Sammelsticker zur Fußball-WM So funktioniert die Panini-Formel

Wer rechnen kann, ist klar im Vorteil: Für das Sammeln der beliebten WM-Sticker von Panini gibt es eine Formel. Sie zeigt, wie viele Aufkleber man theoretisch kaufen muss, bis das Album voll ist.

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Panini-Sticker: Wie viele gesuchte Aufkleber stecken in der Tüte?
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Panini-Sticker: Wie viele gesuchte Aufkleber stecken in der Tüte?


Wie viele Aufkleber muss ich kaufen, damit das Panini-Album zur Fußball-WM 2014 komplett ist? 640 würden theoretisch reichen. Genauso viele verschiedene Motive gibt es. Dazu bräuchte man extrem viel Glück. Viel wahrscheinlicher ist, dass unter gekauften 640 Stickern etliche doppelt oder mehrfach auftreten.

Um das Album zu füllen, muss man also Geduld haben - und immer wieder neue Tüten vom Kiosk holen. Der Aufwand ist hoch: Im Durchschnitt müsste ein Sammler 4505 Aufkleber kaufen, damit alle 640 Motive darunter sind. Diese Zahl kann man leicht mit der Sammelbilderformel ausrechnen. Diese setzt voraus, dass alle 640 Sticker gleich häufig vorkommen. Außerdem nehmen wir an, dass wir die Aufkleber einzeln nacheinander kaufen.

Wir beginnen mit null Motiven. Wie viele Sticker muss ich kaufen, um einen zu haben, der mir noch fehlt? Die Antwort ist einfach: genau einen. Wir können statt 1 auch 640/640 schreiben. Warum wir diesen Weg wählen, werden Sie gleich sehen.

Wie viele Sticker muss ich danach kaufen, um einen weiteren, noch fehlenden Aufkleber zu bekommen? Ein Motiv von 640 habe ich bereits, 639 fehlen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Sticker nicht dem ersten entspricht, beträgt 639/640. Ich muss daher 640/639 Aufkleber kaufen, um zwei verschiedene zu haben.

Nun kleben schon zwei im Album. Wie viele muss ich kaufen, damit es drei sind? Die Wahrscheinlichkeit, ein neues Motiv zu bekommen, beträgt 638/640 - ich benötige demnach im Durchschnitt 640/638. Macht zusammen: 640/640 + 640/639 + 640/638.

Das sieht nach einer Regel aus. Die gesuchte Sammelbilderformel geht dann sicher weiter mit 640/637, 640/636 - und als letzte Summanden folgen 640/2 und 640/1. Ja, das ist tatsächlich der Fall!

Denn nehmen wir an, uns fehlen nur noch zwei Motive. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, eines der fehlenden Motive zu bekommen, genau 2/640. Im Mittel muss ich daher 640/2 Sticker kaufen. Das entspricht genau dem vorletzten Summanden.

Jetzt fehlt nur noch ein Motiv. Die Wahrscheinlichkeit, es zu erhalten, beträgt 1/640. Das Reziprok davon ist 640/1 - genau so viele Aufkleber sind (im Mittel) nötig, um das letzte, noch fehlende Motiv zu bekommen. Man kann großes Glück haben, und es steckt schon in der ersten Tüte. Aber man kann auch Pech haben, und auch nach 128 Tüten (= 640 Sticker) fehlt der Aufkleber immer noch.

Die Sammelbilderformel für 640 Motive lautet daher:

640/640 + 640/639 + 640/638 + ... + 640/3 + 640/2 + 640/1

Wir klammern nun 640 aus und vertauschen die Reihenfolge der Summanden:

640 · (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/638 + 1/639 + 1/640)

Den Ausdruck in der Klammer nennen Mathematiker Partialsumme der Harmonischen Reihe. Wenn Sie diese Summe ausrechnen, kommen Sie auf das Ergebnis 4505,3. Genau so viele Aufkleber muss ein Sammler im Durchschnitt kaufen, bis er alle 640 Motive zusammen hat.

Sie haben bei der Herleitung gesehen, dass vor allem die Beschaffung der letzten fehlenden Motive sehr aufwendig ist. Kaufen ist da keine sinnvolle Strategie. Mit Tauschen kommt man garantiert schneller und günstiger ans Ziel.

Man kann die Sammelbilderformel auch nutzen, um herauszufinden, mit wie vielen unterschiedlichen Motiven ich rechnen kann, wenn ich 100, 500 oder 1000 Sticker kaufe. Die folgende Tabelle zeigt das exemplarisch:

Mit wie vielen verschiedenen Motiven darf man rechnen?

Gekaufte Sticker Unterschiedliche Motive
100 93
200 173
300 240
400 298
500 347
1000 506
1500 579
2000 612
2500 627
3000 634
4505 640

Angaben sind Mittelwerte, die für 640 gleichverteilte Motive gelten.

Noch eine Anmerkung zur Berechnung: Streng genommen stimmt diese nicht ganz, denn Panini garantiert, dass in einer Tüte stets fünf verschiedene Motive stecken, Dopplungen also ausgeschlossen sind. Bei der Herleitung der Sammelbilderformel geht man aber davon aus, dass jeder Sticker jedes der 640 Motive sein kann - Dopplungen in einer Tüte wären also möglich.

Diese wären allerdings selten - man kann die Wahrscheinlichkeit dafür leicht ausrechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Motiv nicht dem ersten entspricht, ist 639/640. Für Sticker drei, vier und fünf ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten 638/640, 637/640 und 636/640. Das Produkt dieser vier Brüche ist die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit: 0,98445. Mit anderen Worten: Unter 100 zufällig mit je 5 Stickern gefüllten Tüten gäbe es im Schnitt 1,5 Tüten, in denen ein Motiv doppelt oder mehrfach auftaucht.

Die Berechnungen zur Sammelbilderformel stellen somit eine Obergrenze dar, in Wahrheit ist die Anzahl der nötigen Motive etwas kleiner. Den genauen Wert zu bestimmen, ist deutlich schwieriger als die hier gezeigten Berechnungen.



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insgesamt 5 Beiträge
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Seite 1
marcel2101 23.04.2014
1. *gähn*
Hochinteressant, wirklich!
gnarze 23.04.2014
2. Interessant...
... aber das setzt voraus, dass eine Spieler im gleichen Verhältnis in den Päckchen sind, was ich allerdings bezweifele.
majensen 23.04.2014
3. Doch ... interessant!
Ich finde den Artikel sehr gut, vom Thema her und auch vom Schreibstil. Die Berechnung ist sehr gut erklärt, unabhängig vom Vorwissen. Gerne mehr davon!
foobar99 24.04.2014
4. Ernsthaft?
Das hat uns der Autor doch schon (mindestens) 2011 und 2012 vorgerechnet. Auf die Beiträge wird sogar im verlinkten Wikipedia-Artikel verwiesen.
perello 24.04.2014
5.
Zitat von foobar99Das hat uns der Autor doch schon (mindestens) 2011 und 2012 vorgerechnet. Auf die Beiträge wird sogar im verlinkten Wikipedia-Artikel verwiesen.
Naja, ist halt schon wieder WM. Was soll man machen? Im übrigen ist der 2012er-Artikel für Sammler wirklich lohnenswert: http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematiker-rechnen-wie-man-das-panini-album-schneller-und-billiger-fuellt-a-834189.html
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