusband. "Wir haben die energetischen Auswirkungen von Torsion und Krümmung berücksichtigt", erklärte van der Heijden. Den Forschen half, dass das Aussehen eines Möbiusbandes vollständig durch seine Mittellinie beschrieben werden kann.

Die Form, die die Schleife annehme, minimiere die Deformationsenergie, die auf das Verbiegen zurückzuführen sei, schreiben die Forscher im Fachblatt "Nature Materials". Schließlich stellten sie ein Gleichungssystem auf, dessen Lösung der gesuchte Zustand minimaler Energie ist.

"Es gab keine Hoffnungen, die Gleichungen analytisch zu lösen", sagte van der Heijden. Aber man könne numerisch eine Lösung finden, also durch systematisches Annähern mithilfe eines Computers. "Wenn man erst mal die Gleichungen hat, ist das kein Problem mehr."

Minimalvariante als Dreieck

Das erste Ergebnis: Die Form einer Endlosschleife hängt allein von einer einzigen Zahl ab, dem Verhältnis zwischen Länge und Breite des Streifens. Das reicht aus, um die Krümmung und Drehung des Bandes - und damit sein Aussehen - zu berechnen. Die Theorie eignet sich nicht nur für den klassischen Möbiusstreifen. Auch wenn ein Ende nicht nur um eine halbe, sondern um anderthalb Runden vor dem Zusammenkleben gedreht wird, liefern die Gleichungen ein Ergebnis.

Auch ein Extremfall des Möbiusbandes kann mit den Gleichungen beschrieben werden. Es gibt nämlich einen Minimalwert für das Verhältnis aus Länge und Breite des Streifens. Der Quotient muss mindestens so groß sein wie die Wurzel aus drei - also etwa 1,73 -, sonst lassen sich die beiden Enden nicht zusammenfügen. Das Möbiusband nimmt in diesem Fall die Form eines gleichseitigen Dreiecks an, das aus drei Lagen Papier besteht. Das normalerweise nur gebogene Band besitzt plötzlich drei scharfe Knicke.

Jene Punkte am Möbiusband, die im Extremfall knicken, sind es auch, an denen die Energiedichte besonders hoch ist - oder anders gesagt: die Beanspruchung. Und genau das nutzt jeder aus, der versucht, ein Blatt zu zerreißen. "Dabei erzeugen wir sich überschneidende Falten wie an den Eckpunkten eines Möbiusbandes", schreiben die Forscher in "Nature Materials".

So gesehen ist die Arbeit Starostin und van der Heijden auch eine Arbeit über das Zerreißen von Papier. Durchschnittsbürger machen es intuitiv, Wissenschaftler bemühen komplexe mathematische Theorien.

Korrektur: Beim Dritteln eines Möbiusbandes entstehen nicht zwei ineinander verschlungene Möbiusbänder, wie es in diesem Text hieß, sondern nur eines und eine Schleife. Das zweite Band ist doppelt verdreht statt nur um eine halbe Runde wie beim Möbiusband.

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Forum - Diskussion über diesen Artikel
insgesamt 20 Beiträge
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Seite 1
a.michailidis 19.07.2007
1. Gleichung?
Nur schade, dass sich die Gleichung, die das Band beschreibt, nicht im Artikel befindet. Ist die "Kleinsche Flasche" ein ähnliches Konstrukt, nur um eine Dimension höher?
Avalarion, 19.07.2007
2. Und die Formel
Super Artikel. Hat jemand einen Link zur Formel? Würde die mir gerne mal ansehen =).
BerndTaunusstein, 19.07.2007
3.
Endlich wissen wir, wie man das Möbiusband berechnet, und wie man es ganz easy doppelt so lang kriegt, wenn es zu kurz sein sollte! Ich werde ein neues Leben beginnen! Gruß, Bernd :))
jacke07 19.07.2007
4. Moebiusband
Hallo zusammen! In der PDF Vorlage wird behauptet, dass beim Zerschneiden eines Moebiusbandes stets ein Moebiousband (beim Halbieren) beziehungsweise zwei Moebiusbaender (beim Dritteln) entstehen. Das ist natuerlich nicht richtig. Beim Halbieren erhaelt man ein orientierbares Band doppelter Laenge. Beim Dritteln erhaelt man zwei ineinanderverschlungene Baender, von denen eines orientierbar und das andere nicht orientierbar ist. Man beachte, dass ein Moebiusband sich von einem "normalen" oder auch orientierbaren Band durch seine Nicht-Orientierbarkeit unterscheidet. Wer wissen will, was "orientierbar" und "nicht-orientierbar" bedeutet, schaue z.b. bei Wiki "Moebiusband" nach. Viel Spass
Johanneskuhr 19.07.2007
5. Möbius
Bekommt man denn nicht auch aus der Gleichung der Boyschen Fläche eine für das Möbisudband. Ist es nicht möglich aus der Boyschen Fläce eine Scheibe auszuschneiden, so dass der Rest sich nicht mehr schneidet?
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