Rätsel der Woche Ochsen, Pferde und 1770 Taler

Ein Mann möchte für 1770 Taler Tiere kaufen. Die Preise je Pferd und Ochse stehen fest und es soll kein Taler übrig bleiben. Ist das möglich?

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Vor ein paar Wochen bekam ich eine Mail von einer Bekannten mit dem Betreff "Hilfe! Mathe!" Es ging darin um ein Problem, das ihr 13-jähriger Sohn als Hausaufgabe bekommen hatte und dessen Lösung Mutter wie Sohn überforderte.

Ich habe mir das Rätsel dann genauer angesehen - und es ist in der Tat schwieriger als es den Anschein hat. Es geht auf den Mathematiker Leonard Euler zurück - und ich bin gespannt, ob und wie schnell Sie es lösen können.

Hier der Original-Aufgabentext aus dem 1821 erschienenen Buch "Auszug aus Herrn Leonard Eulers vollständigen Anleitung zur Algebra", herausgegeben von Johann Jacob Ebert:

"Ein Amtmann kauft Pferde und Ochsen zusammen für 1770 Taler. Für ein Pferd zahlt er 31 Taler, für einen Ochsen aber 21 Taler. Wie viel sind es Pferde und Ochsen gewesen?"

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frank_lomberg 10.03.2018
1. Einfacher geht auch
Aufgrund der auf 1 endenden Preise für Ochse und Pferd muss die Gesamtzahl aller gekauften Tiere durch 10 teilbar sein. Dividiert man nun 1770 durch den Ochsenpreis und den Pferdepreis, erhält man eine obere und untere Grenze für die Gesamtzahl der gekauften Tiere, nämlich 84 und 57. Dazwischen gibt es nur 3 durch 10 teilbare Zahlen: 60, 70 und 80. Mit denen man dann 3 Gleichungssysteme aufstellen kann, z.B. 21x+31y=1770 und x+y=60. Diese sind trivial zu lösen und führen zu den bereits vorgestellten Lösungen.
DerDifferenzierteBlick 10.03.2018
2. @frank_lomberg
Exakt so hab ich es auch gemacht..
rotella 10.03.2018
3. Anderer Ansatz
Ansatz: Er kauft (10a+b) Pferde und (10c-b) Ochsen. +b und -b bedingen sich wegen der auf 1 endenden Preise und der durch 10 teilbaren Gesamtsumme: 31(10a+b) + 21(10c-b) = 1770 mit b = 0..9 31a + 21c = 177 -b = 168..177 a muss also zwischen 0 und max. 5 liegen, ich probiere alle sechs Varianten durch und sehe, dass es nur drei Lösungen geben kann: a b c 5 1 1 3 0 4 0 9 8 Eingesetzt in die beiden Terme oben für die Anzahl der Tiere ergeben sich dann die Werte wie aus der Musterlösung.
ps71 10.03.2018
4. Oder noch einfacher
Zitat von frank_lombergAufgrund der auf 1 endenden Preise für Ochse und Pferd muss die Gesamtzahl aller gekauften Tiere durch 10 teilbar sein. Dividiert man nun 1770 durch den Ochsenpreis und den Pferdepreis, erhält man eine obere und untere Grenze für die Gesamtzahl der gekauften Tiere, nämlich 84 und 57. Dazwischen gibt es nur 3 durch 10 teilbare Zahlen: 60, 70 und 80. Mit denen man dann 3 Gleichungssysteme aufstellen kann, z.B. 21x+31y=1770 und x+y=60. Diese sind trivial zu lösen und führen zu den bereits vorgestellten Lösungen.
Es geht auch ganz ohne Gleichungen: Mit der Erkenntnis, dass die Gesamtzahl durch 10 teilbar sein muss, kann man auch wie folgt weiter überlegen: Es müssen mindestens 60 Tiere sein. 60 Pferde kosten 1860 Taler, also 90 zu viel. Jedes Pferd, das ich durch einen Ochsen ersetze, spart mir 10 Taler, also sind es 51 Pferde und 9 Ochsen. Die anderen Lösungen ergeben sich entsprechend aus 70 bzw. 80 Tieren.
IQ149 10.03.2018
5. Nachtrag zu den Weinkisten (eine schöne Abrundung)
Kurz nachdem das zugehörige Forum geschlossen wurde, habe ich folgende Erkenntnis gewonnen. Eine einfache und in dem 9x4-Schema leicht nachvollziehbare Strategie mit worst case 6 lautet: A: Ziehe 3 Flaschen aus einer Kiste (Ergebnis: XYZ) B: Ziehe 3 Flaschen aus der Kiste mit Deckel XYZ. Bei jeder Kistenwahl in A ist nach den ersten beiden Flaschen eine Differenzierung möglich, die den best case 3 und viele case 4 und 5 Fälle ermöglicht, im case 3 muss allerdings die dritte Flasche unter einem anderen Deckel als in B gezogen werden.
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