Primzahlen: Wer lüftet das Geheimnis der Unteilbarkeit?

Von Wolfgang Blum

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23: Und wie weiter? Primzahlen sind so rätselhaft wie fundamental für die Mathematik - bis heute kennt niemand die genauen Zusammenhänge. Mit Großrechnern machen sich Wissenschaftler nun auf die Suche nach den geheimnisvollen Grundbausteinen des Rechnens.

Einfach klingende Fragen können sich in der Mathematik als äußerst vertrackt herausstellen. Die besten Beispiele stammen aus der Forschung über Primzahlen, jene natürlichen Zahlen, die sich nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen lassen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...

Zahlenkolonne aus einer Primzahl: Geheimnisvolle Grundbausteine der Mathematik

Zahlenkolonne aus einer Primzahl: Geheimnisvolle Grundbausteine der Mathematik

Für Don Zagier vom Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn "gehören sie trotz ihrer einfachen Definition zu den willkürlichsten, widerspenstigsten Objekten, die der Mathematiker studiert. Sie wachsen wie Unkraut unter den natürlichen Zahlen, scheinen keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen". Zugleich zeigten sie aber "die ungeheuerlichste Regelmäßigkeit auf und sind durchaus Gesetzen unterworfen, denen sie mit fast peinlicher Genauigkeit gehorchen".

Im Jahr 1742 schrieb der deutsche Gelehrte Christian Goldbach (1690-1746) an seinen Freund, den berühmten Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), er vermute, jede ganze Zahl größer als 5 lasse sich als Summe von drei Primzahlen schreiben. Euler formulierte in seiner Antwort an Goldbach dessen Aussage in eine gleichwertige Behauptung um: "Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 ist die Summe zweier Primzahlen."

Beispiele: 8=5+3, 22=11+11 und 100=53+47. An einem Beweis scheiterte Euler genauso wie alle seine Nachfolger in den nächsten 266 Jahren. Bis heute haben sich die Mathematiker zwar an die Vermutung herangepirscht, an einem vollständigen Beweis bissen sich indes auch die größten Meister die Zähne aus.

Dabei hätte dem Bezwinger der Vermutung nicht nur der Ruhm und die Anerkennung der Fachwelt gewunken, sondern zeitweise sogar eine Million Dollar. Diesen Preis lobten im Jahr 2001 zwei Verlage aus. Die Unternehmen wollten damit freilich weniger den Fortschritt der Mathematik fördern als Werbung treiben für den bei ihnen erschienenen Roman "Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung" von Apostolos Doxiadis, in dem die Hauptperson mit dem Beweis ringt. Da binnen eines Jahres niemand die Vermutung knackte, zogen die Verlage ihren Preis zurück.

Goldbachs Vermutung ist eng verknüpft mit einem anderen Primzahlenproblem, das ebenfalls so manchen Wissenschaftler ergrauen ließ: "Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?" Schon Euklid bewies vor über 2000 Jahren, dass die Folge der Primzahlen niemals endet, es also unendlich viele davon gibt. Wie ist es aber mit Primzahlpaaren mit dem Abstand 2? Die ersten solchen Zwillinge sind: 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19, 41 und 43, 71 und 73. Lassen sich auch da unendlich viele finden?

Obwohl die Frage naheliegt, wissen wir nicht, ob sich die Griechen der Antike bereits den Kopf darüber zerbrachen. Erstmals schriftlich formuliert hat sie Alphonse de Polignac (1817-1890) im Jahr 1849. Der Franzose vermutete allgemeiner, dass es für jeden geraden Abstand unendlich viele Primzahlenpaare gebe.

Mathematik zur Entspannung

Doch die Primzahlen, die scheinbar willkürlich mal nahe beieinander, dann wieder mit großen Lücken in den natürlichen Zahlen verstreut sind, schlugen den Forschern immer wieder ein Schnippchen. Trotz Fortschritten knabbert die Zunft bis heute vergebens an einem Beweis für Polignacs Vermutung.

