Panini-Sticker-Statistik: Lahm besiegt Neuer mit 334 zu 178

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Sind die Panini-Aufkleber zur EM 2012 wirklich gleich verteilt? Oder tauchen einzelne Sticker seltener auf, wie mancher Sammler argwöhnt? Die Umfrage unter den Lesern von SPIEGEL ONLINE zeigt, dass es durchaus größere Schwankungen gibt. Das muss aber nicht an Panini liegen.

EM-Aufkleber: Größere Schwankungen als erwartet Fotos
SPIEGEL ONLINE

"Schon wieder Gomez! Den habe ich doch schon viermal." Als Sammler von Panini-Stickern braucht man eine gewisse Leidensfähigkeit. Es fehlen nur noch wenige Bilder, aber in den geöffneten Tüten stecken immer nur Aufkleber, die man schon mehrfach hat. Viele Sammler glauben, dass hinter dem Phänomen der ungleichen Verteilung System steckt. Panini bestreitet das übrigens. Alle Einzelbilder würden gleich häufig produziert, heißt es. Aber kann man das glauben? Schließlich wäre eine Ungleichverteilung gut für den Umsatz.

Zur WM 2006 fertigte ein Schweizer Forscher sogar eine kleine Studie dazu an. Er kaufte sich mehr als tausend Aufkleber und sortierte sie nach den vertretenen Nationen. Und siehe da: Die Teams Holland, USA und Angola tauchten deutlich häufiger auf, als zu erwarten war. Bei Holland zählte der Forscher 64 Sticker, bei England und der Schweiz hingegen nur 20 beziehungsweise 24.

Wenn man das Phänomen Sammelbilder jedoch streng mathematisch angeht, dann ist eine Ungleichverteilung der Aufkleber nichts überraschendes - sie ist quasi ein Gesetz. Das Album zur EM 2012 hat 540 Motive. Ein Sammler, der es ohne Tauschen und Nachbestellen fehlender Motive füllen will, muss im Schnitt rund 3700 Sticker kaufen.

Wenn er sich so viele Aufkleber gekauft hat, dann wird er sich fast immer über Bildchen ärgern, die er 15-mal oder 16-mal hat. Das ist umso erstaunlicher, weil er bei 540 verschiedenen Motiven und 3700 gekauften Aufklebern jeden Spieler im Mittel eigentlich siebenmal haben sollte (siehe Fotostrecke). Berechnen kann man diese Menge der doppelten, dreifachen, vierfachen Sticker mit der sogenannten Foata-Han-Lass-Formel.

Aber vielleicht sind die Sticker ja trotzdem ungleich verteilt? Um das herauszufinden, haben wir vor einigen Tagen eine kleine Umfrage unter SPIEGEL-ONLINE-Lesern gestartet. Damit der Aufwand überschaubar blieb, fragten wir nur nach dem Stammtorwart jedes der 16 Teams und nach den Aufklebern der deutschen Spieler. Das Ganze war also eine kleine Stichprobe der insgesamt 540 Sticker.

Fast 10.000 Aufkleber in der Statistik

266 Leser machten mit! Allerdings mussten wir 51 Datensätze aussortieren, weil sie entweder keine oder offensichtlich falsche Eingaben enthielten. Letztendlich kamen dann 215 Datensätze mit insgesamt 9527 Stickern in die Auswertung.

Auf den ersten Blick wirken die Zahlen eher unauffällig (siehe Fotostrecke). Im Schnitt kommt jedes der 38 Motive 251-mal vor. Alle Spieler sind vertreten - und natürlich schwankt die Menge der Sticker von Motiv zu Motiv. Fast alle Sticker liegen in dem Bereich zwischen 200 und 300.

Am häufigsten, nämlich 334-mal, taucht das Bild mit der Nummer 231 auf - der deutsche Kapitän Philipp Lahm. Im Verhältnis zum Mittelwert von 251 ein Plus von immerhin 33 Prozent. Das mit 178 Stück seltenste Motiv (minus 29 Prozent) stammt ebenfalls aus der deutschen Mannschaft. Es ist das Bild 249 und zeigt Manuel Neuer in Aktion. Von Neuer gibt es noch ein zweites Bild (Nr. 229) - das klassische Porträt, das 273-mal vorkommt und damit etwas häufiger als erwartet.

Was bedeuten diese Zahlen nun? Steckt Lahm häufiger in den Tüten, weil der Kapitän besonders beliebt ist? Oder sind die beobachteten Schwankungen normal?

Stunde der Wahrheit: Der Chi-Quadrat-Test

Es gibt eine statistische Methode, um zu prüfen, wie gut die Stückzahlen aus der SPIEGEL-ONLINE-Umfrage zu einer Gleichverteilung passen. Sie heißt Chi-Quadrat-Anpassungstest. Dabei schaut man, vereinfacht gesagt, wie stark die Einzelwerte vom Mittelwert abweichen. Diese Abweichungen werden dann addiert und mit Werten aus einer Tabelle verglichen.

Der Chi-Quadrat-Test der Panini-Sammelbilder hat ein klares Ergebnis: Die Zahlen passen statistisch gesehen nicht zu einer Gleichverteilung.

