Numerator Tief in uns schlummert der Logarithmus

Das Einmaleins reicht, denken viele, anspruchsvollere Mathematik ist zu kompliziert. Forscher haben nun gezeigt, dass der Mensch eine erstaunliche Gabe besitzt: Er denkt logarithmisch. Das mutmaßliche Erbe der Evolution wird jedoch verdrängt - ausgerechnet durch den Mathe-Unterricht.

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Wenn ich Kollegen frage, was der Zehnerlogarithmus von 100 ist, ernte ich Stirnrunzeln oder irritierte Blicke. "Das ist schon so lange her", heißt es, vereinzelt kommt noch "War das nicht irgendwas mit einem Exponenten?" oder ein verunsichertes "Ist das nicht 2?".

Linear versus logarithmisch: Testpersonen aus Boston ordnen Zahlen anders auf einer Skala als erwachsene Munduruku
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Linear versus logarithmisch: Testpersonen aus Boston ordnen Zahlen anders auf einer Skala als erwachsene Munduruku

Ja, stimmt. Denn 102 ist genau 100. Wer eine Zahl logarithmiert, sucht den Exponenten zu einer bestimmten Basis (in unserem Fall 10), so dass BasisExponent gleich der Ausgangszahl ist. Was im Mathematikunterricht noch intensiv gepaukt wurde, spielt im Alltagsleben freilich kaum eine Rolle. Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion, die nach der Schule schnell in Vergessenheit gerät.

Aber warum eigentlich? Tief in seinem Innern denkt der Mensch nämlich logarithmisch, wie eine Studie von Psychologen mit Munduruku jetzt bestätigt hat, einem indigenen Volk, das im Amazonaswald lebt. Die Ureinwohner besitzen nur ein eingeschränktes Vokabular für Zahlen, für sechs und acht kennen sie beispielsweise keinen Begriff. Zudem haben Munduruku keine mathematische Bildung westlicher Prägung, was sie zum idealen Studienobjekt für Untersuchungen macht, in denen es um die Wurzeln mathematischer Denkstrukturen geht.

Fundamentale Veranlagung?

Stanislas Dehaene vom College de France in Paris und seine Kollegen hatten 33 Munduruku im Kindes- und Erwachsenenalter vor einen solarbetriebenen Laptop gesetzt. Auf dem Monitor befand sich ein Schieberegler, den die Probanden hin- und herbewegen konnten. Eine Skala fehlte, nur linkes und rechtes Ende der Strecke waren mit 1 und 10 bezeichnet. Die Probanden bekamen dann Zahlen vorgegeben, entweder als Wort oder als Menge von Punkten, und sollten den Regler an die passende Position auf der Strecke zwischen 1 und 10 schieben.

Das verblüffende Ergebnis: Die Munduruku ordneten die Zahlen nicht linear an, sondern wie auf einer logarithmischen Skala. Kleinere Zahlen wie 2 oder 3 bekamen deutlich mehr Abstand untereinander zugewiesen als größere, etwa 8 und 9. Ein ähnliches Phänomen hatten Forschern bei früheren Studien mit Kindern aus westlichen Ländern beobachtet, die sich noch im Vorschulalter befanden. Auch sie ordneten die Zahlen logarithmisch. Erwachsene aus dem Raum Boston, mit denen das Team von Dehaene den im Dschungel durchgeführten Test wiederholte, nutzten hingegen die uns eher vertraute lineare Einteilung.

"Unsere Untersuchungen zeigen, dass Menschen eine fundamentale Veranlagung dafür haben, Zahlen und Raum zusammenzubringen", sagt Harvard-Forscherin Elizabeth Spelke, Co-Autorin der Studie, die im Wissenschaftsmagazin "Science" (Bd. 320. S. 1217) erschienen ist. Offenbar sei eine logarithmische Anordnung von Zahlen universell. Die lineare Skala, die Schüler und Erwachsene aus westlichen Ländern verwendeten, sei vermutlich Ergebnis der mathematischen Ausbildung und habe somit kulturelle Gründe.

"Offensichtlich können Menschen Zahlen auf zwei verschiedene Arten räumlich sortieren", erklärt Dehaene. Die logarithmische Methode sei die intuitivere, sie sei Ergebnis der Primatenevolution. Menschen würden sie immer noch nutzen, solange sie über kein mathematisches Handwerkszeug verfügten. "Durch Bildung erlernen wir auch lineares Skalieren."

Logarithmus brachte Vorteile in der Evolution

Was aber steckt hinter dem uns offensichtlich innewohnenden logarithmischen Denken? Dehaene und seine Kollegen verweisen auf das sogenannte Weber-Fechner-Gesetz. Schon vor über 170 Jahren hatte der Physiologe Ernst Heinrich Weber festgestellt, dass die Stärke von Sinneseindrücken sich logarithmisch zur Intensität des physikalischen Reizes verhält. Der Logarithmus ist uns Menschen offenbar regelrecht einprogrammiert.

Aber auch die Evolution könnte nachgeholfen haben: Die logarithmische Skala ist einfach kompakter als eine lineare, erklären die Forscher. Man könne damit leicht mehrere Größenordnungen auf einmal überblicken - und dies relativ präzise.

Dieser Gedanke leuchtet ein: Die Unterscheidung, ob zwei oder drei Mitglieder eines feindlichen Stammes sich nähern, ist wichtiger als die Frage, ob eine größere Angreifergruppe nun aus 25 oder 30 Personen besteht. Je größer die Zahlen sind, umso mehr kommt das Prinzip Pi mal Daumen zum Tragen - auch aus praktischen Gründen.

Und der Logarithmus steckt nach wie vor in uns drin: Selbst Schule und Studium können das nichtlineare Denken nicht völlig auslöschen. Die Erwachsenen aus dem Raum Boston, die den Schiebereglertest machten, nutzten nämlich unter Umständen immer noch eine verzerrte Skala, wie die Forscher herausfanden. Und zwar immer dann, wenn sie statt konkreter Zahlen eine Haufen Punkte als Vorgabe bekamen, deren genaue Menge sie nicht überblicken konnten.

Wenn Sie also wieder mal jemand nach dem Logarithmus einer Zahl fragt, dann stellen sie am besten die Gegenfrage: "Können Sie die Zahl nicht als Punktmenge auf Papier bringen? Dann kann ich sie besser logarithmieren."

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