Numerator Schneller warten

O nein, schon wieder die U1 verpasst! Wer viel mit öffentlichen Verkehrsmitteln unterwegs ist, mag sich regelmäßig schwarz ärgern: Wieder nur die Rücklichter des Zugs gesehen, wieder warten. Dabei kann Bahnfahren ganz entspannt sein - dank moderner Mathematik.

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Von einer U-Bahn in eine andere umzusteigen ist wie ein Lotteriespiel. Steht die Bahn schon da, kommt sie gleich oder erst in acht Minuten? Besonders ärgerlich ist es, wenn die Anschlussbahn einem direkt vor der Nase wegfährt. Hätte sie nicht noch 30 Sekunden warten können? Oder die andere Bahn eine Minute früher ankommen?

Diese Fragen haben sich die Planer der Berliner U-Bahn immer wieder gestellt. Sie wissen genau, dass ihre Fahrgäste zufriedener sind, wenn die Warte- und Umsteigezeiten möglichst kurz sind. Im Laufe der Jahre haben sie deshalb einen Fahrplan entwickelt, den sie für perfekt hielten. Allerdings nur so lange, bis ihn Mathematiker des Forschungszentrums Matheon der TU Berlin genauer unter die Lupe genommen haben.

Das Team von Christian Liebchen hat das Problem analysiert und festgestellt, dass der Fahrplan letztlich in das Gebiet der sogenannten Graphentheorie fällt. Die Aufgabe ähnelt damit auch der Suche nach einer Sudoku-Lösung oder der klassischen Frage, wie viele Farben man braucht, um die Länder einer Landkarte so einzufärben, dass aneinandergrenzende Staaten stets verschieden gefärbt sind.

"Es gibt keinen besseren Fahrplan"

Liebchen hat das U-Bahn-Problem in einen Graphen übersetzt, also ein komplexes Netzwerk aus Knoten und Verbindungslinien, das zunächst Abermilliarden von Lösungen besitzt. Durch geschicktes Ausprobieren und anschließendes Bewerten und Aussortieren von Lösungen konnte der eigens dafür entwickelte Algorithmus die Menge der in Frage kommenden Fahrpläne immer weiter eingrenzen, bis schließlich die optimale Lösung gefunden war. "Das Ergebnis ist nicht nur ein bisschen besser als der vorher genutzte Plan, es handelt sich um die exakte Lösung", erklärt Sebastian Stiller, der gemeinsam mit Liebchen an dem Projekt gearbeitet hat. "Wir haben bewiesen, dass es keinen besseren Plan gibt."

Seit 2005 fährt die Berliner U-Bahn in den für Umsteiger besonders kritischen Randzeiten so, wie es die Mathematiker ausgerechnet haben. In diesen Zeiten verkehren die Züge im Zehn-Minuten-Takt. Die mittlere Wartezeit beim Umsteigen hat sich durch den neuen Fahrplan von 2 Minuten 48 Sekunden auf 2 Minuten 30 Sekunden verkürzt. Der Anteil schneller Anschlüsse mit besonders kurzen Wartezeiten ist von 55 auf 60 Prozent gestiegen. Und was die Controller der Berliner Verkehrsbetriebe (BVG) besonders freute: Dank der neuen Planung wurde ein ganzer U-Bahn-Zug eingespart.

Wie ist dieses Kunststück geglückt? Das Prinzip des Graphen, den die Mathematiker genutzt haben, lässt sich sehr gut an einem extrem vereinfachten U-Bahn-Netz erklären, das aus nur zwei Linien mit je drei Haltestellen besteht. Die mittleren Stationen beider Linien sind identisch, hier können Fahrgäste umsteigen (siehe Fotostrecke oben). Die Linien verkehren nur in einer Richtung.

Minuten zählen statt Erbsen

Wir nehmen an, dass beide Linien in einem Vier-Minuten-Takt fahren. Wenn wir weiterhin annehmen, dass die U-Bahnen exakt eine Minute halten und die Fahrgäste beim Umsteigen von einer Linie zur anderen wegen des Weges exakt eine Minute brauchen, dann wird sofort klar, dass beide Linien besser nicht zugleich in der mittleren Station ankommen sollten. Sonst würden die Benutzer beider Linien nämlich immer ihre Anschlüsse so verpassen, dass sie drei Minuten warten müssten (der Weg von Bahnsteig zu Bahnsteig ist bereits abgezogen).

In welchem Abstand sollten die beiden Linien die Umsteigestation also erreichen? Denkbar sind eine, zwei oder drei Minuten. Was hat das für Konsequenzen für die Wartezeiten? Im ersten und im dritten Fall muss ein Teil der Fahrgäste zwei Minuten warten, bis die Anschlussbahn in die Station einfährt. Die anderen Umsteiger kommen nach einer Minute Weg auf dem anderen Bahnsteig an - und in diesem Moment rollt die U-Bahn auch ein. Wartezeit null Minuten.