Wie aber müsste eine Stichprobe aussehen, die dazu passt? Wir haben dazu die Zahlen der Umfrage genommen und die Ausschläge nach oben und unten verringert. Die Abweichungen der einzelnen Stickermengen zum Mittelwert von 251 wurden dabei um 40 Prozent verkleinert. Aus den 334 Philipp-Lahm-Aufklebern wurden dann beispielsweise 301 Sticker. An der Gesamtmenge der Aufkleber änderte sich trotzdem nichts, weil die Menge der unterrepräsentierten Bilder zugleich erhöht wurde.

Die derart manipulierte Statistik passt dann schon deutlich besser zur Gleichverteilung: Die um 40 Prozent Schwankung korrigierten Daten liefern beim Chi-Quadrat-Test ein positives Ergebnis. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent bestätigen diese Zahlen, dass die Sticker tatsächlich gleich verteilt sind.

Dies bedeutet jedoch nicht automatisch, dass die Panini-Sticker tatsächlich ungleich verteilt sind. Zuallererst kann es sein, dass wir bei der Umfrage einfach nur Pech hatten. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist zwar gering, aber es ist nicht ausgeschlossen. Genauso gut könnten einige der Eingaben der Leser falsch gewesen sein. Mancher hat vielleicht schon mehrfache Motive weggetauscht, andere haben in der Auswahlbox falsch geklickt. Und womöglich haben einzelne Umfrageteilnehmer auch Phantasiezahlen angegeben, die auf den ersten Blick plausibel erscheinen - überprüfen konnten wir das nicht.

Das Fazit lautet daher: Die Zahl der Sticker schwankt stärker, als man erwarten würde. Ob dahinter aber Zufall, falsche Eingaben oder eine tatsächliche Ungleichverteilung stecken, lässt sich leider nicht klären.

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insgesamt 28 Beiträge
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1.
Atheist_Crusader 07.06.2012
Zitat von sysopOder tauchen einzelne Sticker seltener auf, wie mancher Sammler argwöhnt?
ÄRGWÖHNT? Das weiß jeder, der in den letzten 30-40 Jahren mal ein Stickeralbum hatte.
2. verstehe ich nicht
ovit 07.06.2012
Zitat von sysopMit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent bestätigen die Zahlen, dass die Sticker gleich verteilt sind.
1. 2. und dann 3. das wichtigste an statistiken ist übrigens, dass man die ergebnisse auch richtig aufbereitet.
3. Plausibel ...
Alfons Emsig 07.06.2012
... wäre diese Stichprobe allemal: Wenn ich bei Panini etwas zu sagen hätte, würde ich für die Deutsche Mannschaft wohl genau so eine Verteilung vorschlagen: Den allseits beliebten Kapitän häufiger eintüten, um dem Käufer schnelle Erfolgserlebnisse zu bescheren: "Wow, erst drei Tüten gekauft und schon Philipp Lahm ergattert!" - Und einen anderen Schlüsselspieler mit kleinerer Fangemeinde deutlich seltener auftauchen lassen: Denn wer will schon eine Sammlung, bei der die Nummer Eins fehlt?
4. Chi-Quadrat Test
spon-1288211190805 07.06.2012
Der Chi-Quadrat Test ergibt zunächst:"Der Chi-Quadrat-Test der Panini-Sammelbilder hat ein klares Ergebnis: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent bestätigen die Zahlen, dass die Sticker gleich verteilt sind." Dann kommt die Manipulation und der Test ergibt:"Die derart manipulierte Statistik passt dann schon deutlich besser zur Gleichverteilung: Die um 40 Prozent Schwankung korrigierten Daten liefern beim Chi-Quadrat-Test ein positives Ergebnis. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent lassen sich die Zahlen durch eine Gleichverteilung erklären." Versteh ich nicht. Ist das ein Schreibfehler oder ergibt der Test beides Mal dasselbe Ergebnis?
5. Hier geht's um die Sache...
horstieeee 07.06.2012
ein Buch zu verkaufen. Und nicht irgendetwas über Panini Bilder Häufigkeiten herrauszufinden.... Ansonsten hätte der Autor bestimmt die Leserantworten auf seinen ersten Artikel gelesen und berücksichtigt. Hat er aber nicht. Der Artikel rührt im Nirvana anstatt, wie vorgeschlagen andere Quellen für die Häfigkeit mit zu Rate zu ziehen. Diese Tabelle ist anhand der eingabe von über 6000 Sammlern rstellt worden: http://www.stickermanager.com/euro12de-de-r_all/euro12de.htm Und nicht von nur ca. 200... Immerhin ergeben beide "Umfragen", daß Phillip Lahm am häfigsten vorkommt. Was ergo tatsächlich auf eine ungleiche Verteilung der Bilchen schließen läßt.
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Wer ein Album, das n verschiedene Sammelbilder hat, vollständig füllen will, muss im Mittel

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Hn = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n.

Dafür existiert eine Näherungsformel:

Hn = ln(n) + 0,5772...

Dabei ist ln(n) der natürliche Logarithmus (zur Basis e=2,71..) und 0,5772... die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante.

Für das Panini-EM-Album von 2012 ergibt sich somit:

Summe = 540*(ln(540 + 0,5772...)

Summe = 540*(6,2916 + 0,5772)

Summe = 3709,64...

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