Zurück zu Goldbach: Der Deutsche aus Königsberg hatte hauptsächlich Jura und Medizin studiert, mit Mathematik beschäftigte er sich nur zur Entspannung. Dabei liebte er es, mathematische Vermutungen aufzustellen, eine Leidenschaft, die er mit Euler teilte. Nicht immer lagen die Freunde dabei richtig. So behauptete Goldbach in einem späteren Brief an Euler, jede ungerade Zahl lasse sich als die Summe aus einer Primzahl und dem Doppelten einer Quadratzahl schreiben. So ist etwa 11 = 3 + 2 · 22 oder 23 = 5 + 2 · 32. Euler antwortete ihm, er habe die Behauptung für alle Zahlen bis 1000 geprüft. Später bestätigte er sie sogar bis 2500. Dennoch ist sie falsch, wie der Göttinger Mathematiker Moritz Stern (1807-1894) ein Jahrhundert später herausfand. Die Zahlen 5777 und 5993 lassen sich nicht als eine derartige Summe schreiben. Bis heute sind jedoch keine weiteren Gegenbeispiele bekannt.

Seine berühmteste Vermutung stellt indes niemand in Frage. Bis zum Ende des 19. Jahrhundert hatten fleißige Rechner sie für alle Zahlen bis 10.000 geprüft. In den vergangenen Jahrzehnten verifizierten sie Wissenschaftler mit Computerhilfe für mehr als die erste Trillion Zahlen, genauer für alle Zahlen unter 1,2 · 1018.

Ordnen wir jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Möglichkeiten zu, sie als Summe zweier Primzahlen zu schreiben, ist damit die Goldbach-Funktion G(n) definiert. Für kleine Zahlen lässt sich der Wert von G mühelos bestimmen. So ist etwa G(4)=1, denn außer 4=2+2 gibt es keine weitere Möglichkeit, die 4 als Summe zweier Primzahlen zu schreiben. G(6) und G(8) sind ebenfalls gleich 1 (6=3+3, 8=3+5). G(10) hingegen ist 2, denn 10=3+7=5+5. Die goldbachsche Vermutung lautet nun: G(n) > 0 für alle geraden Zahlen n, die größer als 2 sind.

G(n) ist außer für ganz kleine n meist angenehm groß. G(1000) etwa ist bereits 28, G(10.000) gar 127. Dass es da ausgerechnet eine Zahl geben soll, für die G null wird, ist kaum denkbar. Den Computerrechnungen zufolge müsste sie größer als eine Trillion sein. Und unter den berechneten Zahlen gibt es keine einzige, für die G(n) der Null auch nur nahekäme, im Gegenteil.

Ein stochastisches Argument spricht ebenfalls für Goldbach. Man tut dabei so, als seien die Primzahlen zufällig verteilt. Das stimmt zwar nicht; aber die Primzahlen erscheinen so regellos auf der Zahlengeraden verstreut, dass ihre Anordnung von einer zufälligen praktisch nicht zu unterscheiden ist. Mit der Fiktion einer Zufallsverteilung kann man zwar nichts beweisen, aber erstaunlich gute Schätzungen gewinnen.

Nach dem Primzahlsatz von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) gilt, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner sind als eine Zahl n, ungefähr gleich n geteilt durch den Logarithmus von n ist. In Formeln: µ(n) ungefähr gleich n/log n. Dabei bezeichnet log n den natürlichen Logarithmus, das heißt den Logarithmus zur Basis e. Zum Beispiel beträgt der Schätzwert für die Anzahl der Primzahlen unter einer Million 1.000.000 / log 1.000.000 ungefähr gleich 72.382; der korrekte Wert ist 78.498.

G(2.000.000) ist nur dann null, wenn für jede dieser über 70.000 Primzahlen p die Zahl 2.000.000 - p nicht prim ist. Da p als Primzahl auf alle Fälle ungerade ist, muss auch 2.000.000 - p ungerade sein. Aus dem gaußschen Primzahlsatz lässt sich folgern, dass die Wahrscheinlichkeit für eine große ungerade Zahl n, Primzahl zu sein, ungefähr 2/log n beträgt. Zum Beispiel liegt die Wahrscheinlichkeit, dass 1.000.001 eine Primzahl ist, bei rund 2 / log 1.000.001 = 0,1447...

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