Im Fall zwei, die Linien erreichen den Umsteigebahnhof im Abstand von zwei Minuten, beträgt die Wartezeit für Fahrgäste beider Züge immer eine Minute - auch hier ist die Wegzeit bereits abgezogen.

Was wäre dann die fairste Lösung? Wahrscheinlich würden sich die Planer für die Variante mit dem Zwei-Minuten-Abstand entscheiden. Allerdings ist die durchschnittliche Wartezeit in allen drei Fällen gleich: eine Minute.

Erweitert man diese simple Variante auch um Züge, die in der Gegenrichtung fahren, kommen weitere Umsteigeoptionen dazu.



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Seite 1
GrafZahl 07.09.2009
1. Rmv
Nein, die Pointe steht noch nicht im Titel. Möge ein verantwortlicher Mitarbeiter beim Rhein-Main-Verkehrsverbund diesen Artikel lesen. Er könnte viel lernen, zum Beispiel daß Fahrgäste auf kurze Umsteigezeiten stehen und daß sich das machen läßt. Für Strecken, die mit dem Auto 20 Minuten dauern würden, kann man hier schon gerne mal 1-2 Stunden einplanen, und die meiste Zeit davon verplempert man mit warten. Tagsüber. Abends wird es dann noch schlimmer. Wenn er etwas weiter denkt könnte er sogar zu dem Schluß kommen, daß Verspätungen, Ausfälle und sonstige Störungen zu noch längeren Umsteigezeiten führen. Und darauf stehen die Fahrgäste ganz und gar nicht.
Motorpsycho 07.09.2009
2. Beweis
Soso, die haben also bewiesen, dass es keine bessere Lösung gibt. Glaube ich nicht. Die haben allenfalls bewiesen, dass es in ihrer Theorie keine bessere Lösung gibt. Oder haben die ihre Modelle auch mit dem Mengengerüst der Passagiere versehen, welches von Tageszeit und vielen anderen Einflüssen (Veranstaltungen etc.) abhängig sind? Wenn ein fast leere Zug länger warten muss als der proppenvolle, wäre das mitunter eine bessere Lösung. Was ist mit der Varianz der tatsächlichen Umsteigezeiten und der tatsächlichen Pünktlichkeit? Sind die im Modell berücksichtigt und entsprechen diese der Realität?
Jan B. 07.09.2009
3. Immer diese Hektik
Ich weiß nicht, was die leute immer für Probleme haben, wenn sie früh in die Öffentlichen Verkehrsmittel einsteigen. Da darf keine Sekunde verschwendet werden und zur Not stemmt man mit Gewalt sich bereits schließende Türen wieder auf, zwängt sich in den Zug hinein und verzögert somit die Abfahrt des Selbigen um weitere Sekunden. Ist es denn so schlimm, mal auf die nächste Bahn zu warten die 5 bzw. 10 min später kommt? Aber auch das ist ein Symptom unserer Gesellschaft geworden, jede Sekunde zu nutzen, auch wenn man sich damit über alle Regeln des guten Benehmens und manchmal auch über einige gesetzlichen Normen hinwegsetzt. Anstatt über Sekunden zu reden, sollte man doch einfach früh 10 min eher aufstehen, dann gibts keinen Stress.
dsct, 07.09.2009
4. Bitte nicht nur die U-Bahn betrachten
Somit ist mir nun klar, wieso neuerdings so viele Anschlüsse in Berlin nicht mehr funktionieren. Hier scheinen mir andere Verkehrsmittel nicht miteinberechnet worden zu sein, zumindest ist davon im Artikel keine Rede. Jedenfalls unterstehen der BVG ebenfalls noch der Straßenbahn- und Omnibus-Verkehr sowie die Fähren. Außerdem müsste auch der Anschluss an den S-Bahn und Regionalverkehr berücksichtigt werden. Falls das tatsächlich "mitoptimiert" wurde, ist es gründlich schiefgegangen.
AllesGrau, 07.09.2009
5. Viel zu kompliziert
Das Geheimnis liegt im Takt - ist der Takt schnellgenug, müssen die Fahrgäste keine Fahrpläne mehr auswändig lernen und stellen sich einfach andie Haltestelle und warten bis die nächste Transport- möglichkeit ankommt. Egal ob man die aufeinanderabgestimmt hat! Wenn der Fahrgast erst einmal auf die Uhr guckt, istalles zu spät ;-) Was war eigentlich zuerst da, der niedrige Taktoder die hohen Fahrgastzahlen ? Ich finde einen 20-Minuten-Takt im S-Bahn-Verkehrnoch vertretbar, aber im Nahverkehr (Bus, Tram) sind 20 Minuten zu lang.
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